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专题02 直角三角形的存在性与函数问题
1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直
角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
2、在平面直角坐标平面内，O为原点，二次函数的图像经过点
A（，0）和点B（0，3），顶点为P．
（1）求二次函数解析式及点P的坐标；
（2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标．
3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（，0）、B（4，0）、
C（0，2）．点D是点C关于原点的对称点，联结BD，点E是x轴上的一个动点，设点E的坐标为（m，0），过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P．21教育网
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点E在线段OB上运动时，直线l交BD于点Q，当四边形CDQP是平行四边
形时，求m的值；
（3）是否存在点P，使是不以BD为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写
出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
4、如图，在Rt中，∠ACB = 90°，AB = 13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．21cnjy.com
（1）当CE = 3时，求S△CEF∶S△CAF的值；
（2）设CE = x，AE = y，当CG = 2GB时，求y与x之间的函数关系式；
（3）当AC = 5时，联结EG，若为直角三角形，求BG的长．
5、如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数（）图像上的一点，且是直角三角形，求点P的坐标．21·cn·jy·com
6、如图，在中，AB = AC = 10，cosB = ．D、E为线段BC上的两个动点，且DE = 3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E作EF // AC交AB于F，联结DF．
（1）设BD = x，EF = y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）如果为直角三角形，求的面积；
（3）如图2，如果MN过的重心，且MN // BC分别交FD、FE于M、N，求整
个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积（直接写出答案）．
图1 图2
7、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC ( http: / / www.21cnjy.com )的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA = 4，OC = 2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．21世纪教育网版权所有
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）在点P从O向A运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，求t的值．若
不能，请说明理由．
8、如图，在中，CA = CB，AB = 8，．点D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，联结CE、DE．www.21-cn-jy.com
（1）求底边AB上的高；
（2）设CE与AB交于点F，当为直角三角形时，求AD的长；
（3）联结AE，当是直角三角形时，求AD的长．
9、如图，已知为等边三角形，AB = 6，点P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上．2·1·c·n·j·y
（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y与x的函数关系式及定义域；
（2）当BP = 2时，求CF的长；
（3）是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由．
10、如图，在中，，AC = 4 cm，BC = 5 cm，点D在BC上，并且
CD = 3 cm．现有两个 ( http: / / www.21cnjy.com )动点P、Q分别从点A、B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE // BC交AD于点E，联结EQ．设动点运动时间为x（s）．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当x为何值时，为直角三角形．
x
y
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
G
F
E
D
M
A
B
O
x
y
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
N
M
A
B
C
D
O
P
x
y
H
M
N
A
B
C
D
E
H
A
B
C
D
E
F
G
P
A
B
C
D
E
P
Q
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题02 直角三角形的存在性与函数问题
1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直
角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
【答案】（1）A、B的坐标分别为（，0），（2，0）；
（2）直线l解析式为或．
【解析】（1）解方程，
可得：A、B的坐标分别为（，0），（2，0）；
（2）设AB中点为D，D点为（，0），
以D为圆心，AD为半径作圆，
若l与y轴平行，则找不到3个M点，使为直角三角形．
∴l不与y轴平行．
∴必定存在2个M点，使或．
要满足“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”，
即直线l与圆D相切，设切点为M0，过M0作M0H⊥x轴于H，
∵，，
∴，．
∴M0的坐标为或．
∴直线l解析式为或．
【总结】本题主要考查二次函数背景下的直角三角形的存在性问题，注意认真分析题目中的条件，从而求出正确的结果．21世纪教育网版权所有
2、在平面直角坐标平面内，O为原点，二次函数的图像经过点
A（，0）和点B（0，3），顶点为P．
（1）求二次函数解析式及点P的坐标；
（2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标．
【答案】（1）解析式：，顶点（1，4）；
（2）点Q的坐标是（1，0）或（9，0）．
【解析】（1）由题意得，解得：，；
∴二次函数解析式为，
∴点P的坐标是（1，4）；
（2）P（1，4），A（，0），∴
设点Q的坐标是（x，0），则，．
当时，，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点Q的坐标是（1，0）；
当时，，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标是（9，0）．
当时，不合题意．
综上所述，所求点Q的坐标是（1，0）或（9，0）．
【总结】本题一方面考查二次函数的解析式及顶点坐标的确定，另一方面考查二次函数背景下的直角三角形的存在性，注意利用勾股定理确定点的坐标．21教育网
3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（，0）、B（4，0）、
C（0，2）．点D是点C关于原点的对称点，联结BD，点E是x轴上的一个动点，设点E的坐标为（m，0），过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P．21·cn·jy·com
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点E在线段OB上运动时，直线l交BD于点Q，当四边形CDQP是平行四边
形时，求m的值；
（3）是否存在点P，使是不以BD为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写
出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）m = 2；
（3）（3），，．
【解析】解：（1）∵二次函数过点A、B，
∴设二次函数为．
将点C（0，2）代入，解得．
∴二次函数解析式为：；
（2）D点坐标为（0，）．
∴直线BD的解析式为：．
∴P点坐标为，Q点坐标为．
∵CD = PQ，
∴．
解得：m = 2或m = 0（舍），
故m的值为2；
（3），，．
（注：可设过B或D的与BD垂直的直线，然后与二次函数联立后解出）
【总结】本题综合性较强，考查的内容也比较多 ( http: / / www.21cnjy.com )，包含了二次函数解析式的确定，还有就是平行四边形的存在性以及直角三角形的存在性的确定，注意利用相关性质去确定点的坐标．2·1·c·n·j·y
4、如图，在Rt中，∠ACB = 90°，AB = 13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）当CE = 3时，求S△CEF∶S△CAF的值；
（2）设CE = x，AE = y，当CG = 2GB时，求y与x之间的函数关系式；
（3）当AC = 5时，联结EG，若为直角三角形，求BG的长．
【答案】（1）；（2）；（3）BG的长为6或．
【解析】解：（1）∵CD//AB，CE = 3，AB = 13，
∴．
∴．
（2）延长AG交CD于M．
∴．
∴．
∵CD//AB，
∴，
∴AE = EM，
∴．
（3）∵，∴分两种情况讨论．
①当时，可得AG = GM．
∵CD//AB，
∴；
②当时，可得，
∴，．
又∵，，
∴，
∴GA = GB．
∴．
综上所述，若为直角三角形，BG的长为6或．
【总结】本题综合性较强，考查的 ( http: / / www.21cnjy.com )内容也比较多，包含了面积的比值，函数解析式的确定以及直角三角形的存在性的确定，注意在求解析式时，利用角平分线的性质去确定解析式．21·世纪*教育网
5、如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数（）图像上的一点，且是直角三角形，求点P的坐标．www-2-1-cnjy-com
【答案】（（2，1）或（）．
【解析】解：分情况讨论，因为点P在第一象限，所以不可能为．
1 当时，
∴P点横坐标为2，
∴P点为（2，1）；
2 当时，连接OP，∴OP = OA = 2，
设P点为， ∴．
解得：或，
∵点P在第一象限， ∴，
综上，P点的坐标可能为（2，1）或（）．
【总结】本题主要考查直角三角形的存在性问题，由于本题中P点在第一象限，因此注意直角三角形只有两种情况．21cnjy.com
6、如图，在中，AB = AC = 10，cosB = ．D、E为线段BC上的两个动点，且DE = 3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E作EF // AC交AB于F，联结DF．
（1）设BD = x，EF = y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）如果为直角三角形，求的面积；
（3）如图2，如果MN过的重心，且MN // BC分别交FD、FE于M、N，求整
个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积（直接写出答案）．
图1 图2
【答案】（1）（）；（2）或；（3）．
【解析】解：（1）∵EF//AC，∴．
∵AB=AC=10，，∴BC=16．
∴．
∴（）；
（2）∵EF///AC，AB=AC， ∴，∴．
由于，分类讨论：
1 当时，∵，∴，解得：；
∴的面积为；
2 时，∵，∴，解得：．
∴的面积为；
综上所述，的面积为或；
（3）面积为（注：形状为一个平行四边形，MN始终为2）．
【总结】本题主要考查动点背景下的面积问题，注意进行分类讨论．
7、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA = 4，OC = 2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．www.21-cn-jy.com
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）在点P从O向A运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，求t的值．若
不能，请说明理由．
【答案】（1）D点坐标为；（2）t = 2或3．
【解析】解：（1）取CP中点M，作MN⊥OP于N，作DH⊥PA于H．
可得，．
∵，，P点坐标为，
∴D点坐标为；
（2）当时，，
∴．即，解得：或（舍）．
当时，，∴，即，∴PA = 1，∴t = 3
故当是直角三角形时，或3．
【总结】本题一方面考查三角形的旋转问题，另一方面考查相似三角形的性质的运用，注意利用旋转的性质进行求解．21*cnjy*com
8、如图，在中，CA = CB，AB = 8，．点D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，联结CE、DE．【出处：21教育名师】
（1）求底边AB上的高；
（2）设CE与AB交于点F，当为直角三角形时，求AD的长；
（3）联结AE，当是直角三角形时，求AD的长．
【答案】（1）3；（2）AD的长为或；（3）的长为1．
【解析】解：（1）过C作CH⊥AB于H．
∵AC = BC，AB = 8，∴AH = BH = 4．
又∵，∴AC = BC = 5，CH = 3；
（2）分情况讨论：
①当时，F与H重合，∴EH = 2．
∵，∴．
∴；
②当时，作DM⊥AC于M，设CM = x，
∵，∴．
∴，∴，解得：．
∴；
综上：当为直角三角形时，AD的长为或；
（3）∵AD = DE，∴为直角三角形时，AD、DE只可能是直角边．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及判定直角三角形的存在性，解题时根据题意认真分析，注意进行分类讨论．2-1-c-n-j-y
9、如图，已知为等边三角形，AB = 6，点P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上．【版权所有：21教育】
（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y与x的函数关系式及定义域；
（2）当BP = 2时，求CF的长；
（3）是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）（）； （2）；
（3）BP的长为或者为．
【解析】（1）∵为等边三角形，
∴，；
∵，，∴；
又∵四边形DEFG是正方形，
∴，，
∴；∴，
∴（）；
（2）当BP = 2时，，；
（3）能成为直角三角形．
时，如图；
，，
解得：．
时，如图；
则，，
解得：．
∴当为直角三角形，
BP的长为或者为．
【总结】本题综合性较强，主要考查动点背景下的正方形与直角三角形的存在性，注意对相关性质的准确运用．
10、如图，在中，，AC = 4 cm，BC = 5 cm，点D在BC上，并且
CD = 3 cm．现有 ( http: / / www.21cnjy.com )两个动点P、Q分别从点A、B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE // BC交AD于点E，联结EQ．设动点运动时间为x（s）．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当x为何值时，为直角三角形．
【答案】（1），；
（2）当x为2.5 s或3.1 s时，为直角三角形．
【解析】（1）在中，AC = 4，CD = 3，则AD = 5．
∵EP // DC，
∴∽，
∴，即，
∴，；
（2）分两种情况讨论：
当时，如图；
易得，又∵EQ // AC，
∴∽，
∴，即，
解得：x = 2.5；
当时，如图；
∵，，
∴∽，
∴，即，
解得：x = 3.1；
综上所述：当x为2.5 s或3.1 s时，为直角三角形．
【总结】本题主要考查动点 ( http: / / www.21cnjy.com )背景下的相似三角形的综合运用，注意得到相应的线段比，从而求出相应的线段长，第（2）问中的直角三角形注意进行两种情况的分类讨论．21教育名师原创作品
x
y
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
G
F
E
D
M
A
B
O
x
y
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
N
M
A
B
C
D
O
P
x
y
H
M
N
A
B
C
D
E
H
A
B
C
D
E
F
G
P
A
B
C
D
E
F
G
P
A
B
C
D
E
F
G
P
A
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C
D
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Q
A
B
C
D
E
P
Q
A
B
C
D
E
P
Q
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