33思想方法　融会贯通——2022高考数学二轮复习课件

(共141张PPT)
33思想方法 融会贯通
二轮复习
一、函数与方程思想
1．不等式恒(能)成立、解不等式、比较大小的问题，一般是将不等式转化为函数，通过构造新函数，借助函数的图象和性质来解决．
2．三角函数中有关A，ω，φ的计算，三角形中的边、角以及平面向量中有关模、夹角、数量积等固定量的计算，一般通过方程求解，而有关方程根的计算、平面向量中有关模、夹角、数量积的最值计算，常转化为函数关系，利用函数单调性求解．
3．等差(等比)数列中的基本量常通过解方程(组)的思想求值；数列中的最值和范围问题，一般通过研究对应函数的单调性来解决．
4．解析几何中有关求交点的问题、圆锥曲线方程中的特定量的求解问题经常需要通过解方程(组)来解决，而取值范围、最值等问题常转化为函数的值域、最值来求解．
5．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用方程(组)求解，而最值(范围)问题则要建立函数关系求解．
6．在概率与统计中的样本的数字特征用函数关系表示时，可利用函数的性质、最值实现决策的最优化．
B
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技法领悟　1．第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解．
2．函数方程思想求解方程的根或图象交点问题
(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题．
(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决．
C
技法领悟　函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用技巧
(1)研究含参数的三角函数方程的问题，通常有两种思路：一是分离参数构建函数，将方程有解问题转化为求函数的值域问题．二是换元，将复杂的方程问题转化为熟悉的一元二次方程问题，进而利用一元二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．
(2)以平面图形为载体的有关数量积、模的最值问题，求解过程的切入点是引入变量，利用函数与方程的思想进行分析与处理．一种思路是建立坐标系，准确写出向量的坐标，灵活利用坐标运算建立函数关系．另一种思路是利用向量的线性运算和数量积的概念直接将问题表示为函数关系，这是解决此类问题的常见思维方式．
技法领悟　解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，找准函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法．
应用四　函数与方程思想在立体几何中的应用
[例4]　(2021·承德一中月考)已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内接于底面半径为1、高为2的圆锥中，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为________．
技法领悟　构建函数求最值——以数解形
在解决立体几何中的“动态”问题时，对于一些很难把握的运动模型
(规律)的求值问题，可以构建某个变量的函数，以数解形．
A
二、数形结合思想
1．利用数轴、Venn图解决集合的运算和集合间的关系．
2．构建函数模型，并结合图象研究与方程根或函数零点有关的问题．
3．构建函数模型，并结合图象研究函数单调性问题、比较数值大小问题、抽象函数问题．
4．构建函数模型，并结合图象求参数的取值范围、解不等式．
5．构建解析几何模型，求与斜率、距离、截距、定义等有关的最值或范围问题．
6．建立直角坐标系，将几何图形中的向量、复数坐标化，并进行运算求值．
C
C
技法领悟　探究方程解的问题应注意两点
(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题．
(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合．
B
B
技法领悟　利用数形结合思想解决平面向量问题的关键点
(1)在解答平面向量问题时，根据题目条件建立相应的平面直角坐标系．
(2)利用平面向量的坐标，结合向量的坐标运算、数量积公式等求解，具有很强的操作性，解答过程流畅，解题方法巧妙．
(3)平面向量数量积的计算，可以结合几何图形和数量积的几何意义进行计算．
A
技法领悟　　应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)带根式的分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．
三、分类讨论思想
1．由数学概念的内涵、公式条件的限制而引起的分类讨论：绝对值的定义，直线的倾斜角，对数函数的定义，二次函数的定义，不等式的定义，等差、等比数列的概念与前n项和公式等．
2．由数学运算、性质要求而引起的分类讨论：对数运算中对底数和真数的要求，指数运算中对底数的要求，解方程与不等式中同乘一个数的符号要求，分段函数的定义域，由数列前n项和公式求通项，基本不等式的应用，函数的性质综合应用等．
3．由参数的变化而引起的分类讨论：某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．
4．由图象的不确定性而引起的分类讨论：二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象、圆锥曲线的焦点位置等．
5．由实际意义而引起的分类讨论：如排列、组合、概率中较常见，但不明显．
A
技法领悟　由数学运算要求引起的分类讨论主要是在运算过程中，运算变量在不同取值范围内的计算形式不同，所以要进行分类讨论．
C
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技法领悟　1．若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论．
2．如果参数有明确的几何意义，在讨论时还应适当地运用数形结合思想．注意分类标准要明确统一，做到“不重不漏”．
D
技法领悟　几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论
(1)二次函数图象对称轴的变化；
(2)函数问题中区间的变化；
(3)函数图象形状的变化；
(4)直线由斜率引起的位置变化；
(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；
(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．
四、转化与化归思想
1．在三角函数中，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数名的转化等．
2．将一些复杂或陌生的函数、方程、不等式转化为简单或熟悉的函数、方程、不等式问题求解．
3．在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．
4．在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．
5．在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题转化为导函数f′(x)构成的方程、不等式问题求解．
6．在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化．
C
技法领悟　1．一般问题特殊化，可以使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．
2．对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
B
C
技法领悟　1．本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则．
2．题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑比较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．
技法领悟　1．本题若按常规法视x为主元来解，需要分类讨论，这样会很烦琐．若以a为主元，即将原问题化归在区间[－1,1]上，一次函数φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5＜0成立的x的取值范围，再借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决．
2．在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看作是“主元”，实现主与次的转化，即常量与变量的转化，从而达到减元的目的．
A
技法领悟　形、体位置关系的转化是针对几何问题采用的一种特殊的转化方法．主要适用于涉及平行、垂直的证明问题，如线面平行、垂直的推理与证明就是充分利用了线面位置关系中的判定定理、性质定理，从而实现位置关系的转化．
C
技法领悟　1．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．
2．对于多元方程(含参数)的问题通常有两类解法
一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图象和性质来解决．
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