上海市某重点高中2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题

上海市某重点中学2012-2013学年度第一学期
高一数学期中试卷
（满分100分，90分钟完成. 答案一律写在答题纸上）

一、填空题（本大题共14题，每题3分，满分42分）
1. 已知全集，A，B，那么B∩ .
2. 满足条件的集合M有 个.
3. 在①1{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0}{0}；④；⑤{0}上述五个关系中，错误的个数是 .
4. 已知都是整数，命题的否命题是“如果都是奇数，则是偶数”，那么命题的逆命题是 .
5. 不等式的解为________ .
6. 不等式的解为________ .
7. 已知，则= .
8. 已知f(x)的定义域是[0,1]，则的定义域为 .
9. 设集合，，若M∩N=Φ，则实数m的取值范围是________________ .
10. 设U为全集，A、B为U的子集，在答题纸上用阴影表示∪.
11. 已知函数对任意实数x都有成立，则实数a的取值范围是 .
12. 若，，，则的最小值为__________.
13. 设实数x、y满足2((3，1((2，则使得恒成立的b的最小值是 .
14. 已知，，，试用区间表示= .
二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）
15. “”是“”成立的 （ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
16. 设集合，，若，则实数必满足 （ ）
A. B. C. D.
17. 设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是 ( )
A. ≥4 B.
C. ≥ D. ≥
18. 设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可以推出成立”. 先给出以下四个命题：
若，则；
若，则；
若，则；
若，则.
其中真命题的个数为 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
三、解答题(本大题共4题，满分42分8’+8’+12’+14’=42’)
19. 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，解不等式.
20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系： ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求出最小值．
21．已知.
（1）求证：，并指出等号成立的条件；
（2）利用此不等式求函数的最小值，并求出相应的的值.
22. 集合.
（1）证明：若，则，且；
（2）对于实数p、q，如果，证明：；并由此说明A中元素b若满足，则；
（3）设，试求满足的A的元素.
一、填空题（本大题共14题，每题3分，满分42分）
1. 已知全集U，A，B，那么B∩ .
答案：{4}
2. 满足条件的集合M有 个.
答案：8
3. 在①1{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0}{0}；④；⑤{0}上述五个关系中，错误的个数是 .
答案：3
4. 已知都是整数，命题的否命题是“如果都是奇数，则是偶数”，那么命题的逆命题是 .
答案：“如果是奇数，则不都是奇数” .
5. 不等式的解为________ .
答案：
6. 不等式的解为________ .
答案：
7. 已知，则= .
答案：-1
8. 已知f(x)的定义域是[0,1]，则的定义域为 .
答案：
9. 设集合，，若M∩N=Φ，则实数m的取值范围是________________ .
答案：
10. 设U为全集，A、B为U的子集，在答题纸上用阴影表示∪.
答案：
11. 已知函数对任意实数x都有成立，则实数a的取值范围是 .
答案：
12. 若，，，则的最小值为__________.
答案：
13. 设实数x、y满足2((3，1((2，则使得恒成立的b的最小值是 .
[答案] 4. ∵=(([，4]
14. 已知，，，试用区间表示= .
答案：
二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）
15. “”是“”成立的 （ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案：A
16. 设集合，，若，则实数必满足 （ ）
A. B. C. D.
答案：D
17. 设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是 ( )
A. ≥4 B.
C. ≥ D. ≥
答案：D
18. 设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可以推出成立”. 先给出以下四个命题：
若，则；
若，则；
若，则；
若，则.
其中真命题的个数为 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：C
三、解答题(本大题共4题，满分42分8’+8’+12’+14’=42’)
19. 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，解不等式.
解：（1），∴且，得. 2分
（2），
5分
当时，(
当时，(，∴
当时，(，∴
综上，或 8分
20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系： ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求出最小值．
解：（1）据题意，(k=40 1分
， 3分
（2） 6分
当且仅当，即时等号成立. 7分
所以，当修建5厘米厚的隔热层时，所求总费用的最小值为70万元. 8分
21．已知.
（1）求证：，并指出等号成立的条件；
（2）利用此不等式求函数的最小值，并求出相应的的值.
解：（1） 3分
∵ ∴ ，
4分
等号当且仅当时成立. 6分
（2） 9分
等号当且仅当即时成立. 11分
所以，时，的最小值为25. 12分
22. 集合.
（1）证明：若，则，且；
（2）对于实数p、q，如果，证明：；并由此说明A中元素b若满足，则；
（3）设，试求满足的A的元素.
解：（1）证明：若，则，，且
于是，，且，
(. 2分
，，
且，(. 4分
（2）由，则，
(. 6分
若满足，有；又，设，，且
则；又，
(，而，得. 10分
（3），由（1）得， 12分
由（2）得，，满足，所以A中元素为.