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专题11 二次函数中的线段长度问题
1、如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由．www.21-cn-jy.com
（3）在（2）的条件下，在抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．www-2-1-cnjy-com
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【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）存在，点P的坐标为（1，2），△PAC的周长是；（3）存在，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）．
【解析】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴，得，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，4），
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；
（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，如图所示：
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设过点B（3，0），点C（0，3）的直线解析式为y＝kx+m，
，得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴点P的坐标为（1，2），
∵点A（﹣1，0），点C（0，3），点B（3，0），
∴AC＝，BC＝3，
∴△PAC的周长是：AC+CP+PA＝AC+CB＝，
即点P的坐标为（1，2），△PAC的周长是；
（3）存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC，
∵S△PAM＝S△PAC，
∴当以PA为底边时，只要两个三角形等高即可，
即点M和点C到PA的距离相等，
当点M在点C的上方时，
则CM∥PA时，点M和点C到PA的距离相等，
设过点A（﹣1，0），点P（1，2）的直线l1解析式为：y＝kx+m，
，得，
∴直线AP的解析式为y＝x+1，
∴直线CM的解析式为y＝x+3，
由得，，，
∴点M的坐标为（1，4）；
当点M在点C的下方时，
则点M所在的直线l2与AP平行，且直线l2与直线AP之间的距离与直线l1与直线AP之间的距离相等，
∴直线l2的的解析式为y＝x﹣1，
由得，，，
∴M的坐标为（，）或（，）；
由上可得，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）．
2、如图，抛物线y=ax2﹣ x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），已知B点坐标为（4，0）． 【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；2-1-c-n-j-y
（3）若点P是抛物线上一点，点E是直 ( http: / / www.21cnjy.com )线y=﹣x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y= x2﹣ x-2；（2）M（2，-3）；（3）存在；点E坐标为(,)、(,)、（,)或(,).21*cnjy*com
【解析】
（1）解：由题意得c=-2，0=a×42-×4-2，
解得a= ，
∴抛物线的解析式为：y= x2﹣ x-2.
（2）解：作MN∥y轴交BC于点N，
∵的面积==2MN=，
∴当MN最大时，的面积也最大，此时M到线段BC的距离d也最大，
设直线BC的解析式为y=kx+b,
∴,
解得,
∴y=x-2，
∴MN=x-2-( x2 - x-2)=- x2+2x=-(x-2)2+2，
∴当x=2时，MN有最大值2，
∴M（2，-3）.
∴当d取最大值时， M点的坐标是（2，-3）；
（3）解：存在，理由如下：
设点 E 的坐标为 (n, n), 以点A,点B,点P,点E为顶点的平行四边形分两种情况，如图，
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①以线段AB为边，点E在点P的左边时，
∵A( 1,0),B(4,0),E(n, n)，
∴P(5+n, n)，
∵点P(5+n, n)在抛物线y= x2 - x-2上，
∴ n=(5+n)2 (5+n) 2,
解得：n1=, n2= ，
此时点E的坐标为(,)或(,)；
以线段AB为边，点E在点P的右边时，
∵A( 1,0),B(4,0),E(n, n)，
∴P(n 5, n)，
∵点P(n 5, n)在抛物线y=x2 x 2上，
∴ n=(n 5)2 (n 5) 2,
即n2 11n+36=0，
此时△=( 11)2 4×36= 23<0，
∴方程无解；
②以线段AB为对角线时，
∵A( 1,0),B(4,0),E(n, n)，
∴P(3 n,n)，
∵点P(3 n,n)在抛物线y=x2 x 2上，
∴n=(3 n)2 (3 n) 2,
解得：n3=,n4= ，
此时点E的坐标为（,)或(,).
综上可知：存在点P、E, 使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形, 点E坐标为(,)、(,)、（,)或(,).【来源：21cnj*y.co*m】
3、如图，抛物线y=ax2+bx-3与轴交于，两点（点在点左侧），A(-1,0)，B(3,0)，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为。21*cnjy*com
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；
（3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使，，，这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形 如果存在，求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由。
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【答案】（1）y=x2﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )x﹣3；（2）；（3）存在4个符合条件的F点，分别为F（﹣3，0），（1，0），（4+，0），（4﹣，0）．
【解析】
（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，得：a=1，b=﹣2，∴y=x2﹣2x﹣3．
（2）将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（2，﹣3），∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1．21cnjy.com
设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）．
∵P点在E点的上方，∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2，∴当x=时，PE的最大值=．
（3）存在．讨论如下：
①如图，连接C与抛物线和y轴的交点．
∵C（2，﹣3），G（0，﹣3），∴CG∥x轴，此时AF=CG=2，∴F点的坐标是（﹣3，0）；
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②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
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③如图，设F（x，0）．
∵ACFG是平行四边形，∴AF的中点与CG的中点重合．
∵AF的中点的纵坐标为0，∴C ( http: / / www.21cnjy.com )，G两点的纵坐标互为相反数，∴G点的纵坐标为3，∴x2﹣2x﹣3=3，解得：x=1±，∴G点的坐标为（1±，3），∴AF的中点的横坐标=CG的中点的横坐标，∴ ，解得：x=，∴F的坐标为（，0）．2·1·c·n·j·y
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综上所述：存在4个符合条件的F点，分别为F（﹣3，0），（1，0），（4+，0），（4﹣，0）．
4、在如图的平面直角坐标系中，抛物线y＝ax ( http: / / www.21cnjy.com )2﹣2amx+am2+1（a＜0）与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，顶点是D，且∠DAB＝45°．
（1）填空：点C的纵坐标是 （用含a、m的式子表示）；
（2）求a的值；
（3）点C绕O逆时针旋转90°得到点C′，当﹣≤m≤时，求BC′的长度范围．
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【答案】（1）am2+1；（2）a＝﹣1；（3）0≤BC′≤．
【解析】
解：（1）当x＝0时，y＝ax2﹣2amx+am2+1＝am2+1，
∴点C的纵坐标为am2+1．
故答案为：am2+1．
（2）设抛物线对称轴与x轴交于点E，如图1所示．
∵DA＝DB，∠DAB＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝2DE．
∵y＝ax2﹣2amx+am2+1＝a（x﹣m）2+1，
∴点D的坐标为（m，1）．
当y＝0时，ax2﹣2amx+am2+1＝0，即a（x﹣m）2＝﹣1，
解得：x1＝m﹣，x2＝m+，
∴AB＝2＝2，
解得：a＝﹣1．
（3）由（1）（2）可知：点C的坐标为（0，1﹣m2），点B的坐标为（m+1，0）．
∵点C绕O逆时针旋转90°得到点C′，
∴点C′的坐标为（m2﹣1，0），
∴BC′＝|m+1﹣（m2﹣1）|＝|﹣m2+m+2|．
∵﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，﹣≤m≤，
∴当m＝时，﹣m2+m+2取得最小值，最小值为﹣；
当m＝时，﹣m2+m+2取得最大值，最大值为，
∴当﹣≤m≤时，﹣≤﹣m2+m+2≤，
∴当﹣≤m≤时，0≤BC′≤．
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5、如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点D，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，D两点，点C是抛物线的顶点．21教育网
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（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BD上方抛物线上的一个动 ( http: / / www.21cnjy.com )点，其横坐标为m，过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P，当线段PM的长度最大时，求m的值及PM的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为3，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）当m＝时，PM有最大值；（3）存在满足条件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（6，﹣7）．
【思路引导】
（1）y=-x+5，令x=0，则y=5，令y=0，则x=5，故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可得M点坐标为（m，﹣m2+4m+5），则则P点坐标为（m，﹣m+5），表示出PM的长度：PM=-m2+4m+5-（-m+5）=-m2+5m=-（m-）2+，利用二次函数的性质即可求解；
（3）过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设出Q点坐标Q（x，﹣x2+4x+5），则G（x，﹣x+5），表示出QG的长度QG=|-x2+4x+5-（-x+5）|=|-x2+5x|，由条件可得△BOD是等腰直角三角形，，可证得△QHG为等腰直角三角形，则当△BDQ中BD边上的高为3时，即QH=HG=3，QG=×3=6，|-x2+5x|=6，即可求解．
【解析】
解：（1）y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝5，
故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），
则二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5，将点B坐标代入上式并解得：b＝4，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；
（2）设M点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+5），M（m，﹣m2+4m+5），
∴PM＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m-）2+，
∴当m＝时，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
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设Q（x，﹣x2+4x+5），则G（x，﹣x+5），
∴QG＝|﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）|＝|﹣x2+5x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，
∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，
∴△QHG是等腰直角三角形，
当△BDQ中BD边上的高为3时，即QH＝HG＝3，
∴QG＝×3＝6，
∴|﹣x2+5x|＝6，
当﹣x2+5x＝6时，解得x＝2或x＝3，
∴Q（2，9）或（3，8），
当﹣x2+5x＝﹣6时，解得x＝﹣1或x＝6，
∴Q（﹣1，0）或（6，﹣7），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（6，﹣7）．
【方法总结】
本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质及方程思想等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．在（1）中主要是待定系数法的考查，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键．21教育名师原创作品
6、如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A(﹣2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；
(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．
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【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2； （2）（0，2）或（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）；（3）1.
【解析】
解：（1）A（﹣2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式y=﹣x2+mx+n，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2．
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，则易得B（1，0），设M（m，n）然后依据S△AOM=2S△BOC列方程可得：
AO×|n|=2××OB×OC，
∴×2×|﹣m2﹣m+2|=2，
∴m2+m=0或m2+m﹣4=0，
解得m=0或﹣1或，
∴符合条件的点M的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣2，0），C（0，2）代入
得到，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+2，
设N（x，x+2）（﹣2≤x≤0），则D（x，﹣x2﹣x+2），
ND=（﹣x2﹣x+2）﹣（x+2）=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴x=﹣1时，ND有最大值1．
∴ND的最大值为1．
7、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x（ ( http: / / www.21cnjy.com )x﹣b）﹣与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P．【出处：21教育名师】
（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；
（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；
（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．
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【答案】（1）2（2）（3）h存在最小值，最小值为1
【解析】
解：（1）∵点B与点C关于直线x＝1对称，y＝x（x﹣b）﹣＝x2﹣bx﹣，
∴﹣＝1，
解得：b＝2．
（2）当x＝0时，y＝x2﹣bx﹣＝﹣，
∴点A的坐标为（0，﹣）．
又∵OB＝OA，
∴点B的坐标为（﹣，0）．
将B（﹣，0）代入y＝x2﹣bx﹣，得：0＝+b﹣，
解得：b＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣．
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，
∴点P的坐标为（，﹣）．
当y＝0时，x2﹣x﹣＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1，
∴点C的坐标为（1，0）．
∴S△BCP＝×[1﹣（﹣）]×|﹣|＝．
（3）y＝x2﹣bx﹣＝（x﹣）2﹣﹣．
当≥1，即b≥2时，如图1所示，
y最大＝b+，y最小＝﹣b+，
∴h＝2b；
当0≤＜1，即0≤b＜2时，如图2所示，
y最大＝b+，y最小＝﹣﹣，
∴h＝1+b+＝（1+）2；
当﹣1＜＜0，﹣2＜b＜0时，如图3所示
y最大＝﹣b，y最小＝﹣﹣，
∴h＝1﹣b+＝（1﹣）2；
当≤﹣1，即b≤﹣2时，如图4所示，
y最大＝﹣b+，y最小＝b+，
h＝﹣2b．
综上所述：h＝h存在最小值，最小值为1．
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8、如图，抛物线交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
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（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
【答案】（1）；（2）P（﹣1，4），，；（3）．
【解析】
（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，故该抛物线的解析式为：；
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为，则易得B（1，0），设P点坐标为（x，），∵，∴，整理，得或，解得x=﹣1或x=，则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4），，；
（3）设直线AC的解析式为，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，即直线AC的解析式为．设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，），QD===，∴当x=时，QD有最大值．
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9、如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．
（1）求、的值；
（2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；
（3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．【版权所有：21教育】
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【答案】（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为和
【解析】
解：（1）轴，，抛物线对称轴为直线
点的坐标为
解得或（舍去），
（2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标为.
直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为.
因为点在上，即点的坐标为
（3）存在点满足题意.设点坐标为，则
作垂足为
①点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点的坐标为21·世纪*教育网
②点在直线的右侧时，点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为
综上所述：满足题意得点的坐标为和
10、函数y=x2+bx+c的图像与x 轴交 ( http: / / www.21cnjy.com )于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图像上，CD//x轴，且CD=2，直线l 是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b、c 的值；
（2）如图①，连接BE，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F′ 恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P ( http: / / www.21cnjy.com )作x 轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．
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图 ① 图②
【答案】（1）c=-3；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )点F的坐标为（0，-2）；（3）满足题意的点Q的坐标为（,）和(,)
【解析】
（1）∵CD∥x轴，CD=2，∴抛物线对称轴为x=1，∴．
∵OB=OC，C（0，c），∴B点的坐标为（﹣c，0），∴0=c2+2c+c，解得：c=﹣3或c=0（舍去），∴c=﹣3；
（2）设点F的坐标为（0，m）．
∵对称轴为直线x=1，∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．
由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4）．
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，﹣4），∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6．
∵点F在BE上，∴m=2×2﹣6=﹣2，即点F的坐标为（0，﹣2）；
（3）存在点Q满足题意．
设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3．
作QR⊥PN，垂足为R．
∵S△PQN=S△APM，∴，∴QR=1．
分两种情况讨论：
①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )1，n2﹣4n），R点的坐标为（n，n2﹣4n），N点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2，∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为；
②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2﹣4）．
同理，NQ2=1+（2n﹣1）2，∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为．
综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为或．
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11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点点D出发沿线段DB向终点B运动．
（1）直接写出抛物线解析式和顶点D的坐标；
（2）过点E作EF⊥y轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点H作HP⊥x轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；
（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x=3向上运动，点E的速度为每秒个单位长度，点Q速度均为每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值．
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【答案】（1）抛物线y=-x2+2x+3，顶点D为（1，4）（2）G点的坐标（，）（3）存在3个t值：t=．，
【解析】
解：(1)由题意得
解得，
∴抛物线y= x2+2x+3，
顶点D为(1,4)；
(2)如图，
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连接OH，
∵EF⊥y轴，HP⊥x轴，x轴⊥y轴，
∴四边形HPOF是矩形，
∴PF=OH，
∴当OH最短时，PF最短，
∴OH⊥BC时，PF最短，
可得H的纵坐标为，
把y=代入y= x2+2x+3中，
则= x2+2x+3，
解得x1=,x2= (舍去)；
∴G点的坐标(，)
（3）如图，
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DB=2，yBD=-2x+6，即
点E坐标为（，）,Q(3，t)
当BE=BQ时，2-t=t t=；
当BE=EQ时(2-t)2=(+(,
当BQ=EQ时 t2=(+( ,
所以存在3个t值：t=．，
12、如图（1），二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0）的图象与x轴、直线y＝x的交点分别为点A(4，0)、B(5，5)．
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（1）a＝ ，b＝ ，∠AOB＝ °；
（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且∠PBO＝∠OBA，求点P的坐标 ；
（3）如图（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD＝2．设点C的横坐标为m．
①过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF．当CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；21·cn·jy·com
②连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）1，4，45°；（2）(﹣，)；（3）①m＝，四边形CDEF为平行四边形；②m=，2
【思路引导】
（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）证明△HOB≌△AOB（AAS），得OA＝OH＝4，即点H（0，4），即可求解；
（3）①则CF+DE＝m﹣m2+4m+（m+2）﹣[（m+2）2﹣4（m+2）]＝﹣2m2+6m+6，即可求解；
②如图所示，过点A作CD的 ( http: / / www.21cnjy.com )平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，当A'、D、G三点共线时，A'D+DG＝A'G最短，即可求解．
【解析】
（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故二次函数表达式为：y＝x2+4x，
∵点O，B在直线y=x上，
∴OB平分∠xOy,
∴∠AOB=45 ；
故：答案为：1，4，45°；
（2）设直线BP交y轴于点H，
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∵∠HOB＝∠AOB＝45°，∠PBO＝∠OBA，BO＝BO，
∴△HOB≌△AOB（AAS），
∴OA＝OH＝4，即点H（0，4），
则直线PB的表达式为：y＝kx+4，将点B坐标代入上式并解得：
直线PB的表达式为：y＝x+4，
将上式与二次函数表达式联立并解得：x＝5或﹣（舍去正值），
则点P（﹣，）；
（3）①由题意得：直线OB的表达式为：y＝x，
设点C（m，m），CD＝2，直线OB的倾斜角为45度，则点D（m+2，m+2），
则点F（m，m2﹣4m），点E[（m+2），（m+2）2﹣4（m+2）]，
则CF+DE＝m﹣m2+4m+（m+2）﹣[（m+2）2﹣4（m+2）]＝﹣2m2+6m+6，
∵﹣2＜0，故CF+DE有最大值，此时，m＝，
则点C、F、D、E的坐标分别为（，）、（，﹣）、（，）、（，﹣），
则CF＝DE＝，CF∥ED，
故四边形CDEF为平行四边形；
②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，
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∴AC＝DG，
作点A关于直线OB的对称点A'（0，4），连接A'D，则A'D＝AD，
∴当A'、D、G三点共线时，A'D+DG＝A'G最短，此时AC+AD最短，
∵A（4，0），AG＝CD＝2，
则点G（6，2），
则AC+AD最小值＝A'G＝＝2；
【方法总结】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何 ( http: / / www.21cnjy.com )图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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专题11 二次函数中的线段长度问题
1、如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由．21教育网
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是 ( http: / / www.21cnjy.com )否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．www.21-cn-jy.com
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2、如图，抛物线y=ax2﹣ x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），已知B点坐标为（4，0）． 2·1·c·n·j·y
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（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；21·世纪*教育网
（3）若点P是抛物线上一点 ( http: / / www.21cnjy.com )，点E是直线y=﹣x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，抛物线y=ax2+bx-3与轴交于，两点（点在点左侧），A(-1,0)，B(3,0)，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为。21cnjy.com
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；
（3）点是抛物线上的动点， ( http: / / www.21cnjy.com )在轴上是否存在点，使，，，这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形 如果存在，求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由。www-2-1-cnjy-com
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4、在如图的平面直角坐标系中，抛物线y＝a ( http: / / www.21cnjy.com )x2﹣2amx+am2+1（a＜0）与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，顶点是D，且∠DAB＝45°．2-1-c-n-j-y
（1）填空：点C的纵坐标是 （用含a、m的式子表示）；
（2）求a的值；
（3）点C绕O逆时针旋转90°得到点C′，当﹣≤m≤时，求BC′的长度范围．
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5、如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点D，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，D两点，点C是抛物线的顶点．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BD上方抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )上的一个动点，其横坐标为m，过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P，当线段PM的长度最大时，求m的值及PM的最大值；21*cnjy*com
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为3，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．21*cnjy*com
6、如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A(﹣2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；
(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．
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7、如图，在平面直角坐标系中，抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线y＝x（x﹣b）﹣与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P．
（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；
（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；
（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．21世纪教育网版权所有
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8、如图，抛物线交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
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（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
9、如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．
（1）求、的值；
（2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；
（3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．21·cn·jy·com
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10、函数y=x2+bx+c的图像与x ( http: / / www.21cnjy.com ) 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图像上，CD//x轴，且CD=2，直线l 是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求b、c 的值；
（2）如图①，连接BE，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F′ 恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P ( http: / / www.21cnjy.com )作x 轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由． 【出处：21教育名师】
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图 ① 图②
11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点点D出发沿线段DB向终点B运动．
（1）直接写出抛物线解析式和顶点D的坐标；
（2）过点E作EF⊥y轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点H作HP⊥x轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；
（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x=3向上运动，点E的速度为每秒个单位长度，点Q速度均为每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值．
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12、如图（1），二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0）的图象与x轴、直线y＝x的交点分别为点A(4，0)、B(5，5)．
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（1）a＝ ，b＝ ，∠AOB＝ °；
（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且∠PBO＝∠OBA，求点P的坐标 ；
（3）如图（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD＝2．设点C的横坐标为m．
①过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF．当CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；21教育名师原创作品
②连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值．
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