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专题16 二次函数中的全等三角判定问题
1、已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求证：△ABC为直角三角形；
（3）如图，动点E，F同时从点A出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点F停止运动时，点E随之停止运动．设运动时间为t秒，连结EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．当点F在AC上时，是否存在某一时刻t，使得△DCO≌△BCO？（点D不与点B重合）若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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2、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的顶点为P．
求b的值，并求出点P、B的坐标；
在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使≌？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，试说明理由．21世纪教育网版权所有
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3、如图，在平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．21教育网
(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．21cnjy.com
4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（﹣6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上．21·cn·jy·com
①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；
②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．
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5、如图，在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )以点M（2，0）为圆心的⊙M与y轴相切于原点O，过点B（﹣2，0）作⊙M的切线，切点为C，抛物线经过点B和点M．2·1·c·n·j·y
（1）求这条抛物线解析式；
（2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）中抛物线上；
（3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处．此时△BOQ与△MCB全等，求t的值．【来源：21·世纪·教育·网】
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6、如图所示，抛物线（m＞0）的顶点为A，直线与轴的交点为点B.
（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；
（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数；
（3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
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7、如图1，抛物线y1=ax2﹣轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．
8、
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（1）求抛物线y2的解析式；
（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；www-2-1-cnjy-com
（3）点P为抛物线y1上一 ( http: / / www.21cnjy.com )动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．【出处：21教育名师】
9、如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
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求抛物线的表达式；
求证：AB平分；
抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2-1-c-n-j-y
10、如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交抛物线与点Q．21教育名师原创作品
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线1交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
（3）在点P运动的过程中 ( http: / / www.21cnjy.com )，坐标平面内是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
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11、如图，已知直线y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；
（3）过点A作AB的垂线交y轴于 ( http: / / www.21cnjy.com )点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．
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12、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．
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（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；www.21-cn-jy.com
（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．【来源：21cnj*y.co*m】
①当t为 秒时，△PAD的周长最小？当t为 秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）21*cnjy*com
②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【版权所有：21教育】
13、如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a ( http: / / www.21cnjy.com )≠0）与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），我们把|x1﹣x2|记为d（A、B），抛物线的顶点到x轴的距离记为d（x），如果d（A，B）=d（x），那么把这样的抛物线叫做“正抛物线”．
（1）抛物线y=2x2﹣2是不是“正抛物线”；（回答“是”或“不是”）．
（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）是“正抛物线”，求抛物线的解析式；
（3）如图，若“正抛物线”y ( http: / / www.21cnjy.com )=x2+mx（m＜0）与x轴相交于A、B两点，点P是抛物线的顶点，则抛物线上是否存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形？如果存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．21·世纪*教育网
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14、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点M、N同时从B ( http: / / www.21cnjy.com )点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为 ，点P的坐标为 ；
（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．
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专题16 二次函数中的全等三角判定问题
1、已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求证：△ABC为直角三角形；
（3）如图，动点E，F同时从点A出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点F停止运动时，点E随之停止运动．设运动时间为t秒，连结EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．当点F在AC上时，是否存在某一时刻t，使得△DCO≌△BCO？（点D不与点B重合）若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）；（2）证明见解析；（3）t＝.21cnjy.com
【解析】
（1）解：当y＝0时，﹣x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（﹣1，0），
当x＝0时，y＝2，
∴点C的坐标为（0，2）；
（2）证明：∵A（4，0），B（﹣1，0），C（0，2），
∴OA＝4，OB＝1，OC＝2．
∴AB＝5，AC＝＝，
∴AC2+BC2＝25＝AB2，
∴△ABC为直角三角形；
（3）解：由（2）可知△ABC为直角三角形．且∠ACB＝90°，
∵AE＝2t，AF＝t，
∴，
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点 D处，
由翻折知，DE＝AE，
∴AD＝2AE＝4t，
当△DCO≌△BCO时，BO＝OD，
∵OD＝4﹣4t，BO＝1，
∴4﹣4t＝1，t＝，
即：当t＝秒时，△DCO≌△BCO．
2、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的顶点为P．
求b的值，并求出点P、B的坐标；
在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使≌？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，试说明理由．21世纪教育网版权所有
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【答案】存在，
【解析】抛物线经过，
，解得：，
抛物线的表达式为．
，
点P的坐标为
令得：，解得或，
的坐标为．
存在，点
如图：过点P作轴，垂足为C，连接AP、BP，作的平分线，交PB与点N，交抛物线与点M，连接PM、BM．21教育网
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，，，
，，，
是等边三角形，
，．
，，．
在和中，，
≌．
存在这样的点M，使得≌．
，，点N是PB的中点，
设直线AM的解析式为点A和点N的坐标代入得：，解得：，
直线AM的解析式为．
将的解析式得：，解得：或舍去，
当时，，
点M的坐标为
3、如图，在平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
【答案】(1) y＝x2－3x－8；（2）点F的坐标为(3＋，－4)或(3－，－4)．
【思路引导】（1）根据待定系数法 ( http: / / www.21cnjy.com )求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E坐标．
（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为-4，令y=-4即可解决问题．【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8），【来源：21cnj*y.co*m】
∴
解得
∴抛物线的函数表达式为y＝x2 3x 8；
∵y＝x2 3x 8＝ (x 3)2 ，
∴抛物线的对称轴为直线x=3．
又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-2，0）．
∴点B的坐标为（8，0），
设直线L的函数表达式为y=kx．
∵点D（6，-8）在直线L上，
∴6k=-8，解得k=- ，
∴直线L的函数表达式为y=-x，
∵点E为直线L和抛物线对称轴的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为-×3=-4，
∴点E的坐标为（3，-4）；
（2）抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE．
∵OE=CE=5，
∴FO=FC，
∴点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，
∴x2-3x-8=-4，解得x=3± ，
∴点F的坐标为（3-，-4）或（3+，-4）．21教育名师原创作品
【方法总结】
本题考查二次函数综合题、一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题
4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（﹣6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上．
①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；
②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．
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【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）①点D坐标为（﹣，0）；②点M（，0）.
【分析】（1）应用待定系数法问题可 ( http: / / www.21cnjy.com )解；
（2）①通过分类讨论研究△APQ和△CDO全等
②由已知求点D坐标，证明DN∥BC，从而得到DN为中线，问题可解
【解析】（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得
，
解得： ，
∴抛物线解析式为：y=-x2-x+3；
（2）①存在点D，使得△APQ和△CDO全等，
当D在线段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3时，△APQ和△CDO全等，
∴tan∠QAP=tan∠DCO，
，
∴，
∴OD=，
∴点D坐标为（-，0）.
由对称性，当点D坐标为（，0）时，
由点B坐标为（4，0），
此时点D（，0）在线段OB上满足条件．
②∵OC=3，OB=4，
∴BC=5，
∵∠DCB=∠CDB，
∴BD=BC=5，
∴OD=BD-OB=1，
则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5，
连DN，CM，
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则DN=DM，∠NDC=∠MDC，
∴∠NDC=∠DCB，
∴DN∥BC，
∴，
则点N为AC中点．
∴DN时△ABC的中位线，
∵DN=DM=BC=，
∴OM=DM-OD=
∴点M（，0）
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识．解答时，注意数形结合
5、如图，在平面直角坐标系中，以点M ( http: / / www.21cnjy.com )（2，0）为圆心的⊙M与y轴相切于原点O，过点B（﹣2，0）作⊙M的切线，切点为C，抛物线经过点B和点M．
（1）求这条抛物线解析式；
（2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）中抛物线上；
（3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处．此时△BOQ与△MCB全等，求t的值．
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【答案】（1）y＝﹣x2+；（2）点C在（1）的抛物线上；（3）t＝2．
【解析】（1）将点M（2，0）、B（﹣2，0）代入 yx2+bx+c 中，得：
解得：
∴抛物线的解析式：yx2．
（2）连接MC，则MC⊥BC；过点C作CD⊥x轴于D，如图，在Rt△BCM中，CD⊥BM，CM＝2，BM＝4，则：
DM，CD，OD＝OM﹣DM＝1，∴C（1，）．
当x＝1时，yx2，所以点C在（1）的抛物线上．
（3）△BCM和△BOQ中，OB＝CM＝2，∠BOQ＝∠BCM＝90°，若两三角形全等，则：
OQ＝BC，∴当t＝2时，△MCB和△BOQ全等．
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6、如图所示，抛物线（m＞0）的顶点为A，直线与轴的交点为点B.
（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；
（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数；
（3）动点Q在抛物线对称 ( http: / / www.21cnjy.com )轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
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【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点A的坐标为（，0）；（2）∠OAB=30°；（3）存在，①=时， P（0，-），P（，-）；②=时，P（，-3），P（3+，-3）；③=2时， P（，-3），P（，-3）；④=时， P（，-），P（，-）.
【解析】（1）对称轴：x=m；
顶点：A（m，0）．
（2）将x=m代入函数y=x-m，
得y=×m-m=0
∴点A（m，0）在直线l上．
当x=0时，y=-m，
∴B（0，-m）
tan∠OAB=，
∴∠OAB=30度．
（3）以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等共有以下四种情况：
①当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时，
如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，-m），
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代入抛物线y=-（x-m）2
得-m=-3m2，
∵m＞0，
∴m=
这时有P1（0，-）
其关于对称轴的对称点P2（，- ）也满足条件．
②当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时
点P坐标为（m-m，-m），
代入抛物线y=-（x-m）2
得m=m2，
∵m＞0，
∴m=
这时有P3（3-，-3）
还有关于对称轴的对称点P4（3+，-3）．
③当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m时
点P坐标为（m， m），代入抛物线y=-（x-m）2
得m=m2，
∵m＞0，
∴m=2
这时有P5（，-3）
还有关于对称轴的对称点P6（3，-3）．
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④当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m时
点P坐标为（m， m），
代入抛物线y=-（x-m）2
得m=m2，
∵m＞0，
∴m=
这时有P7（，-）
还有关于对称轴对称的点P8（，-）．
所以当m=时，有点P1（0，-），P2（，-）；
当m=时，有点P3（3-，-3），P4（3+，-3）；
当m=2时，有点P5（，-3），P6（3，-3）；
当m=时，有点P7（，-），P8（，-）．
7、如图1，抛物线y1=ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．
8、
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（1）求抛物线y2的解析式；
（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；2-1-c-n-j-y
（3）点P为抛物线y1上一动 ( http: / / www.21cnjy.com )点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．
【答案】（1）y2=-x2+ x-；（2）存在；（3）y=﹣x+或y=﹣.
【解析】（1）由已知，c=，
将B（1，0）代入，得：a﹣=0，
解得a=﹣，
抛物线解析式为y1=x2- x+，
∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），
∴y2=﹣（x﹣1）2，
即y2=-x2+ x-；
（2）存在，
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如图1：
抛物线y2的对称轴l为x=1，设T（1，t），
已知A（﹣3，0），C（0，），
过点T作TE⊥y轴于E，则
TC2=TE2+CE2=12+（）2=t2﹣t+，
TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，
AC2=，
当TC=AC时，t2﹣t+=，
解得：t1=，t2=；
当TA=AC时，t2+16=，无解；
当TA=TC时，t2﹣t+=t2+16，
解得t3=﹣；
当点T坐标分别为（1，），（1，），（1，﹣）时，△TAC为等腰三角形；
（3）如图2：
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设P（m，），则Q（m，），
∵Q、R关于x=1对称
∴R（2﹣m，），
①当点P在直线l左侧时，
PQ=1﹣m，QR=2﹣2m，
∵△PQR与△AMG全等，
∴当PQ=GM且QR=AM时，m=0，
∴P（0，），即点P、C重合，
∴R（2，﹣），
由此求直线PR解析式为y=﹣x+，
当PQ=AM且QR=GM时，无解；
②当点P在直线l右侧时，
同理：PQ=m﹣1，QR=2m﹣2，
则P（2，﹣），R（0，﹣），
PQ解析式为：y=﹣；
∴PR解析式为：y=﹣x+或y=﹣.
8、抛物线的顶点为（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标．21·cn·jy·com
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【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
（2）当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
设抛物线对称轴与x轴交于点E，过点P作PF∥x轴，交抛物线对称轴于点F，如图所示．
设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）（x＞1），则PF＝x﹣1，BE＝3﹣1＝2．
∵∠BME+∠PMF＝90°，∠BME+∠MBE＝90°，
∴∠MBE＝∠PMF．
在△MBE和△PMF中， ，
∴△MBE≌△PMF（AAS），
∴ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2，
∴EF＝ME+MF＝x+1．
∵EF＝|x2﹣2x﹣3|，
∴|x2﹣2x﹣3|＝x+1，即x2﹣3x﹣4＝0或x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝2，x3＝4，
∴点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．
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9、如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
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求抛物线的表达式；
求证：AB平分；
抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2·1·c·n·j·y
【答案】抛物线的解析式为；证明见解析；点M的坐标为或．
【解析】
将，代入得：，
解得：，，
抛物线的解析式为；
，，
，
取，则，
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由两点间的距离公式可知，
，，
，
，
在和中，，，，
≌，
，
平分；
如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．
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抛物线的对称轴为，则．
，，
，
，
，
，
，
同理：，
又，
，
，
点M的坐标为或．
10、如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交抛物线与点Q．21·世纪*教育网
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线1交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
（3）在点P运动的过程中，坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )平面内是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
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【答案】(1) ;(2) 当m＝2时，四边形CQMD为平行四边形;(3) Q1（8，18）、Q2（﹣1，0）、Q3（3，﹣2）
【思路引导】
（1）直接将A（-1，0），B（4，0）代入抛物线y=x2+bx+c方程即可；
（2）由（1）中的解析式得出点C的坐标C（0，-2），从而得出点D（0，2），求出直线BD：y＝ x+2，设点M(m， m+2)，Q(m，m2 m 2)，可得MQ= m2+m+4，根据平行四边形的性质可得QM=CD=4，即 m2+m+4＝4可解得m=2；
（3）由Q是以BD为直角边的直角三角形，所以分两种情况讨论，①当∠BDQ=90°时，则BD2+DQ2=BQ2，列出方程可以求出Q1（8，18），Q2（-1，0），②当∠DBQ=90°时，则BD2+BQ2=DQ2，列出方程可以求出Q3（3，-2）．
【解析】
（1）由题意知，
∵点A（﹣1，0），B（4，0）在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )解得：
∴所求抛物线的解析式为
（2）由（1）知抛物线的解析式为，令x＝0，得y＝﹣2
∴点C的坐标为C（0，﹣2）
∵点D与点C关于x轴对称
∴点D的坐标为D（0，2）
设直线BD的解析式为：y＝kx+2且B（4，0）
∴0＝4k+2，解得：
∴直线BD的解析式为：
∵点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交BD于点M，交抛物线与点Q
∴可设点M，Q
∴MQ＝
∵四边形CQMD是平行四边形
∴QM＝CD＝4，即=4
解得：m1＝2，m2＝0（舍去）
∴当m＝2时，四边形CQMD为平行四边形
（3）由题意，可设点Q且B（4，0）、D（0，2）
∴BQ2＝
DQ2＝
BD2＝20
①当∠BDQ＝90°时，则BD2+DQ2＝BQ2，
∴
解得：m1＝8，m2＝﹣1，此时Q1（8，18），Q2（﹣1，0）
②当∠DBQ＝90°时，则BD2+BQ2＝DQ2，
∴
解得：m3＝3，m4＝4，（舍去）此时Q3（3，﹣2）
∴满足条件的点Q的坐标有三个，分别为：Q1（8，18）、Q2（﹣1，0）、Q3（3，﹣2）．
【方法总结】
此题考查了待定系数法求解析式，还考查了平行四边形及直角三角形的定义，要注意第3问分两种情形求解．
11、如图，已知直线y＝x+2交 ( http: / / www.21cnjy.com )x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．【出处：21教育名师】
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；
（3）过点A作AB的垂线交y ( http: / / www.21cnjy.com )轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．www-2-1-cnjy-com
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【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+ ( http: / / www.21cnjy.com )2．（2）M（﹣，）．（3）平移后的解析式为y＝﹣x﹣1+或y＝﹣x﹣1﹣．
【解析】
（1）∵直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∵抛物线的对称轴x＝﹣，A，C关于对称轴对称，
∴C（1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），把（0，2）代入得到a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．
（2）如图1中，作EA⊥AB交BM的延长线于E，作EF⊥x轴于F．
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∵∠ABE＝∠OBC，∠BAE＝∠BOC＝90°，
∴△BAE∽△BOC，
∴，
∴，
∴AE＝，
∵∠EAF+∠BAO＝90°，∠BAO＝45°，
∴∠EAF＝45°，
∴EF＝AF＝1，
∴E（3，1），
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+2，
由，解得或，
∴M（-，）．
（3）如图2中，当直线AD向下平移时，设E（x1，y1），F（x2，y2），作EH⊥x轴于H，FG⊥x轴于G．
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∵∠EOF=90°=∠PHE=∠OGF，
由△EHO∽△OGF得到：
，
∴，
∴x1x2+y1y2=0，
由，消去y得到：x2+b-2=0，
∴x1x2=b-2，x1+x2=0，y1y2=（-x1+b）（-x2+b）=x1x2+b2，
∴2（b-2）+b2=0，
解得b=-1-或-1+（舍弃），
当直线AD向上平移时，同法可得b=-1+，
综上所述，平移后的解析式为y=-x-1+或y=-x-1-．
12、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．
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（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；
（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．
①当t为 秒时，△PAD的周长最小？当t为 秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）
②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B（﹣3，0）；（2）y=x2+4x+3，E（﹣2，﹣1）；（3）①2；4或或；②P（﹣2，1）或（﹣2，2）．
【解析】
解：（1）由抛物线的轴对称性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）．
（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，
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由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM．
∵MN∥y轴，AB∥CD，∴四边形ODMN是矩形．
∴DM=ON=2．∴CD=2×2=4．
∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴AB=2．
∵梯形ABCD的面积=（AB+CD） OD=9，
∴OD=3，即c=3．
把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得．
∴y=x2+4x+3．
将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）2﹣1，得E（﹣2，﹣1）；
（3）①连接BD交对称轴于P，则此时△PAD的周长最小，
∵B（﹣3，0），D（0，3），
易得直线BD的解析式为：y=x+3，
当x=-2时，y=-2+3=1，
∴P（-2，1），
∴当t为2秒时，△PAD的周长最小；
当△PAD是以AD，AP为腰的等腰三角形时，易得P（-2，3），
则此时t=4；
当△PAD是以AD，DP为腰的等腰三角形且点P在CD下方时，设抛物线的对称轴交CD于点M，
∵AO=1，OD=3，MD=2，
∴DP=AD=，
∴PM=，
∴EP=3+1-=4-，
∴t=4-；
当△PAD是以AD，DP为腰的等腰三角形且点P在CD上方时，
同理可得PM=，
∴EP=3+1+=4+，
∴t=4+；
故答案为：2；4或或；
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②存在．
∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，
∴∠PDM+∠DPM=90°，∠DPM+∠APN=90°．
∴∠PDM=∠APN．
∵∠PMD=∠ANP，∴△APN∽△PDM．
∴，即．
∴PN2﹣3PN+2=0，解得PN=1或PN=2．
∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．
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13、如果一条抛物线y=ax2+bx+ ( http: / / www.21cnjy.com )c（a≠0）与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），我们把|x1﹣x2|记为d（A、B），抛物线的顶点到x轴的距离记为d（x），如果d（A，B）=d（x），那么把这样的抛物线叫做“正抛物线”．www.21-cn-jy.com
（1）抛物线y=2x2﹣2是不是“正抛物线”；（回答“是”或“不是”）．
（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）是“正抛物线”，求抛物线的解析式；
（3）如图，若“正抛物线”y=x2+mx（m ( http: / / www.21cnjy.com )＜0）与x轴相交于A、B两点，点P是抛物线的顶点，则抛物线上是否存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形？如果存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）抛物线y=2x ( http: / / www.21cnjy.com )2﹣2是“正抛物线”；（2）抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；（3）满足条件的点C坐标为（，）或（，﹣）．
【解析】（1）对于抛物线y=2x2﹣2，
当y=0时，2x2﹣2=0，解得x=1或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（1，0），
∴d（A，B）=2，
∴d（x）=d（A，B），
∴抛物线y=2x2﹣2是“正抛物线”．
故答案为：是．
（2）当y=0时，﹣x2+bx=0，解得x=0或b，
∵b＞0，
∴d（A，B）=b，
由题意
解得b=0（舍弃）或b=4，
∴抛物线的解析式为
（3）当y=0时，x2+mx=0，解得x=0或﹣m，
∵m＜0，
∴d（A，B）
∵
∴d（x）
由题意
解得或0（舍弃），
∴
假设存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形，分两种情形：
①如图1中，作AC⊥AP交抛物线于点C，厉害PC，作PE⊥x轴交AC于D．
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∴AE=2，PE=4，
由△ADE∽△PAE,可得
∴
∴DE=1，
∴D(2,1)，
∴直线AD的解析式为
由解得或
∴
②如图2中，作PC⊥AP交抛物线于C，交y轴于D，连接AC，作PE⊥x轴于E.
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由△ADP∽△PAE,可得 即
∴
∴AD=5，
∴D(0, 5)，
∴直线AD的解析式为
由解得或
综上所述,满足条件的点C坐标为(92,94)或(52, 154).
综上所述，满足条件的点C坐标为或
14、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．【版权所有：21教育】
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1 ( http: / / www.21cnjy.com )个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为 ，点P的坐标为 ；
（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．
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【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3），；（4）存在，F1，F2．
【解析】
（1）∵在抛物线y=ax2+bx+c中，当x=﹣4和x=2时，二次函数y=ax2+bx+c的函数值y相等，
∴抛物线的对称轴为x1，
又∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣3，0)、B两点，
由对称性可知B(1，0)，
∴可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)，
将C(0，)代入y=a(x+3)(x﹣1)，
得：﹣3a，
解得：a，
∴此抛物线的解析式为y(x+3)(x﹣1)x2x；
（2）△ABC为直角三角形．理由如下：
∵A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，)，
∴OA=3，OB=1，OC，
∴AB=OA+OB=4，AC2，BC2．
∵AC2+BC2=16，AB2=16，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，
∴BM=BN=t，
由翻折知，△BMN≌△PMN，
∴BM=PM=BN=PN=t，
∴四边形PMBN是菱形，
∴PN∥AB，
∴△CPN∽△CAB，设PM与y轴交于H，
∴，
即，
解得：t，CH，
∴OH=OC﹣CH，
∴yP，
设直线AC的解析式为y=kx，
将点A(﹣3，0)代入y=kx，
得：k，
∴直线AC的解析式为yx，
将yP代入yx，
∴x=﹣1，
∴P(﹣1，)．
故答案为：，(﹣1，)；
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（4）设直线BC的解析式为y=kx，
将点B(1，0)代入y=kx，
得：k，
∴直线BC的解析式为yx，
由（2）知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．
①如图2，当∠ACF=90°时，点B，C，F在一条直线上，
在yx中，当x=﹣1时，y=2，
∴F1(﹣1，2)；
②当∠CAF=90°时，AF∥BC，
∴可设直线AF的解析式为yx+n，
将点A(﹣3，0)代入yx+n，
得：n=﹣3，
∴直线AF的解析式为yx﹣3，
在yx﹣3中，当x=﹣1时，y=﹣2，
∴F2(﹣1，﹣2)．
综上所述：点F的坐标为F1(﹣1，2)，F2(﹣1，﹣2)．
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