20专题提能 破解解析几何中重、难点策略——2022高考数学二轮复习课件

(共55张PPT)
20专项提升 破解解析几何中重、难点策略
二轮复习
(一)用向量破解圆锥曲线中的夹角与共线问题
1．利用向量解决两直线的平行或点共线问题
证明两直线平行有两种方法：一是利用a与b共线的充要条件：当且仅当存在实数λ，使a＝λb成立；二是利用向量的坐标形式，即利用两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件x1y2－x2y1＝0解答，其中，a，b为两直线的方向向量．证明三点共线可转化为两个向量共线来证明．
[例1]　如图，已知两抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．求证：A1B1∥A2B2．
本题也可以利用两直线的斜率相等来证明A1B1∥A2B2，但计算量较大，而利用向量法解题将大大减少计算量．
2．利用向量解决与角度有关的问题
利用向量的数量积的符号，可以判断这两个向量的夹角是锐角、直角还是钝角，进而可以判断三角形的形状和点与圆的位置关系．
本题也可以通过利用根与系数的关系确定圆心，然后计算圆心到点G的距离并和半径比较得解，由于要用到两点间的距离公式，出现根式，解题过程将十分复杂；但利用向量，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系，就不会出现根式，计算量大大减少．本题综合性较强，较好地考查了学生分析问题、解决问题的能力．
(二)减少解析几何运算量的4个策略
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步，特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方向．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．
1．巧用定义，优化过程
定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量运算与定性分析有机结合起来，则可使解题计算量简化，使解题构筑在较高的水平上．
D
本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．
2．巧用根与系数的关系，化繁为简
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．
3．借助曲线系理清规律
利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一．
B
本题利用了共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．
A
4．巧引参数，化难为易
换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，事半功倍．
常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．
求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．
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