中小学教育资源及组卷应用平台
专题10 二次函数中的动点问题
1、如图①，已知抛物线y＝ax ( http: / / www.21cnjy.com )2﹣4amx+3am2（a、m为参数，且a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．21·cn·jy·com
（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；
（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan∠ACB的值；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对 ( http: / / www.21cnjy.com )称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）B（3m，0）；（2）tan∠ACB＝；
（3）点P的坐标是：（）或（）或（）或（）．
【解析】
解：（1）令y＝0，则有ax2﹣4amx+3am2＝0，
解得：x1＝m，x2＝3m，
∵m＞0，A在B的左边，
∴B（3m，0）；
（2）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由（1）可知B（3m，0），则△BOC为等腰直角三角形，
∵OC＝OB＝3m，
∴BC＝3m，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝2m，
∴m，CD＝2m，
∴tan∠ACB＝；
（3）∵由题意知x＝2为对称轴，
∴2m＝2，
即m＝1，
∵在（2）的条件下有（0，3m），
∴3m＝3am2，
解得m＝，即a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①当P在对称轴的左边，如图2，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m＝或，
∴P的坐标为（，）或（）；
②当P在对称轴的右边，
如图3，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
( http: / / www.21cnjy.com / )
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：x＝或；
P的坐标为（）或（）；
综上所述，点P的坐标是：（）或（）或（）或（）．
2、如图1，在平面直角坐标系物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线的顶点.【来源：21·世纪·教育·网】
（1）若点坐标为，求抛物线的解析式和点的坐标；
（2）若点为抛物线对称 ( http: / / www.21cnjy.com )轴上一点，且点的纵坐标为，点为抛物线在轴上方一点，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值；2-1-c-n-j-y
（3）直线与（1）中的抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线交于点、（如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为，与直线的另一个交点为，与轴的交点为，在平移的过程中，求的长度；当时，求点的坐标.【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）;;（2）； ，;（3）
【解析】
（1）依题意得：
解得，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-4）或
∴
（2）由题意可知、、
对称轴为直线，则
①，且，根据点的平移特征可知
则，
解得：（舍去正值）；
②当为对角线时，设，根据平行四边形的对角线互相平分可得
，
解得，
则
解得：
∴，
（3）联立
解得：(舍去)，
则，根据抛物线的平移规律，
则平移后的线段始终等于
设平移后的，则
平移后的抛物线解析式为：
则：过，
∴，则
抛物线过
解得，
∴，（与重合，舍去）
∴
3、如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】(1) y＝x2+x﹣3；(2)见解析.
【思路引导】
（1）将点A、B的坐标代 ( http: / / www.21cnjy.com )入抛物线表达式，即可求解；（2）PD=|m +4m|，∵PD∥AO，则当PD=OA=3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD=|m +4m|=3，即可求解．21教育网
【解析】
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣3；
（2）存在，理由：
同理直线AB的表达式为：y＝x﹣3，
设点P（m，m2+m﹣3），点D（m， m﹣3）（m＜0），则PD＝|m2+4m|，
∵PD∥AO，则当PD＝OA＝3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，
即PD＝|m2+4m|＝3，
①当m2+4m＝3时，
解得：m＝﹣2±（舍去正值），
即m2+m﹣3＝1﹣，故点P（﹣2﹣，﹣1﹣），
②当m2+4m＝﹣3时，解得：m＝﹣1或﹣3，
同理可得：点P（﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）；
综上，点P（﹣2﹣，﹣1﹣）或(﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）．
【方法总结】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、平行四边形性质等，要注意分类讨论思想的运用．21cnjy.com
4、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图1，设E（m，0）为x正半轴上的一个动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE=S△CGO，求点E的坐标；【出处：21教育名师】
（3）如图2，设点P从点A出发 ( http: / / www.21cnjy.com )，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；y=3x+3；（2）点E的坐标为：（1,0）或（-7,0）；（3）存在，t的值为或或．【版权所有：21教育】
【思路引导】
（1）用待定系数法即能求 ( http: / / www.21cnjy.com )出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e＋3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值．
【解析】
解：（1）将点A（-1，0），B（3，0），点C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c得，
，解得，
∴，
设直线AC的解析式为y=kx+n，
将点A（-1，0），点C（0，3）代入得：，解得：k=3，n=3
∴直线AC的解析式为：y=3x+3
（2）延长GC交x轴于点F，过点G作GH⊥x轴于点H，
∵
∴G（1,4），GH=4，
∴，
若S△CGE=S△CGO，
则S△CGE=S△CGO=，
①若点E在x轴的正半轴，
设直线CG为，将G（1,4）代入得
∴，
∴直线CG的解析式为y=x+3，
∴当y=0时，x=-3，即F(-3,0)
∵E（m,0）
∴EF=m-(-3)=m+3
∴
=
=
=
=
∴，解得：m=1
∴E的坐标为（1,0）
( http: / / www.21cnjy.com / )
②若点E在x轴的负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1,0）到直线CG的距离相等，
即点E到点F的距离等于点（1,0）到点F的距离，
∴EF=-3-m=1-(-3)=4
∴m=-7，即E（-7,0）
综上所述，点E的坐标为：（1,0）或（-7,0）
（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，
设M（e,3e+3），e＞-1，则，
①如图2，若∠MPN=90°，PM=PN，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，过N作NR⊥x轴于点R，
∵MN∥x轴
∴MQ＝NR＝3e ( http: / / www.21cnjy.com )＋3
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL）
∴PQ＝PR，∠MPQ＝∠NPR＝45°
∴MQ＝PQ＝PR＝NR＝3e＋3
∴xN＝xM＋3e＋3＋3e＋3＝7e＋6，即N（7e＋6，3e＋3）
∵N在抛物线上
∴ （7e＋6）2＋2（7e＋6）＋3＝3e＋3，21*cnjy*com
解得：（舍去），
∵AP＝t，OP＝t 1，OP＋OQ＝PQ
∴t 1 e＝3e＋3
∴t＝4e＋4＝，
( http: / / www.21cnjy.com / )
②如图3，若∠PMN＝90°，PM＝MN，
∴MN＝PM＝3e＋3
∴xN＝xM＋3e＋3＝4e＋3，即N（4e＋3，3e＋3）
∴ （4e＋3）2＋2（4e＋3）＋3＝3e＋3
解得：e1＝ 1（舍去），e2＝，
∴t＝AP＝e （ 1）＝，21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
③如图4，若∠PNM＝90°，PN＝MN，
∴MN＝PN＝3e＋3，N（4e＋3，3e＋3）
解得：e＝
∴t＝AP＝OA＋OP＝1＋4e＋3＝
综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【方法总结】
本题考查了待定系数法求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．
5、如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A(﹣1，0)和点B(2，3)两点．
(1)求抛物线C函数表达式；
(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求此时的面积S及点M的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】(1) y＝﹣x2+2x+3；(2) △MAB的面积最大值是，M(，)
【解析】
(1)由题意把点(﹣1，0)、(2，3)代入y＝ax2+2x+c，
得，解得，
∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
(2)如图，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，
将点(﹣1，0)、(2，3)代入y＝kx+b中，
得，解得，
∴yAB＝x+1，
设点M(x，﹣x2+2x+3)，则K(x，x+1)，则MK＝﹣x2+2x+3﹣(x+1)＝﹣x2+x+2，
∴S△MAB
＝S△AMK+S△BMK
＝MK (xM﹣xA)+ MK (xB﹣xM)
＝MK (xB﹣xA)
＝×(-x2+x+2)×3
＝，
∵，当x＝时，S△MAB最大=，此时，
∴△MAB的面积最大值是，M(，)．
( http: / / www.21cnjy.com / )
6、如图，直线y＝x+a与x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，N．
（1）填空：点B的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；
（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），
①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；
②求出使△BPN为直角三角形时m的值；
（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）（0，﹣3），y＝x2﹣x﹣3；（2）①是3，②3或；（3）6或6+6或6﹣6．
【解析】
解：（1）把点A坐标代入直线表达式y＝x+a，
解得：a＝﹣3，则：直线表达式为：y═x﹣3，令x＝0，则：y＝﹣3，
则点B坐标为（0，﹣3），
将点B的坐标代入二次函数表达式得：c＝﹣3，
把点A的坐标代入二次函数表达式得：×16+4b﹣3＝0，
解得：b＝﹣，
故抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，
（2）①∵M（m，0）在线段OA上，且MN⊥x轴，
∴点P（m，m﹣3），N（m，m2﹣m﹣3），
∴PN＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）＝﹣（m﹣2）2+3，
∵a＝﹣＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当m＝2时，PN有最大值是3，
②当∠BNP＝90°时，点N的纵坐标为﹣3，
把y＝﹣3代入抛物线的表达式得：﹣3＝m2﹣m﹣3，解得：m＝3或0（舍去m＝0），
∴m＝3；
当∠NBP＝90°时，∵BN⊥AB，两直线垂直，其k值相乘为﹣1，
设：直线BN的表达式为：y＝﹣x+n，
把点B的坐标代入上式，解得：n＝﹣3，则：直线BN的表达式为：y＝﹣x﹣3，
将上式与抛物线的表达式联立并解得：m＝或0（舍去m＝0），
当∠BPN＝90°时，不合题意舍去，
故：使△BPN为直角三角形时m的值为3或；
（3）∵OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，tanα＝，则：cosα＝，sinα＝，
∵PM∥y轴，
∴∠BPN＝∠ABO＝α，
( http: / / www.21cnjy.com / )
若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，
则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个．
当过点N的直线与抛物线有一个交点N，
点M的坐标为（m，0），设：点N坐标为：（m，n），
则：n＝m2﹣m﹣3，过点N作AB的平行线，
则点N所在的直线表达式为：y＝x+b，将点N坐标代入，
解得：过N点直线表达式为：y＝x+（n﹣m），
将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2﹣12x﹣12+3m﹣4n＝0，
△＝144﹣3×4×（﹣12+3m﹣4n）＝0，
将n＝m2﹣m﹣3代入上式并整理得：m2﹣4m+4＝0，
解得：m＝2，则点N的坐标为（2，﹣），
则：点P坐标为（2，﹣），
则：PN＝3，
∵OB＝3，PN∥OB，
∴四边形OBNP为平行四边形，则点O到直线AB的距离等于点N到直线AB的距离，
即：过点O与AB平行的直线与抛物线的交点为另外两个N点，即：N′、N″，
直线ON的表达式为：y＝x，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：
x2﹣4x﹣4＝0，解得：x＝2±2，
则点N′、N″的横坐标分别为2+2，2﹣2，
作NH⊥AB交直线AB于点H，
则h＝NH＝NPsinα＝，
作N′P′⊥x轴，交x轴于点P′，则：∠ON′P′＝α，ON′＝＝（2+2），
S四边形OBPN＝BP h＝＝6，
则：S四边形OBP′N′＝S△OP′N′+S△OBP′＝6+，
同理：S四边形OBN″P″＝﹣6，
故：点O，B，N，P构成的四边形的面积为：6或6+6或6﹣6．
7、在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与抛物线的对称轴交于点．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点，（点P在点Q的左侧）．若恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围．
【答案】（1）1；（2）．（3）．
【解析】
解：（1）∵ 经过点，
∴将点的坐标代入 ，即 ，得．
∵直线 与抛物线 的对称轴交于点 ，
∴将点代入，得 ．
(2)∵抛物线 的对称轴为，
∴ ，即．
∴
．
∴抛物线的顶点坐标为 ．
(3)当时，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
若拋物线过点 ，则 ．
结合函数图象可得 ．
当时，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．
8、如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．
（1）填空：b＝ ，c＝ ；
（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；
（3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标。
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1），4；（2）不可能是直角三角形，见解析；（3）M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）
【思路引导】
(1)设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-4）．将a=-代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；
（2）先求得点C的坐标，依据勾股定理可求得AC=5，则PC=5-t，AQ=3+t,再判断当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°，从而得出△AOC∽△APQ，得到比例式列方程求解即可；2·1·c·n·j·y
(3)根据点M在抛物线上，设出点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），再根据△AOM的面积与△AOC的面积相等，从而得出﹣m2+m+4=，解方程即可．
【解析】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣4）．将a＝﹣代入得：y＝﹣x2+x+4，
∴b＝，c＝4．
（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．
理由如下：∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，
∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°．
将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，
∴C（0，4）．∵点A的坐标为（﹣3，0），
∴在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC＝5，
∵AP＝OQ＝t，∴AQ=3+t，
∵∠OAC＝∠PAQ，∠APQ＝∠AOC
∴△AOC∽△APQ
∴AP:AO=AQ:AC
∴= ∴t=4.5．
∵由题意可知：0≤t≤4，
∴t＝4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形．
(3 )设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4）
∵△AOM的面积与△AOC的面积相等，且底都为AO，C（0，4）．
∴﹣m2+m+4=
当﹣m2+m+4=-4时，解得：m=或,
当﹣m2+m+4=4时，解得：m=1或0
∵当m=0时，与C重合，∴m=或或1
∴ M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）
【方法总结】
本题主要考查的是二次函数的综合应用， ( http: / / www.21cnjy.com )解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，灵活运用相关的知识是解题的关键．21·世纪*教育网
9、如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发， ( http: / / www.21cnjy.com )以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解析】
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
( http: / / www.21cnjy.com / )
10、如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等．
（1）求实数的值；
（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）t=， ；（3）Q（-1，），见解析.
【解析】
解：（1）∵在抛物线上
∴代入得c=
∵x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等，
∴顶点横坐标,
,
又∵A（-3，0）在抛物线上，
∴9a 3b+=0
由以上二式得;
（2）由（1）,
∴B（1，0），
连接BP交MN于点O1，根据折叠的性质可得：O1也为PB中点．
设t秒后有,
设P（x，y），B（1，0）
∵O1为P、B的中点可得，即,
∵A，C点坐标知AC：，P点也在直线AC上代入得t=,
即；
（3）假设成立；
①若有△ACB∽△QNB，则有∠ABC=∠QBN，
∴Q点在x轴上，AC∥QN但由题中A，C，Q，N坐标知直线的一次项系数为：，
则△ACB不与△QNB相似．
②若有△ACB∽△QBN，则有
设，
则，
代入（1）得，
或，
当时有Q（-1，）则不满足相似舍去；
当y=有Q（-1，）则，
∴存在点Q（-1，）使△ACB∽△QBN．
综上可得：Q（-1，）.
( http: / / www.21cnjy.com / )
11、已知，如图1，二次函数y＝a ( http: / / www.21cnjy.com )x2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；
（2）求二次函数解析式；
（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直 ( http: / / www.21cnjy.com )线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．
【答案】(1) 点A、B的坐标分别为（﹣3 ( http: / / www.21cnjy.com )，0）、（1，0），直线l的表达式为：y＝x+;(2) 二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+；(3)8.
【解析】
解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，
即点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），
点A坐标代入y＝kx+得：0＝﹣3k+，解得：
即直线l的表达式为：①，
同理可得直线AC的表达式为：
直线BD的表达式为：②，
联立①②并解得：x＝3，在点D的坐标为（3，2）；
（2）设点C的坐标为（﹣1，m），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称得AC2＝AB2，
即：（﹣3+1）2+m2＝16，解得：（舍去负值），点C（1，2），
将点C的坐标代入二次函数并解得：
故二次函数解析式为：
（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），
作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），
则CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵DQ⊥AC，AC∥BD，∴∠QDB＝90°，
作DF⊥x轴交于点F，
DF＝ADsin∠DAF
∵B、C关于直线l对称，即直线l是∠EAF的平分线，
∴ED＝FD＝2，
则QD＝4，BD＝4，
∴BQ
即CN+NM+MD的最小值为8．
12、如图，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B与点C关于原点对称，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点B，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．21世纪教育网版权所有
（1）求二次函数的表达式；
（2）动点P从点A到点D，同时动点Q从点C到点A都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒．
①当t为何值时，有PQ丄AC？
②当t为何值时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）①当t＝秒时，PQ⊥AC，②当t＝时，四边形PDCQ的面积最小，最小面积为
【解析】
解：（1）当x＝0，y＝﹣x+3＝3，则点A（0，3），
当y＝0，﹣x+3＝0，解得x＝4，则点C（4，0），
∵点B与点C关于原点对称，
∴点B（﹣4，0），BC＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥x轴，AD＝BC＝8，
∴D（8，3），
将点B（﹣4，0），点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c得，解得，
∴二次函数表达式y＝x2﹣x﹣3；
（2）①∵A（0，3），C（4，0），
∴AC＝＝5，
，当点P运动了t秒时，则AP＝t，CQ
②作QH⊥AD于H，如图，
∵∠HAQ＝∠OCA，
∴△AQH∽△CAO，
∴，即，解得QH＝（5﹣t），
∴S四边形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP
＝ 3 8﹣t （5﹣t）
＝t2﹣t+12
＝（t﹣）2+，
∴当t＝时，四边形PDCQ的面积最小，最小面积为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
13、如图，在平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①若点P在第一象限内．试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②求以BC为底边的等腰△BPC的面积．
【答案】（1）所求函数关系式为y=﹣x2+2x+3；
（2）①线段PN的长度的最大值为．
②或，
【解析】
（1）由于直线y=﹣x+3经过B、C两点，
令y=0得x=3；令x=0，得y=3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵点B、C在抛物线y=﹣x2+bx+c上，于是得，
解得b=2，c=3，
∴所求函数关系式为y=﹣x2+2x+3；
（2）①∵点P（x，y）在抛物线y=﹣x2+2x+3上，
且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），
同理可设点N的坐标为（x，﹣x+3），
又点P在第一象限，
∴PN=PM﹣NM，
=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3），
=﹣x2+3x，
=—，
∴当时，
线段PN的长度的最大值为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
②解：
由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，
又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴设点P的坐标为（a，a），
又点P在抛物线y=﹣x2+2x+3上，于是有a=﹣a2+2a+3，
∴a2﹣a﹣3=0，
解得，，
∴点P的坐标为：或，
若点P的坐标为，此时点P在第一象限，
在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP=OM=，
OB=OC=3，
S△BPC=S四边形BOCP﹣S△BOC=2S△BOP﹣S△BOC，
=，
若点P的坐标为，此时点P在第三象限，
则S△BPC=S△BOP+S△COP+S△BOC=，
=，
( http: / / www.21cnjy.com / )
14、如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方 ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）y＝x2x+2；（2）l=+，最大值为.
【解析】
（1）∵矩形OBDC的边CD＝1，
∴OB＝1，
由AB＝4，得OA＝3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，
∴a+b+2=0，9a－3b+2=0，
解得：a=，b=，
∴抛物线解析式为y＝x2x+2；
（2）在y＝x2x+2中，
当y＝2时，x＝0或x＝﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y＝﹣x，∠PGH＝∠COE＝45°，
∵P（m，m2m+2），PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∴PG＝m2m+2﹣（﹣m）
＝+，
∵∠PGH＝∠COE＝45°，
∴l＝PG
＝+，
∴当m＝时，l有最大值，最大值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题10 二次函数中的动点问题
1、如图①，已知抛物线y ( http: / / www.21cnjy.com )＝ax2﹣4amx+3am2（a、m为参数，且a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．21教育网
（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；
（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan∠ACB的值；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线的对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
2、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线的顶点.21·世纪*教育网
（1）若点坐标为，求抛物线的解析式和点的坐标；
（2）若点为抛物线对称轴上一点，且点 ( http: / / www.21cnjy.com )的纵坐标为，点为抛物线在轴上方一点，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值；www-2-1-cnjy-com
（3）直线与（1）中的抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线交于点、（如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为，与直线的另一个交点为，与轴的交点为，在平移的过程中，求的长度；当时，求点的坐标.2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
3、如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
4、在平面直角坐标系中，点 ( http: / / www.21cnjy.com )O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图1，设E（m，0）为x正半轴上的一个动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE=S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图2，设点P从点A出发 ( http: / / www.21cnjy.com )，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
5、如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A(﹣1，0)和点B(2，3)两点．
(1)求抛物线C函数表达式；
(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求此时的面积S及点M的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
6、如图，直线y＝x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，N．
（1）填空：点B的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；
（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），
①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；
②求出使△BPN为直角三角形时m的值；
（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积．www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
7、在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与抛物线的对称轴交于点．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点，（点P在点Q的左侧）．若恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围．
8、如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．
（1）填空：b＝ ，c＝ ；
（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；
（3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标。
( http: / / www.21cnjy.com / )
9、如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单 ( http: / / www.21cnjy.com )位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【来源：21·世纪·教育·网】
10、如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等．21世纪教育网版权所有
（1）求实数的值；
（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
11、已知，如图1，二次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；
（2）求二次函数解析式；
（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交 ( http: / / www.21cnjy.com )直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．21cnjy.com
12、如图，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B与点C关于原点对称，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点B，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．21教育名师原创作品
（1）求二次函数的表达式；
（2）动点P从点A到点D，同时动点Q从点C到点A都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒．
①当t为何值时，有PQ丄AC？
②当t为何值时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？
( http: / / www.21cnjy.com / )
13、如图，在平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①若点P在第一象限内．试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；21*cnjy*com
②求以BC为底边的等腰△BPC的面积．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
