北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合练习 (Word版，附答案解析)
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合练习 (Word版，附答案解析) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 180.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-22 21:00:55 | ||
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文档简介
北师大版九年级数学下册第2章《二次函数》综合练习
一、单选题
1．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3）
C．（2，﹣3） D．（2，3）
2．二次函数 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
3．抛物线 的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数y=3x2+1和y=3（x﹣1）2 ， 以下说法：
①它们的图象都是开口向上；
②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们的开口的大小是一样的.
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2 C．3 D．4个
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①抛物线的对称轴为x＝﹣1；②abc＝0；③方程ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根；④无论x取何值，ax2+bx≤a﹣b．其中，正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知二次函数 ，当自变量x分别取-2，2，5时，对应的值分别为 ，则 的大小关系正确的是( )
A． B． C． D．
7．函数y= 与y=kx2-k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（ ）
A．2或- B． 或- C． 或- D． 或-
9．已知，抛物线y＝ax2＋2ax在其对称轴的左侧y随x的增大而减小，关于x的方程ax2＋2ax＝m（m＞0）的一个根为﹣4，而关于x的方程ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根，则这两个根的积是（ ）
A．0 B．﹣3 C．﹣6 D．﹣8
10．二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤方程 有一正一负两个实数解.其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．二次函数 的图象经过原点，则 ．
12．在平面直角坐标系内抛物线y＝x2﹣2x+3的图象先向左平移3个单位，再向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为 .
13．已知抛物线 在 轴上截得的线段长为4个单位，且过 两点，则 = .
14．如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞ ﹣1；以上结论中正确结论的序号为 ．
15．某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB=274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC=12cm，出球管道CD=5 cm，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球"，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则EB= cm
16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 是抛物线 y=2x2+bx 上一点，顶点 B 的横坐标是1，当△AOB 是直角三角形时，点 A 的坐标为 ．
三、解答题
17．已知抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8．
（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；
（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求m的值．
18．二次函数图像的顶点坐标是（-2，3），并经过点（1，2），求这个二次函数的函数关系式．
19． 已知二次函数的图象经过，两点，求b，c的值.
20．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如果提高售价，请问将售价定每件为多少元时，才能在半月内获得最大利润？并求出最大利润.
21．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
22．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣ x2+ x+4经过A、B两点.
（1）写出点A、点B的坐标；
（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在t，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：二次函数y＝（x+2）2+3的图象的顶点坐标为（﹣2，3）．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的解析式求解即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：由二次函数 可得： ，
∵ ，
∴当x=1时，二次函数有最大值为-4；
故答案为：C.
【分析】由二次函数 中，a=-1＜0，可得抛物线开口向下，函数存在最大值，利用二次函数的性质求出其最大值即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴对称轴为直线x=- ，
故答案为：A.
【分析】抛物线（a≠0）的对称轴为直线x=，据此计算即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：①因为a=3>0，它们的图象都是开口向上，此说法正确；
② 对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)， 的对称轴是x=1，顶点坐标是(1，0)，此说法错误；
③二次函数 ，当x>0时，y随着x的增大而增大; 当 时，y随着x的增大而增大；此说法错误；
④因为a=3，所以它们的开口的大小是一样的，此选项正确.
综上所知，正确的有①④两个.
故答案为：B.
【分析】①由两个二次函数的解析式可得a=3＞0，于是可得这两个二次函数的图象的开口向上；
②由抛物线y=3x2+1可知其对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)；由抛物线y=3（x-1）2可知其对称轴是x=1，顶点坐标是(1，0)；
③结合②的结论可知：抛物线y=3x2+1，当x>0时，y随着x的增大而增大；抛物线y=3（x-1）2，当 时，y随着x的增大而增大；
④由两个二次函数的解析式可得a=3，于是可得它们的开口的大小是一样的.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（0，0），
∴对称轴为x＝ ＝﹣1，故①正确；
∵抛物线开口向下，a＜0，抛物线与原点相交，c＝0，
∴abc＝0，故②正确；
∵c＝0，
∴b2﹣4a（c+1）＝b2﹣4a＞0，故③正确；
当x＝﹣1时，抛物线有最大值，
∴无论x取何值，ax2+bx+c≤a﹣b+c，
即ax2+bx≤a﹣b，故④正确．
正确的为①②③④，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线与x轴两交点的坐标，及抛物线的对称性即可得出其对称轴直线是x=-1，故①正确；抛物线开口向下，a＜0，抛物线与原点相交，c＝0，抛物线的对称轴在y轴的左侧，故a,b同号，从而得出b＜0，故abc＝0，故②正确；算出方程 ax2+bx+c+1＝0 的根的判别式的值，由判别式的值大于0，得出该方程 有两个不相等的实数根 ，故③正确；当x＝﹣1时，抛物线有最大值，故无论x取何值，ax2+bx+c≤a﹣b+c，即ax2+bx≤a﹣b，故④正确，综上所述即可得出答案。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：由二次函数 知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x=2，
又-2对应的点离对称轴最远，2对应的点离对称轴最近，
∴
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象开口向上，则离对称轴越远的点的函数值越大即可解答.
7．【答案】D
【解析】【解答】由解析式y=-kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
选项A，由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则-k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，选项A不符合题意；
选项B，由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，选项B不符合题意；
选项C，由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，本图象与k的取值相矛盾，选项C不符合题意；
选项D，由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，本图象与k的取值相矛盾，选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致，由此即可解答．
8．【答案】D
【解析】【解答】二次函数y=-（x-m）2+m2+1，
可化为：y=-x2+2mx+1，
故二次函数的对称轴为直线x=m，
①m＜-2时，x=-2时二次函数有最大值，
此时-（-2-m）2+m2+1=3，
解得m=- ，与m＜-2矛盾，故m值不存在；
②当-2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=3，
解得m=- ，m= （舍去）；
③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，
此时，-（1-m）2+m2+1=3，
解得m= ．
综上所述，m的值为 或- ．
故答案为：D．
【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
9．【答案】B
【解析】【解答】抛物线y＝ax2＋2ax的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∵抛物线y＝ax2＋2ax在其对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∴a＞0，抛物线的开口向上，
当y＝0时，ax2＋2ax＝0，解得 ，
即抛物线y＝ax2＋2ax与x轴的交点坐标为 ，如图所示：
∵关于x的方程ax2＋2ax＝m（m＞0）的一个根为﹣4，
∴关于x的方程ax2＋2ax＝m（m＞0）的另一个根为2，
∵关于x的方程ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根，
∴关于x的方程ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根只能为 ，
∴这两个根的积是为﹣3.
故答案为：B.
【分析】 先求得抛物线y=ax2+2ax的对称轴，开口向上，利用抛物线的对称性得到方程ax2+2ax=m的另一个根，利用图象法得到方程ax2+2ax=n的两个整数根，即可求出这两个根的积．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，①不符合题意；
②当x＝ 1时，y＞0，∴a b＋c＞0，
∵ ＝1，∴b＝ 2a，
把b＝ 2a代入a b＋c＞0中得3a＋c＞0，所以②符合题意；
③当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，
∴a＋c＜ b，
当x＝ 1时，y＞0，∴a b＋c＞0，
∴a＋c＞b，
∴|a＋c|＜|b|
∴（a＋c）2＜b2，所以③符合题意；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a＋b＋c，
∵ ，∴-m＜0，
由图像可知，当x=-m时，y＞a＋b＋c，
∴ ，④符合题意．
⑤令y2= ,则y2≥1，根据函数图像可得交点的横坐标为一正一负，故方程 有一正一负两个实数解，符合题意.
故答案为：D．
【分析】①由抛物线开口方向得到a＞0，对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，又抛物线与y轴正半轴相交，得到c＜0，可得出abc＞0，选项①不符合题意；
②把b＝ 2a代入a b＋c＞0中得3a＋c＞0，所以②符合题意；
③由x＝1时对应的函数值y＜0，可得出a＋b＋c＜0，得到a＋c＜ b，x＝ 1时，y＞0，可得出a b＋c＞0，得到|a＋c|＜|b|，即可得到（a＋c）2 b2＜0，选项③符合题意；
④由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最小值，可得结论，即可得到④符合题意．
⑤令y2= ,则y2≥1，根据函数图像可得交点的横坐标为一正一负，故可判断⑤.
11．【答案】3
【解析】【解答】解：根据二次函数图象过原点，把 代入解析式，
得 ，整理得 ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
12．【答案】y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11
【解析】【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2的图象在坐标平面内向左平移3个单位，再向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为y＝（x﹣1+3）2+2+5，即y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11.
故答案为：y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11（两种形式都可以）.
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知：
解得：或.
故答案为： .
【分析】将点 代入 抛物线 得出两个方程，再根据抛物线在x轴上截得的线段长为4，列出第三个方程，然后解这三个方程组成的方程组即可求出a的值.
14．【答案】①④
【解析】【解答】由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，
∵开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣ ＞0，
∴﹣ ＞0，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2；
∴0＜a＜2；
∴①符合题意；
∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），
∴c=﹣2，故③不符合题意；
∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b﹣2=0，无法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②不符合题意；
∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y= ，
∴x2=2＞ ﹣1，故④符合题意．
故答案为①④．
【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，-2），可得c=-2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（-1，0），可得a-b-2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x= ，可得x2=2，比较大小即可判断④；从而求解．
15．【答案】209-30
【解析】【解答】解：以AC为y轴，AB为x轴，A为原点建立坐标系，过点D'作D'P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，如图所示：
∵ 正中间的球网GH，
∴，
∵点N在离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，
∴AM=AH-MH=137-72=65，NM=21，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-65）2+21，
由旋转得，，
∴在Rt△D'CQ中，CQ=D'Q=5，
∴D'（5,17），
把D'代入y=a（x-65）2+21得，
∴，
当y=0时，，
解得，（不合题意，舍去），
∴，
故答案为：.
【分析】以AC为y轴，AB为x轴，A为原点建立坐标系，过点D'作D'P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，易得点N的坐标，再设抛物线的解析式为y=a（x-65）2+21，由旋转的性质结合特殊三角函数的值即可求出点D'的坐标，将D'代入函数解析式即可求出抛物线解析式，进而令y=0，解出x，再由即可求解.
16．【答案】 或 或
【解析】【解答】解：∵顶点 B 的横坐标是1，
解之：b=-4
∴抛物线的解析式为：y=2x2-4x=-2（x-1）2+2，
∴点B（1，2）
设点A（m，2m2-4m），
∴OA2=m2+（2m2-4m）2，OB2=22+1=5，AB2=（m-1）2+（2m2-4m+2）2
当AB2+OB2=OA2时
∴（m-1）2+（2m2-4m+2）2+5=m2+（2m2-4m）2，
整理得：4m2-9m+5=0
解之：m1=，m2=1（舍去），
∴2m2-4m=
∴点A；
当∠OAB=90°时，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作EM⊥y轴于点E，交NA的延长线于点M，
∴∠ONA=∠AMB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，∠NAO+∠BAM=90°，
∴∠ABM=∠NAO，
∴△NAO∽△ABM，
∴
设ON=a，NA=c，
∴AM=2-c，BM=a-1，点A（a，-c）
∴-c=2a2-4a,
∴
∴a2-a=2c-c2,
解之：
∴点A（）；
当OB2+OA2=AB2时，
5+m2+（2m2-4m）2=（m-1）2+（2m2-4m+2）2,
整理得：4m2-9m=0
解之：m1=，m2=0
当m=时，2m2-4m=
∴点A .
∴点A或或.
故答案为：或（或.
【分析】利用顶点的横坐标为1，可求出b的值，即可得到函数解析式，利用函数解析式求出顶点B的坐标；设点A（m，2m2-4m），利用勾股定理分别表示出AB2、OB2、OA2，利用勾股定理分情况讨论：当AB2+OB2=OA2时；当OB2+OA2=AB2时；分别建立关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，即可得到点A的坐标；当∠OAB=90°时，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作EM⊥y轴于点E，交NA的延长线于点M，易证△NAO∽△ABM，利用全等三角形的性质可得对应边成比例，设ON=a，NA=c，可表示出AM，BM的长，同时可得到点A的坐标，将点A的坐标代入函数解析式，可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，可得点A的坐标；综上所述可得到符合题意的点A的坐标.
17．【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的对称轴为y轴，
∴﹣ ＝0，
解得，m＝3，即m的值是3；
（2）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的顶点在x正半轴上，
∴ ，
解得m＝11, 即m的值是11．
【解析】【分析】（1）根据对称轴公式 即可求m的值；（2）根据顶点坐标公式求解即可．
18．【答案】解：设二次函数解析式为y＝a（x＋2）2＋3，
把（1，2）代入得9a＋3＝2，解得a＝ ，
所以二次函数解析式为：y＝ （x+2）2+3．
【解析】【分析】利用顶点式，利用待定系数法求解二次函数解析式即可。
19．【答案】解：把A(0，3) ，B(-4，-) 分别代入，
得，
解得.
故，c=3.
【解析】【分析】将点A、B的坐标代入求解就可得到b、c的值.
20．【答案】解：设售价定每件为 元，利润为 元，依题意可得
，
整理得 ，
配方得 ，
∵-20＜0，
∴当 时， 的最大值为4500元.
答：售价定为每件35元时，才能在半月内获得最大利润，最大利润为4500元.
【解析】【分析】 设售价定每件为 元，利润为 元，根据“利润=单件利润×销售量”求得函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值即可.
21．【答案】（1）将点A（-1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：
，
解得：b=3，c=4．
抛物线的解析式为y=-x2+3x+4．
（2）如图1所示： ∵令x=0得y=4， ∴OC=4．
∴OC=OB．
∵∠CFP=∠COB=90°， ∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）（a＞0）．
则CF=a，PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|．
∴|a2-3a|=a．
解得：a=2，a=4．
∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．
（3）如图2所示：连接EC． 设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）．则OE=a，PE=-a2+3a+4，EB=4-a．
∵S四边形PCEB= OB PE= ×4（-a2+3a+4），S△CEB= EB OC= ×4×（4-a），
∴S△PBC=S四边形PCEB-S△CEB=2（-a2+3a+4）-2（4-a）=-2a2+8a．
∵a=-2＜0，
∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．
【解析】【分析】（1）抛物线过AB两点，将两点坐标代入即可求出bc 的值，从而得到抛物线表达式。
（2）已知抛物线函数表达式，即可求出与y轴交点点C的坐标。得OC=OB。△COB是等腰三角形。若要△CPF∽△CBO，故△CPF是等腰三角形。即CF=PF。从而求出点P的坐标。
（3） 设点P的坐标为（a，-a2+3a+4） ，将各边表示出来。然后分别写出四边形PCEB的面积公式以及三角形CEB的面积公式，即可将三角形PBC的面积表示出来。即可求出a 的取值。
22．【答案】（1）解：抛物线y=﹣0.5x2+3.5x+4中：令x=0，y=4，则 B（0，4）；
令y=0，0=﹣0.5x2+3.5x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，则 A（8，0）；∴A（8，0）、B（0，4）.
（2）解：△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）.
由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=﹣0.5x+4；
依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；
∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；
S=S△ABC+S△PAB=0.5×8×8+0.5×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；
∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64.
（3）解：∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°；
而∠APM是锐角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°；
由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直线AC：y=0.5x﹣4；
所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得：﹣16+h=0，h=16
∴直线AP：y=﹣2x+16，联立抛物线的解析式，∴存在符合条件的点P，且坐标为（3，10）.
【解析】【分析】（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定点B的坐标；令y=0，能确定点A的坐标.（2）四边形PBCA可看作△ABC、△PBA两部分；△ABC的面积是定值，关键是求出△PBA的面积表达式；若设直线l与直线AB的交点为Q，先用t表示出线段PQ的长，而△PAB的面积可由（ PQ OA）求得，在求出S、t的函数关系式后，由函数的性质可求得S的最大值.（3）△PAM中，∠APM是锐角，而PM∥y轴，∠AMP=∠ACO也不可能是直角，所以只有∠PAC是直角一种可能，即 直线AP、直线AC垂直，此时两直线的斜率乘积为-1，先求出直线AC的解析式，联立抛物线的解析式后可求得点P的坐标
一、单选题
1．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3）
C．（2，﹣3） D．（2，3）
2．二次函数 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
3．抛物线 的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数y=3x2+1和y=3（x﹣1）2 ， 以下说法：
①它们的图象都是开口向上；
②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们的开口的大小是一样的.
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2 C．3 D．4个
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①抛物线的对称轴为x＝﹣1；②abc＝0；③方程ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根；④无论x取何值，ax2+bx≤a﹣b．其中，正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知二次函数 ，当自变量x分别取-2，2，5时，对应的值分别为 ，则 的大小关系正确的是( )
A． B． C． D．
7．函数y= 与y=kx2-k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（ ）
A．2或- B． 或- C． 或- D． 或-
9．已知，抛物线y＝ax2＋2ax在其对称轴的左侧y随x的增大而减小，关于x的方程ax2＋2ax＝m（m＞0）的一个根为﹣4，而关于x的方程ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根，则这两个根的积是（ ）
A．0 B．﹣3 C．﹣6 D．﹣8
10．二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤方程 有一正一负两个实数解.其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．二次函数 的图象经过原点，则 ．
12．在平面直角坐标系内抛物线y＝x2﹣2x+3的图象先向左平移3个单位，再向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为 .
13．已知抛物线 在 轴上截得的线段长为4个单位，且过 两点，则 = .
14．如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞ ﹣1；以上结论中正确结论的序号为 ．
15．某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB=274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC=12cm，出球管道CD=5 cm，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球"，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则EB= cm
16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 是抛物线 y=2x2+bx 上一点，顶点 B 的横坐标是1，当△AOB 是直角三角形时，点 A 的坐标为 ．
三、解答题
17．已知抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8．
（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；
（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求m的值．
18．二次函数图像的顶点坐标是（-2，3），并经过点（1，2），求这个二次函数的函数关系式．
19． 已知二次函数的图象经过，两点，求b，c的值.
20．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如果提高售价，请问将售价定每件为多少元时，才能在半月内获得最大利润？并求出最大利润.
21．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
22．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣ x2+ x+4经过A、B两点.
（1）写出点A、点B的坐标；
（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在t，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：二次函数y＝（x+2）2+3的图象的顶点坐标为（﹣2，3）．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的解析式求解即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：由二次函数 可得： ，
∵ ，
∴当x=1时，二次函数有最大值为-4；
故答案为：C.
【分析】由二次函数 中，a=-1＜0，可得抛物线开口向下，函数存在最大值，利用二次函数的性质求出其最大值即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴对称轴为直线x=- ，
故答案为：A.
【分析】抛物线（a≠0）的对称轴为直线x=，据此计算即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：①因为a=3>0，它们的图象都是开口向上，此说法正确；
② 对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)， 的对称轴是x=1，顶点坐标是(1，0)，此说法错误；
③二次函数 ，当x>0时，y随着x的增大而增大; 当 时，y随着x的增大而增大；此说法错误；
④因为a=3，所以它们的开口的大小是一样的，此选项正确.
综上所知，正确的有①④两个.
故答案为：B.
【分析】①由两个二次函数的解析式可得a=3＞0，于是可得这两个二次函数的图象的开口向上；
②由抛物线y=3x2+1可知其对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)；由抛物线y=3（x-1）2可知其对称轴是x=1，顶点坐标是(1，0)；
③结合②的结论可知：抛物线y=3x2+1，当x>0时，y随着x的增大而增大；抛物线y=3（x-1）2，当 时，y随着x的增大而增大；
④由两个二次函数的解析式可得a=3，于是可得它们的开口的大小是一样的.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（0，0），
∴对称轴为x＝ ＝﹣1，故①正确；
∵抛物线开口向下，a＜0，抛物线与原点相交，c＝0，
∴abc＝0，故②正确；
∵c＝0，
∴b2﹣4a（c+1）＝b2﹣4a＞0，故③正确；
当x＝﹣1时，抛物线有最大值，
∴无论x取何值，ax2+bx+c≤a﹣b+c，
即ax2+bx≤a﹣b，故④正确．
正确的为①②③④，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线与x轴两交点的坐标，及抛物线的对称性即可得出其对称轴直线是x=-1，故①正确；抛物线开口向下，a＜0，抛物线与原点相交，c＝0，抛物线的对称轴在y轴的左侧，故a,b同号，从而得出b＜0，故abc＝0，故②正确；算出方程 ax2+bx+c+1＝0 的根的判别式的值，由判别式的值大于0，得出该方程 有两个不相等的实数根 ，故③正确；当x＝﹣1时，抛物线有最大值，故无论x取何值，ax2+bx+c≤a﹣b+c，即ax2+bx≤a﹣b，故④正确，综上所述即可得出答案。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：由二次函数 知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x=2，
又-2对应的点离对称轴最远，2对应的点离对称轴最近，
∴
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象开口向上，则离对称轴越远的点的函数值越大即可解答.
7．【答案】D
【解析】【解答】由解析式y=-kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
选项A，由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则-k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，选项A不符合题意；
选项B，由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，选项B不符合题意；
选项C，由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，本图象与k的取值相矛盾，选项C不符合题意；
选项D，由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，本图象与k的取值相矛盾，选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致，由此即可解答．
8．【答案】D
【解析】【解答】二次函数y=-（x-m）2+m2+1，
可化为：y=-x2+2mx+1，
故二次函数的对称轴为直线x=m，
①m＜-2时，x=-2时二次函数有最大值，
此时-（-2-m）2+m2+1=3，
解得m=- ，与m＜-2矛盾，故m值不存在；
②当-2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=3，
解得m=- ，m= （舍去）；
③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，
此时，-（1-m）2+m2+1=3，
解得m= ．
综上所述，m的值为 或- ．
故答案为：D．
【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
9．【答案】B
【解析】【解答】抛物线y＝ax2＋2ax的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∵抛物线y＝ax2＋2ax在其对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∴a＞0，抛物线的开口向上，
当y＝0时，ax2＋2ax＝0，解得 ，
即抛物线y＝ax2＋2ax与x轴的交点坐标为 ，如图所示：
∵关于x的方程ax2＋2ax＝m（m＞0）的一个根为﹣4，
∴关于x的方程ax2＋2ax＝m（m＞0）的另一个根为2，
∵关于x的方程ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根，
∴关于x的方程ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根只能为 ，
∴这两个根的积是为﹣3.
故答案为：B.
【分析】 先求得抛物线y=ax2+2ax的对称轴，开口向上，利用抛物线的对称性得到方程ax2+2ax=m的另一个根，利用图象法得到方程ax2+2ax=n的两个整数根，即可求出这两个根的积．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，①不符合题意；
②当x＝ 1时，y＞0，∴a b＋c＞0，
∵ ＝1，∴b＝ 2a，
把b＝ 2a代入a b＋c＞0中得3a＋c＞0，所以②符合题意；
③当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，
∴a＋c＜ b，
当x＝ 1时，y＞0，∴a b＋c＞0，
∴a＋c＞b，
∴|a＋c|＜|b|
∴（a＋c）2＜b2，所以③符合题意；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a＋b＋c，
∵ ，∴-m＜0，
由图像可知，当x=-m时，y＞a＋b＋c，
∴ ，④符合题意．
⑤令y2= ,则y2≥1，根据函数图像可得交点的横坐标为一正一负，故方程 有一正一负两个实数解，符合题意.
故答案为：D．
【分析】①由抛物线开口方向得到a＞0，对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，又抛物线与y轴正半轴相交，得到c＜0，可得出abc＞0，选项①不符合题意；
②把b＝ 2a代入a b＋c＞0中得3a＋c＞0，所以②符合题意；
③由x＝1时对应的函数值y＜0，可得出a＋b＋c＜0，得到a＋c＜ b，x＝ 1时，y＞0，可得出a b＋c＞0，得到|a＋c|＜|b|，即可得到（a＋c）2 b2＜0，选项③符合题意；
④由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最小值，可得结论，即可得到④符合题意．
⑤令y2= ,则y2≥1，根据函数图像可得交点的横坐标为一正一负，故可判断⑤.
11．【答案】3
【解析】【解答】解：根据二次函数图象过原点，把 代入解析式，
得 ，整理得 ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
12．【答案】y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11
【解析】【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2的图象在坐标平面内向左平移3个单位，再向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为y＝（x﹣1+3）2+2+5，即y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11.
故答案为：y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11（两种形式都可以）.
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知：
解得：或.
故答案为： .
【分析】将点 代入 抛物线 得出两个方程，再根据抛物线在x轴上截得的线段长为4，列出第三个方程，然后解这三个方程组成的方程组即可求出a的值.
14．【答案】①④
【解析】【解答】由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，
∵开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣ ＞0，
∴﹣ ＞0，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2；
∴0＜a＜2；
∴①符合题意；
∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），
∴c=﹣2，故③不符合题意；
∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b﹣2=0，无法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②不符合题意；
∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y= ，
∴x2=2＞ ﹣1，故④符合题意．
故答案为①④．
【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，-2），可得c=-2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（-1，0），可得a-b-2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x= ，可得x2=2，比较大小即可判断④；从而求解．
15．【答案】209-30
【解析】【解答】解：以AC为y轴，AB为x轴，A为原点建立坐标系，过点D'作D'P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，如图所示：
∵ 正中间的球网GH，
∴，
∵点N在离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，
∴AM=AH-MH=137-72=65，NM=21，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-65）2+21，
由旋转得，，
∴在Rt△D'CQ中，CQ=D'Q=5，
∴D'（5,17），
把D'代入y=a（x-65）2+21得，
∴，
当y=0时，，
解得，（不合题意，舍去），
∴，
故答案为：.
【分析】以AC为y轴，AB为x轴，A为原点建立坐标系，过点D'作D'P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，易得点N的坐标，再设抛物线的解析式为y=a（x-65）2+21，由旋转的性质结合特殊三角函数的值即可求出点D'的坐标，将D'代入函数解析式即可求出抛物线解析式，进而令y=0，解出x，再由即可求解.
16．【答案】 或 或
【解析】【解答】解：∵顶点 B 的横坐标是1，
解之：b=-4
∴抛物线的解析式为：y=2x2-4x=-2（x-1）2+2，
∴点B（1，2）
设点A（m，2m2-4m），
∴OA2=m2+（2m2-4m）2，OB2=22+1=5，AB2=（m-1）2+（2m2-4m+2）2
当AB2+OB2=OA2时
∴（m-1）2+（2m2-4m+2）2+5=m2+（2m2-4m）2，
整理得：4m2-9m+5=0
解之：m1=，m2=1（舍去），
∴2m2-4m=
∴点A；
当∠OAB=90°时，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作EM⊥y轴于点E，交NA的延长线于点M，
∴∠ONA=∠AMB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，∠NAO+∠BAM=90°，
∴∠ABM=∠NAO，
∴△NAO∽△ABM，
∴
设ON=a，NA=c，
∴AM=2-c，BM=a-1，点A（a，-c）
∴-c=2a2-4a,
∴
∴a2-a=2c-c2,
解之：
∴点A（）；
当OB2+OA2=AB2时，
5+m2+（2m2-4m）2=（m-1）2+（2m2-4m+2）2,
整理得：4m2-9m=0
解之：m1=，m2=0
当m=时，2m2-4m=
∴点A .
∴点A或或.
故答案为：或（或.
【分析】利用顶点的横坐标为1，可求出b的值，即可得到函数解析式，利用函数解析式求出顶点B的坐标；设点A（m，2m2-4m），利用勾股定理分别表示出AB2、OB2、OA2，利用勾股定理分情况讨论：当AB2+OB2=OA2时；当OB2+OA2=AB2时；分别建立关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，即可得到点A的坐标；当∠OAB=90°时，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作EM⊥y轴于点E，交NA的延长线于点M，易证△NAO∽△ABM，利用全等三角形的性质可得对应边成比例，设ON=a，NA=c，可表示出AM，BM的长，同时可得到点A的坐标，将点A的坐标代入函数解析式，可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，可得点A的坐标；综上所述可得到符合题意的点A的坐标.
17．【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的对称轴为y轴，
∴﹣ ＝0，
解得，m＝3，即m的值是3；
（2）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的顶点在x正半轴上，
∴ ，
解得m＝11, 即m的值是11．
【解析】【分析】（1）根据对称轴公式 即可求m的值；（2）根据顶点坐标公式求解即可．
18．【答案】解：设二次函数解析式为y＝a（x＋2）2＋3，
把（1，2）代入得9a＋3＝2，解得a＝ ，
所以二次函数解析式为：y＝ （x+2）2+3．
【解析】【分析】利用顶点式，利用待定系数法求解二次函数解析式即可。
19．【答案】解：把A(0，3) ，B(-4，-) 分别代入，
得，
解得.
故，c=3.
【解析】【分析】将点A、B的坐标代入求解就可得到b、c的值.
20．【答案】解：设售价定每件为 元，利润为 元，依题意可得
，
整理得 ，
配方得 ，
∵-20＜0，
∴当 时， 的最大值为4500元.
答：售价定为每件35元时，才能在半月内获得最大利润，最大利润为4500元.
【解析】【分析】 设售价定每件为 元，利润为 元，根据“利润=单件利润×销售量”求得函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值即可.
21．【答案】（1）将点A（-1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：
，
解得：b=3，c=4．
抛物线的解析式为y=-x2+3x+4．
（2）如图1所示： ∵令x=0得y=4， ∴OC=4．
∴OC=OB．
∵∠CFP=∠COB=90°， ∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）（a＞0）．
则CF=a，PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|．
∴|a2-3a|=a．
解得：a=2，a=4．
∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．
（3）如图2所示：连接EC． 设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）．则OE=a，PE=-a2+3a+4，EB=4-a．
∵S四边形PCEB= OB PE= ×4（-a2+3a+4），S△CEB= EB OC= ×4×（4-a），
∴S△PBC=S四边形PCEB-S△CEB=2（-a2+3a+4）-2（4-a）=-2a2+8a．
∵a=-2＜0，
∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．
【解析】【分析】（1）抛物线过AB两点，将两点坐标代入即可求出bc 的值，从而得到抛物线表达式。
（2）已知抛物线函数表达式，即可求出与y轴交点点C的坐标。得OC=OB。△COB是等腰三角形。若要△CPF∽△CBO，故△CPF是等腰三角形。即CF=PF。从而求出点P的坐标。
（3） 设点P的坐标为（a，-a2+3a+4） ，将各边表示出来。然后分别写出四边形PCEB的面积公式以及三角形CEB的面积公式，即可将三角形PBC的面积表示出来。即可求出a 的取值。
22．【答案】（1）解：抛物线y=﹣0.5x2+3.5x+4中：令x=0，y=4，则 B（0，4）；
令y=0，0=﹣0.5x2+3.5x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，则 A（8，0）；∴A（8，0）、B（0，4）.
（2）解：△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）.
由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=﹣0.5x+4；
依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；
∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；
S=S△ABC+S△PAB=0.5×8×8+0.5×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；
∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64.
（3）解：∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°；
而∠APM是锐角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°；
由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直线AC：y=0.5x﹣4；
所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得：﹣16+h=0，h=16
∴直线AP：y=﹣2x+16，联立抛物线的解析式，∴存在符合条件的点P，且坐标为（3，10）.
【解析】【分析】（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定点B的坐标；令y=0，能确定点A的坐标.（2）四边形PBCA可看作△ABC、△PBA两部分；△ABC的面积是定值，关键是求出△PBA的面积表达式；若设直线l与直线AB的交点为Q，先用t表示出线段PQ的长，而△PAB的面积可由（ PQ OA）求得，在求出S、t的函数关系式后，由函数的性质可求得S的最大值.（3）△PAM中，∠APM是锐角，而PM∥y轴，∠AMP=∠ACO也不可能是直角，所以只有∠PAC是直角一种可能，即 直线AP、直线AC垂直，此时两直线的斜率乘积为-1，先求出直线AC的解析式，联立抛物线的解析式后可求得点P的坐标