2022年陕西省西安交通大学少年班自主招生数学试题(word含答案）

2022年西安交通大学少年班数学试题
1.已知，则的值为______.
2.已知点，为轴上的一动点，为切线，已知圆半径为1，则的最小值为______.
3.，为该方程两根.则的值为______.
4.已知矩形,.为上一动点沿翻折，当为直角三角形时，则的周长为______.
5.点有一个无人机，一个人在点观测，离点45处点有一栋建筑物高，无人机水平向右以的速度飞行．
（1）无人机的高度为___________．
（2）无人机离开视线的时间为___________．
6.为等边三角形，分别为边的中点，为上任意一点，线段交于，线段交于，，求的面积．
7.如图，内接于，，为直径，与相交于点，过作，垂足为，延长交的延长线于点，连接．
（1）证明：与圆相切；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若圆的半径为4，，求的长.
8.已知函数．
（1）证明：函数与轴恒有交点；
（2）证明：无论为何值，函数必过一定点；
（3）设函数图像和轴交点为，顶点为．若，将函数沿方向平移，和一定点与原顶点所连线段有交点，求平移后顶点横坐标的范围．
9.某大学生创业，购进共300件，设的件数．的单价比的单价多6元．设，的总售价分别为函数．
与销售件数之间是一次函数的关系，如下表：
与之间的函数关系如图所示：
（1）直接写出与的函数关系；
（2）设销售两种商品所获利总利润为元，求与之间的函数解析式；
（3）大学生引进的300件商品全部售完，共获利350元，他计划每件商品捐给学校基金分别捐元，元, 捐款数恰好为总成本的，求的值．
10.对于大于1的奇数, 将其平方后拆分成2个相邻的整数, 这三个数为勾股数．
如：；；；
对于大于2的偶数，将其除以2再平方，将平方所得数分别加减1，这三个数为勾股数，如．
则以这种方法，12所得的勾股数中最大的数为__________．
11.证明：对于任意实数，求证：．
12．证明：
2022年西安交通大学少年班数学试题参考答案
1、7
2、
3、36
4、或6
5、（1）米 （2）秒
6、
7、（1）弦切角；（2）；（3）
8、（1）；（2）前系数为0的点
9、（1）
10、37
11、（1）设
当时，根据函数的性质，有
同理，对于上式也成立.
12、证明：此题可以利用等式，然后对的取值情况分类讨论证出，这里，我们通过构造辅助函数来处理.
作辅助函数
函数具有以下性质：对任意，均有
这表明，是一个以为周期的函数，又注意到对任意，中表达式内任意一项都为0，故。对任意，均有，这就是要证的结论