2022年最新精品解析北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系难点解析练习题（Word版，附答案解析）

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系难点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）
A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间
2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则 tanB的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cosB的值等于（　　）
A． B． C． D．
4、如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5、为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE=70°，车轮半径为30 cm，当BC=60 cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为( )(结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）
A．90cm B．86cm C．82cm D．80cm
6、在科学小实验中，一个边长为30cm正方体小木块沿着一个斜面下滑，其轴截面如图所示．初始状态，正方形的一个顶点与斜坡上的点P重合，点P的高度PF＝40cm，离斜坡底端的水平距离EF＝80cm．正方形下滑后，点B的对应点与初始状态的顶点A的高度相同，则正方形下滑的距离（即的长度）是（　　）cm
A．40 B．60 C．30 D．40
7、小金将一块正方形纸板按图1方式裁剪，去掉4号小正方形，拼成图2所示的矩形，若已知AB＝9，BC＝16，则3号图形周长为（　　）
A． B． C． D．
8、如图，某建筑物AB在一个坡度为i＝1：0.75的山坡BC上，建筑物底部点B到山脚点C的距离BC＝20米，在距山脚点C右侧同一水平面上的点D处测得建筑物顶部点A的仰角是42°，在另一坡度为i＝1：2.4的山坡DE上的点E处测得建筑物顶部点A的仰角是24°，点E到山脚点D的距离DE＝26米，若建筑物AB和山坡BC、DE的剖面在同一平面内，则建筑物AB的高度约为（　　）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin42°≈0.67．cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
A．36.7米 B．26.3 米 C．15.4米 D．25.6 米
9、将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、＝_______．
2、在△ABC中，∠A，∠C都是锐角，cosA＝，sinC＝，则∠B＝________．
3、在中，，，点D在BC上，且，则______．
4、如图，在正方形中，点为边中点，连接，与对角线交于点，连接，，且与交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填序号即可）
5、如图，是拦水坝的横断面，堤高为6米，斜面坡度为，则斜坡的长为_______米．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，过点C作CE∥AB，过点A作AE∥CD，两线相交于点E，连接DE．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若，求DE的长．
2、在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：
如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得，，连接EF，FG，GH，HE．
（1）判断四边形EFGH的形状，并证明；
（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且，，求AE的长．
3、计算： 2sin60°+tan45°－cos30°tan60°
4、如图, 某种路灯灯柱 垂直于地面, 与灯杆 相连. 已知直线 与直线 的夹角是 . 在地面点 处测得点 的仰角是 , 点 仰角是 , 点 与点 之间的距离为 米．
求：（1）点 到地面的距离；
（2） 的长度．（精确到 米）
（参考数据: ）
5、图1、图2分别是某型号拉杆箱的实物图与示意图，小张获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．
（1）求AC的长度：
（2）直接写出拉杆端点A到水平滑杆ED所在直线的距离 cm．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案.
【详解】
解：∵，
∴，
∴.
故选：D.
【点睛】
本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握是解题的关键.
2、A
【分析】
根据直角三角形的两个锐角互余即可求得，根据特殊角的三角函数值即可求解
【详解】
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴
又
故选A
【点睛】
本题考查了直角三角形的两个锐角互余，求特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键．
3、D
【分析】
根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可．
【详解】
解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴，
∴cosB＝＝．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键．
4、D
【分析】
根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB，
∴,
又∵CD＝3，
∴AB＝6，
，
∴＝＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．
5、B
【分析】
过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N，构造直角三角形，利用三角函数，求出CM，再用CM减去MN即可．
【详解】
解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN=30cm，
∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°，
∴sin∠ABE=sin70°==0.94
∴CM≈56cm
∴CN=CM+MN=30+56=86（cm）
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，将所给角放到直角三角形中，是解题的关键．
6、B
【分析】
根据题意可得：A与高度相同，连接，可得，利用平行线的性质可得：，根据正切函数的性质计算即可得．
【详解】
解：根据题意可得：A与高度相同，如图所示，连接，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查平行线的性质及锐角三角函数解三角形，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键．
7、B
【分析】
设 而AB＝9，BC＝16，如图，由（图1）是正方形，（图2）是矩形，4号图形为小正方形，得到 再证明再建立方程求解，延长交于 则 再利用勾股定理求解 从而可得答案.
【详解】
解：如图，由题意得：（图1）是正方形，（图2）是矩形，4号图形为小正方形，
设 而AB＝9，BC＝16，
结合（图1），（图2）的关联信息可得：
整理得：
解得：
经检验：不符合题意，取
延长交于 则 四边形是矩形，
所以3号图形的周长为：
故选B
【点睛】
本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的应用，从（图形1）与（图形2）中的关联信息中得出图形中边的相等是解本题的关键.
8、D
【分析】
如图所示，过E点做CD平行线交AB线段为点H，标AB线段和CD线段相交点为G和H由坡度为i＝1：0.75，BC＝20可得BG=16,GC=12,由坡度为 i＝1：2.4，DE＝26可得DF=24,EF=10，分别在在中满足，在中满足化简联立得AB=25.6．
【详解】
如图所示，过E点做CD平行线交AB线段为点H，标AB线段和CD线段相交点为G和H
∵在中BC＝20，坡度为i＝1：0.75，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中DE＝26，坡度为 i＝1：2.4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中满足，在中满足,
即,
其中BG=16、BG=12、BH=BG-EF=6、DF=24，
代入化简得，
令2-有
∴，
∴AB=25.6．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度，再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组，正确的列方程求解是解题的关键．
9、D
【分析】
由∠AFE＋∠CFD＝90°得，根据折叠的定义可以得到CB＝CF，则，即可求出的值，继而可得出答案．
【详解】
∵∠AFE＋∠CFD＝90°，
∴，
由折叠可知，CB＝CF，
矩形ABCD中，AB＝CD，．
故选：D．
【点睛】
本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CB＝CF．
10、A
【分析】
根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可．
【详解】
解：如图所示，在直角三角形ABC中∠ACB=90°，AC=2，BC=4，
∴，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了求正切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义．
二、填空题
1、5
【分析】
原式分别根据绝对值，有理数的乘方，二次根式以及特殊角三角函数值化简各项后，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】
解：
=
=5
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则及特殊角三角函数值是解答本题的关键
2、60°度
【分析】
利用特殊角的锐角三角函数值先求解再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】
解： ∠A，∠C都是锐角，cosA＝，sinC＝，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是已知锐角三角函数值求解锐角的大小，掌握“特殊角的锐角三角函数值”是解本题的关键.
3、
【分析】
由题意知， 在中利用勾股定理求出的长，，进而得出结果．
【详解】
解：
在中，
故答案为：．
【点睛】
本题考察了等腰三角形，勾股定理与三角函数值．解题的关键在于角度的转化．
4、①②③
【分析】
证△ADE≌△BCE和△ADF≌△CDF导角可知①正确，利用三角函数表示出线段长，可得②正确；证△DCH∽△BDH，可得③正确，根据∠DCH≠∠HDC，可得④错误．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，点E是DC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD，DE＝CE，∠BCE＝∠ADE＝90°，
∴△ADE≌△BCE（SAS）
∴∠CBE＝∠DAE，BE＝AE，
∵AD＝DC，∠ADF＝∠CDF＝45°，DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF，
∴∠DCF＝∠CBE，
∵∠CBE+∠CEB＝90°，
∴∠DCF+∠CEB＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥BE，故①正确；
∵点为边中点，
∴，
∵∠DAE＝∠DCF＝∠CBE，
∴，
设，，则，，
则，
∵△ADF≌△CDF（SAS），
∴FA＝CF＝，
，
，
解得，，
∴，故②正确；
，
∵，，
∴，
∵∠DEH＝∠DEB，
∴△DEH∽△BED，
∵∠EDH＝∠DBE，
∵∠DBE+∠CBE＝45°，
∴∠EDH+∠HDB＝45°，
∵∠HDB＝∠EBC＝∠ECH，
∴△DCH∽△BDH，
∴，即，故③正确；
∵，，
∴∠DAE≠∠DBH，
∴∠DCH≠∠HDC，故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了解直角三角形和相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的性质进行推理证明．
5、
【分析】
由斜面坡度为有，解得AC=12，再由勾股定理求得AB即可．
【详解】
∵斜面坡度为
∴
∴
∵是直角三角形，故有
故答案为：．
【点睛】
本题考察了直角三角形应用题，解直角三角形应用题的一般步骤（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形；（3）寻找直角三角形，并解这个三角形．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）DE=5．
【分析】
（1）先证明四边形AECD是平行四边形，再根据CD⊥AB于D，即可证明；
（2）根据矩形的性质，得出∠BCD=∠ACE，再根据，得出，得出，在中即可得出．
【详解】
证明：（1）CE∥AB，AE∥CD，
四边形AECD是平行四边形，
CD⊥AB于D，
∠CDA=90°，
四边形AECD是矩形；
（2）四边形AECD是矩形，
∠DCE=∠AEC=90°，AC=DE，
∠ACB=90°，
∠DCB+∠ACD=90°，
∠ACE+∠ACD=90°，
∠BCD=∠ACE，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
．
【点睛】
本题考查了矩形的证明，锐角三角形的求解问题，解题的关键是根据正弦值求线段的长．
2、（1）平行四边形，证明见解析；（2）2
【分析】
（1）由四边形ABCD为矩形，，可得BE=DG，FC=AH，由勾股定理可得EH=FG，EF=GH，故四边形EFGH为平行四边形．
（2）设AE为x，由，可求得BF=DH=x+1，AH=x+2，由可求得AH=2x，则x=2，即AE=2.
【详解】
（1）∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，AB=CD，∠HAB=∠EBC=∠FCD=∠ADG=90°，
又∵，
∴BE=DG，FC=AH
∴，，，
∴EH=FG，EF=GH
∴四边形EFGH为平行四边形．
（2）设AE=x则BE=DG=x+1
在中，
∴
∵BF=DH=x+1
∴AH=x+1+1=x+2
又∵
∴
∴AH=2AE=2x
∴2x=x+2
解得x=2，
∴AE=2
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和解直角三角形，熟练掌握平行四边形的判定从而证明出EH=FG，EF=GH是解题关键．
3、
【分析】
根据特殊角的锐角三角形函数值进行混合运算即可．
【详解】
解：原式
【点睛】
本题考查了特殊角的锐角三角形函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
4、（1）2.8米；（2）AB的长度为0.6米
【分析】
（1）过点A作交于点F，则，在中，用三角函数即可得；
（2）过点A作交于点H，根据，证明四边形AFCH是矩形，则，，设BC=x，则米，根据三角形内角和定理得，即，根据三角函数得DF=2.1米，米，在中，根据三角函数得，则，即可得，则，根据三角函数即可得米．
【详解】
解：（1）过点A作交于点F，
则，
在中，（米），
即点A到地面的距离为2.8米；
（2）过点A作交于点H，
在四边形AFCH中，，
∴四边形AFCH是矩形，
∴，，
设BC=x，则米，
∵，，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴米，
∵在中，，
∴，
∴
，
∴（米），
∵，
∴（米）．
【点睛】
本题考查了三角函数，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
5、（1）（40+40）cm；（2）（20）cm．
【分析】
（1）过点F作FG⊥DE于点G，分别利用三角函数求出FG和DG，然后求出CD，进而求出CE，即可求出DE，最后根据AC＝2DE即可求出AC；
（2）作AH⊥ED延长线于H，根据AH＝AC·sin45°求出AH即可．
【详解】
解：（1）过点F作FG⊥DE于点G，
∴∠FGD＝∠FGC＝90°，
在Rt△DGF中，
∵∠CDF＝30°，
∴FG＝FD sin30°＝30×＝15（cm），
∴DG＝FD cos30°＝30×＝15（cm），
在Rt△CGF中，
∵∠DCF＝45°，
∴CG＝FG＝15（cm），
∴CD＝CG+DG＝15+15（cm），
∵CE：CD＝1：3，
∴CE＝CD＝×（15+15）＝5+5（cm），
∴DE＝EC+CD＝5+5+15+15＝20+20（cm），
∵DE＝BC＝AB，
∴AC＝AB+BC＝2DE＝2×（20+20）＝40+40（cm），
即AC的长度为（40+40）cm．
（2）作AH⊥ED延长线于H，
在Rt△AHC中，
∵∠ACH＝45°，
∴AH＝AC sin45°＝（40+40）×＝20+20（cm），
故答案为：（20）．
【点睛】
本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题．当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形．（3）寻找直角三角形，并解这个三角形．