初中代数式逻辑思维能力题（衔接高中内容）（含解析）
文档属性
| 名称 | 初中代数式逻辑思维能力题（衔接高中内容）（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-27 08:44:43 | ||
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文档简介
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初中代数式逻辑思维能力题（衔接高中内容）
一．立方公式：立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），立方差公式a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
1．由（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b＝a3+b3，即（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3．我们把这个等式叫做立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ）
A．（x+4y）（x2﹣4xy+16y2）＝x3+64y3 B．（a+1）（a2﹣a+1）＝a3+1
C．（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝8x3+y3 D．（x+3）（x2﹣6x+9）＝x3+27
2．若x+y＝1，x3+y3＝，则x5+y5的值是（ ）
A． B． C． D．
3．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3＝ ．
4．实数a，b满足a3+b3+3ab＝1，则a+b＝ ．
5．已知实数x，y满足方程组，则x2+y2＝ ．
6．已知a+b+c+d＝1，a，b，c，d为正数，求证：．
7．已知实数x，y满足方程组．温馨提示：立方和（差）公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
求值：（1）xy （2）x2+y2．
二．对称式和轮换对称式
8．已知，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．设a＝，b＝，c＝，且x+y+z≠0，则＝ ．
10．设a，b，c，满足＝，＝，＝，求的值．
11．已知b≥0，且a+b＝c+1，b+c＝d+2，c+d＝a+3，求a+b+c+d的最大值．
12．已知 ，，，求7x+5y﹣2z的值．
13．已知，，，求的值．
三．高次方程:函数图像交点法和因式分解法
14．方程x3﹣2x2﹣1＝0的实数根个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
15．方程x4﹣6x3+13x2﹣12x+4＝0的不同有理根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
16．设x，y为实数，且满足，则x+y＝ ．
17．解方程：2x4﹣9x3+14x2﹣9x+2＝0．
四．基本不等式：存在实数a＞0，b＞0，则有≥，当且仅当a＝b时等号成立，我们称它为基本不等式（均值定理）．
18．如果a，b，c是正实数且满足abc＝1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（ ）
A．64 B．8 C．8 D．
19．函数y＝x+（x＞0）的最小值为 ．
20．阅读材料：定理：若a，b都是非负实数，则当且仅当a＝b时，a+b最小值为2．
证明：∵≥0，∴a﹣2+b≥0，∴．a+b≥2．当且仅当a＝b时，“＝”成立．
请利用上述定理解决下列两个问题：
（1）已知x＞0，求函数y＝x+的最小值．
（2）汽车的经济时速是指每小时汽车耗油量最少的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，设1小时的耗油量为y升．
①求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
②求该汽车的经济时速．
21．解方程：．
22．设实数a＞0，b＞0，则有≥，当且仅当a＝b时等号成立，我们称它为基本不等式（均值定理）．
（1）证明此定理；
（2）利用此定理，当x＞0时，求x+的最小值过程如下：“令a＝x，b＝，则x+≥2＝2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，即x+的最小值为2．”仿照此过程，求函数y＝（x＞﹣1）的最小值．
参考答案与试题解析
一．立方公式（共7小题）
1．由（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b＝a3+b3，即（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3．我们把这个等式叫做立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ）
A．（x+4y）（x2﹣4xy+16y2）＝x3+64y3
B．（a+1）（a2﹣a+1）＝a3+1
C．（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝8x3+y3
D．（x+3）（x2﹣6x+9）＝x3+27
【解答】解：∵立方公式（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3
∵A．（x+4y）（x2﹣4xy+16y2）＝．（x+4y）[x2﹣4y x+（4y）2]＝x3+64y3＝x3+（4y）3；∴符合以上公式，故A正确；
∵B．（a+1）（a2﹣a+1）＝（a+1）（a2﹣1×a+13）＝a3+13；∴符合以上公式，故B正确；
∵C．（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝（2x+y）[（2x）2﹣2x y+y2）]＝（2x）3+y3；∴符合以上公式，故C正确；
∵D．（x+3）（x2﹣6x+9）＝（x+3）（x2﹣2×3×x+9）＝x3+27∴不符合以上公式，故D正确；
故选：D．
2．若x+y＝1，x3+y3＝，则x5+y5的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝，x+y＝1，有x2﹣xy+y2＝．
又因x2+2xy+y2＝1，则3xy＝，xy＝．
由
故x5+y5＝．
故选：A．
3．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3＝ （x+y）（x2+xy+y2） ．
【解答】解：x3+2x2y+2xy2+y3＝（x3+y3）+（2x2y+2xy2）
＝（x+y）（x2﹣xy+y2）+2xy（x+y）
＝（x+y）（x2+xy+y2）
故答案为：（x+y）（x2+xy+y2）
4．实数a，b满足a3+b3+3ab＝1，则a+b＝ 1或﹣2 ．
【解答】解：由题意得：（a+b）（a2+b2﹣ab）+3ab＝1
（a+b）[（a+b）2﹣3ab]+3ab＝1
（a+b）（a+b）2﹣3ab（a+b）+3ab﹣1＝0
[（a+b）3﹣1]﹣3ab（a+b﹣1）＝0
（a+b﹣1）[（a+b）2+1+a+b]﹣3ab（a+b﹣1）＝0
（a+b﹣1）[（a+b）2+1+a+b﹣3ab]＝0
∴（a+b﹣1）＝0或（a+b）2+1+a+b﹣3ab＝0，
由（a+b）2﹣3ab+（a+b）+1＝0整理得：a2﹣（b﹣1）a+（b2+b+1）＝0，
又∵a，b是实数，所以上述方程有实数解，
dalta＝（b﹣1）2﹣4（b2+b+1）≥0
也就是：（b+1）2≤0，
故：b＝﹣1，代入上式解得a＝﹣1，
所以此时a+b＝﹣2；
综上所述可得：a+b＝1或a+b＝﹣2．
故答案为：1或﹣2．
5．已知实数x，y满足方程组，则x2+y2＝ 13 ．
【解答】解：∵x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝（x+y）[（x+y）2﹣3xy]＝19，
把x+y＝1代入，可得xy＝﹣6，
∴1×（x2+y2+6）＝19，
∴x2+y2＝13．
故答案是：13．
6．已知a+b+c+d＝1，a，b，c，d为正数，求证：．
【解答】证明：∵a+b+c+d＝1，a，b，c，d为正数，
∴0＜a＜1，a＞a2＞a3，
∴7a+1＝a+3a+3a+1＞a3+3a2+3a+1＝（a+1）3，
∴，
同理得，，，
故原式＞a+1+b+1+c+1+d+1＝5．
7．已知实数x，y满足方程组．温馨提示：立方和（差）公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
求值：（1）xy （2）x2+y2．
【解答】解：（1）∵x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝19，x+y＝1，
∴x2﹣xy+y2＝19，
∴x2+y2＝19+xy，
∵x2+2xy+y2＝（x+y）2＝1，
∴19+xy+2xy＝1，
解得：xy＝﹣6，
（2）∵xy＝﹣6，
∴x2﹣（﹣6）+y2＝19，
∴x2+y2＝13．
二．对称式和轮换对称式（共6小题）
8．已知，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，∴+＝15①，
∵，∴+＝17②；
∵，∴+＝16③，
∴①+②+③得，2（++）＝48，
∴++＝24，
则＝＝＝，
故选：D．
9．设a＝，b＝，c＝，且x+y+z≠0，则＝ 1 ．
【解答】解：∵a＝，b＝，c＝，
∴＝
＝
＝
∴＝++
＝
∵x+y+z≠0
∴原式＝1．
故答案为：1．
10．设a，b，c，满足＝，＝，＝，求的值．
【解答】解：∵＝，＝，＝，
∴＝+＝3①，
＝+＝4②
＝+＝5③，
①+②+③得：
2（++）＝12，
故++＝＝6，
则＝．
11．已知b≥0，且a+b＝c+1，b+c＝d+2，c+d＝a+3，求a+b+c+d的最大值．
【解答】解：∵a+b＝c+1，b+c＝d+2，c+d＝a+3，
∴2b+c＝6，c＝6﹣2b，
代入a+b＝c+1得a＝7﹣3b，
代入b+c＝d+2得d＝4﹣b，
则a+b+c+d＝17﹣5b，
因为b≥0，
所以当b取0时，a+b+c+d的最大值为17．
12．已知 ，，，求7x+5y﹣2z的值．
【解答】解：∵，，，
∴+＝，+＝，+＝，
解得：＝，＝，＝，
∴x＝，y＝，z＝24，
∴原式＝7×+5×﹣2×24
＝24+24﹣48
＝0．
13．已知，，，求的值．
【解答】解：∵，
∴＝，
∴x（y+z）＝2（x+y+z），
∴x＝，
即：＝，
同理：＝，，
∴＝++＝++＝＝2．
三．高次方程（共4小题）
14．方程x3﹣2x2﹣1＝0的实数根个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵x3﹣2x2﹣1＝0，
x3＝2x2+1，
画出图象y1＝x3和y2＝2x2+1，
可以看出只有一个交点，
所以，原方程只有一个根．
故选：B．
15．方程x4﹣6x3+13x2﹣12x+4＝0的不同有理根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【解答】解：观察可知x＝1是方程x4﹣6x3+13x2﹣12x+4＝0的一个根，
即（x﹣1）（x3﹣5x2+8x﹣4）＝0，
观察可知x＝1还是x3﹣5x2+8x﹣4＝0，
原方程可以化为（x﹣1）2（x2﹣4x+4）＝0，
解得x＝1或2，
原方程的不同有理根有2个，
故选：C．
16．设x，y为实数，且满足，则x+y＝ 4 ．
【解答】解：设x﹣2＝a，y﹣2＝b，则原方程组变为：．
由①+②得：a3+b3+2013（a+b）＝0，
所以（a+b）（a2﹣ab+b2）+2013（a+b）＝0，
所以（a+b）（a2﹣ab+b2+2013）＝0，
所以a+b＝0，a2﹣ab+b2+2013＝0，
因为a2﹣ab+b2+2013
＝a2﹣ab+b2+b2+2013
＝（a﹣b）2+b2+2013＞0．
所以a+b＝0，
即：x﹣2+y﹣2＝0．
所以x+y＝4．
故答案是：4．
17．解方程：2x4﹣9x3+14x2﹣9x+2＝0．
【解答】解：∵2x4﹣9x3+14x2﹣9x+2＝0，且x≠0，
∴方程两边同除以x2得：2x2﹣9x+14﹣+＝0，
故2（x2+）﹣9（x+）+14＝0，
∵x2+＝（x+）2﹣2，
∴2（x+）2﹣9（x+）+10＝0，
∴[2（x+）﹣5][（x+）﹣2]＝0，
∴2（x+）﹣5＝0①或x+﹣2＝0②；
将方程①变形整理得：2x2﹣5x+2＝0，解得：x＝或2；
将方程②变形整理得：x2﹣2x+1＝0，解得：x＝1，
∴方程2x4﹣9x3+14x2﹣9x+2＝0的解为x＝或2或1．
四．基本不等式（共5小题）
18．如果a，b，c是正实数且满足abc＝1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（ ）
A．64 B．8 C．8 D．
【解答】解：要使（a+1）（b+1）（c+1）取得最小值，则三个因式都应取得最小值，
∵m+n≥2，当且仅当m＝n时取得最小值，
故可得①当a＝1时，a+1取得最小值2；
②当b＝1时，b+1取得最小值2；
③当c＝1时，c+1取得最小值2；
又∵a＝1，b＝1，c＝1可能满足条件abc＝1，
∴代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值＝2×2×2＝8．
故选：C．
19．函数y＝x+（x＞0）的最小值为 2 ．
【解答】解：∵y＝x+≥2＝2，
当且仅当x＝，即x＝1时，取等号．
故函数y＝x+（x＞0）的最小值为2．
故答案为：2．
20．阅读材料：定理：若a，b都是非负实数，则当且仅当a＝b时，a+b最小值为2．
证明：∵≥0，∴a﹣2+b≥0，∴．a+b≥2．当且仅当a＝b时，“＝”成立．
请利用上述定理解决下列两个问题：
（1）已知x＞0，求函数y＝x+的最小值．
（2）汽车的经济时速是指每小时汽车耗油量最少的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，设1小时的耗油量为y升．
①求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
②求该汽车的经济时速．
【解答】解：（1）∵x＞0
∴y＝x+≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝时“＝”成立．
（2）①∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（）升
∴y＝（）x＝+，（70≤x≤100）．
②根据题意，当且仅当＝，即x2＝8100时，y有最小值
∴x＝±90
∵70≤x≤100
∴x＝90
∴该汽车的经济时速为90千米/时．
21．解方程：．
【解答】解：由均值不等式得：+4≥24，当且仅当x＝11时，等号成立；+≥4，当且仅当y＝5时，等号成立，
因此左边最小值为28，
则方程的解为x＝11，y＝5．
22．设实数a＞0，b＞0，则有≥，当且仅当a＝b时等号成立，我们称它为基本不等式（均值定理）．
（1）证明此定理；
（2）利用此定理，当x＞0时，求x+的最小值过程如下：“令a＝x，b＝，则x+≥2＝2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，即x+的最小值为2．”仿照此过程，求函数y＝（x＞﹣1）的最小值．
【解答】（1）证明：∵a＞0，b＞0，
∴（）2≥0，
∴a﹣2+b≥0，
∴a+b≥2，
∴≥；
（2）y＝＝＝＝（x+1）++1，
令a＝x+1，b＝，
∵x＞﹣1，则a＞0，b＞0，
∴（x+1）++1≥2+1＝4+1＝5，
即当且仅当x+1＝时，（x+1）++1取得最小值，
即函数y＝（x＞﹣1）的最小值是5．
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初中代数式逻辑思维能力题（衔接高中内容）
一．立方公式：立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），立方差公式a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
1．由（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b＝a3+b3，即（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3．我们把这个等式叫做立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ）
A．（x+4y）（x2﹣4xy+16y2）＝x3+64y3 B．（a+1）（a2﹣a+1）＝a3+1
C．（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝8x3+y3 D．（x+3）（x2﹣6x+9）＝x3+27
2．若x+y＝1，x3+y3＝，则x5+y5的值是（ ）
A． B． C． D．
3．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3＝ ．
4．实数a，b满足a3+b3+3ab＝1，则a+b＝ ．
5．已知实数x，y满足方程组，则x2+y2＝ ．
6．已知a+b+c+d＝1，a，b，c，d为正数，求证：．
7．已知实数x，y满足方程组．温馨提示：立方和（差）公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
求值：（1）xy （2）x2+y2．
二．对称式和轮换对称式
8．已知，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．设a＝，b＝，c＝，且x+y+z≠0，则＝ ．
10．设a，b，c，满足＝，＝，＝，求的值．
11．已知b≥0，且a+b＝c+1，b+c＝d+2，c+d＝a+3，求a+b+c+d的最大值．
12．已知 ，，，求7x+5y﹣2z的值．
13．已知，，，求的值．
三．高次方程:函数图像交点法和因式分解法
14．方程x3﹣2x2﹣1＝0的实数根个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
15．方程x4﹣6x3+13x2﹣12x+4＝0的不同有理根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
16．设x，y为实数，且满足，则x+y＝ ．
17．解方程：2x4﹣9x3+14x2﹣9x+2＝0．
四．基本不等式：存在实数a＞0，b＞0，则有≥，当且仅当a＝b时等号成立，我们称它为基本不等式（均值定理）．
18．如果a，b，c是正实数且满足abc＝1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（ ）
A．64 B．8 C．8 D．
19．函数y＝x+（x＞0）的最小值为 ．
20．阅读材料：定理：若a，b都是非负实数，则当且仅当a＝b时，a+b最小值为2．
证明：∵≥0，∴a﹣2+b≥0，∴．a+b≥2．当且仅当a＝b时，“＝”成立．
请利用上述定理解决下列两个问题：
（1）已知x＞0，求函数y＝x+的最小值．
（2）汽车的经济时速是指每小时汽车耗油量最少的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，设1小时的耗油量为y升．
①求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
②求该汽车的经济时速．
21．解方程：．
22．设实数a＞0，b＞0，则有≥，当且仅当a＝b时等号成立，我们称它为基本不等式（均值定理）．
（1）证明此定理；
（2）利用此定理，当x＞0时，求x+的最小值过程如下：“令a＝x，b＝，则x+≥2＝2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，即x+的最小值为2．”仿照此过程，求函数y＝（x＞﹣1）的最小值．
参考答案与试题解析
一．立方公式（共7小题）
1．由（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b＝a3+b3，即（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3．我们把这个等式叫做立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ）
A．（x+4y）（x2﹣4xy+16y2）＝x3+64y3
B．（a+1）（a2﹣a+1）＝a3+1
C．（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝8x3+y3
D．（x+3）（x2﹣6x+9）＝x3+27
【解答】解：∵立方公式（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3
∵A．（x+4y）（x2﹣4xy+16y2）＝．（x+4y）[x2﹣4y x+（4y）2]＝x3+64y3＝x3+（4y）3；∴符合以上公式，故A正确；
∵B．（a+1）（a2﹣a+1）＝（a+1）（a2﹣1×a+13）＝a3+13；∴符合以上公式，故B正确；
∵C．（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝（2x+y）[（2x）2﹣2x y+y2）]＝（2x）3+y3；∴符合以上公式，故C正确；
∵D．（x+3）（x2﹣6x+9）＝（x+3）（x2﹣2×3×x+9）＝x3+27∴不符合以上公式，故D正确；
故选：D．
2．若x+y＝1，x3+y3＝，则x5+y5的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝，x+y＝1，有x2﹣xy+y2＝．
又因x2+2xy+y2＝1，则3xy＝，xy＝．
由
故x5+y5＝．
故选：A．
3．分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3＝ （x+y）（x2+xy+y2） ．
【解答】解：x3+2x2y+2xy2+y3＝（x3+y3）+（2x2y+2xy2）
＝（x+y）（x2﹣xy+y2）+2xy（x+y）
＝（x+y）（x2+xy+y2）
故答案为：（x+y）（x2+xy+y2）
4．实数a，b满足a3+b3+3ab＝1，则a+b＝ 1或﹣2 ．
【解答】解：由题意得：（a+b）（a2+b2﹣ab）+3ab＝1
（a+b）[（a+b）2﹣3ab]+3ab＝1
（a+b）（a+b）2﹣3ab（a+b）+3ab﹣1＝0
[（a+b）3﹣1]﹣3ab（a+b﹣1）＝0
（a+b﹣1）[（a+b）2+1+a+b]﹣3ab（a+b﹣1）＝0
（a+b﹣1）[（a+b）2+1+a+b﹣3ab]＝0
∴（a+b﹣1）＝0或（a+b）2+1+a+b﹣3ab＝0，
由（a+b）2﹣3ab+（a+b）+1＝0整理得：a2﹣（b﹣1）a+（b2+b+1）＝0，
又∵a，b是实数，所以上述方程有实数解，
dalta＝（b﹣1）2﹣4（b2+b+1）≥0
也就是：（b+1）2≤0，
故：b＝﹣1，代入上式解得a＝﹣1，
所以此时a+b＝﹣2；
综上所述可得：a+b＝1或a+b＝﹣2．
故答案为：1或﹣2．
5．已知实数x，y满足方程组，则x2+y2＝ 13 ．
【解答】解：∵x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝（x+y）[（x+y）2﹣3xy]＝19，
把x+y＝1代入，可得xy＝﹣6，
∴1×（x2+y2+6）＝19，
∴x2+y2＝13．
故答案是：13．
6．已知a+b+c+d＝1，a，b，c，d为正数，求证：．
【解答】证明：∵a+b+c+d＝1，a，b，c，d为正数，
∴0＜a＜1，a＞a2＞a3，
∴7a+1＝a+3a+3a+1＞a3+3a2+3a+1＝（a+1）3，
∴，
同理得，，，
故原式＞a+1+b+1+c+1+d+1＝5．
7．已知实数x，y满足方程组．温馨提示：立方和（差）公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
求值：（1）xy （2）x2+y2．
【解答】解：（1）∵x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝19，x+y＝1，
∴x2﹣xy+y2＝19，
∴x2+y2＝19+xy，
∵x2+2xy+y2＝（x+y）2＝1，
∴19+xy+2xy＝1，
解得：xy＝﹣6，
（2）∵xy＝﹣6，
∴x2﹣（﹣6）+y2＝19，
∴x2+y2＝13．
二．对称式和轮换对称式（共6小题）
8．已知，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，∴+＝15①，
∵，∴+＝17②；
∵，∴+＝16③，
∴①+②+③得，2（++）＝48，
∴++＝24，
则＝＝＝，
故选：D．
9．设a＝，b＝，c＝，且x+y+z≠0，则＝ 1 ．
【解答】解：∵a＝，b＝，c＝，
∴＝
＝
＝
∴＝++
＝
∵x+y+z≠0
∴原式＝1．
故答案为：1．
10．设a，b，c，满足＝，＝，＝，求的值．
【解答】解：∵＝，＝，＝，
∴＝+＝3①，
＝+＝4②
＝+＝5③，
①+②+③得：
2（++）＝12，
故++＝＝6，
则＝．
11．已知b≥0，且a+b＝c+1，b+c＝d+2，c+d＝a+3，求a+b+c+d的最大值．
【解答】解：∵a+b＝c+1，b+c＝d+2，c+d＝a+3，
∴2b+c＝6，c＝6﹣2b，
代入a+b＝c+1得a＝7﹣3b，
代入b+c＝d+2得d＝4﹣b，
则a+b+c+d＝17﹣5b，
因为b≥0，
所以当b取0时，a+b+c+d的最大值为17．
12．已知 ，，，求7x+5y﹣2z的值．
【解答】解：∵，，，
∴+＝，+＝，+＝，
解得：＝，＝，＝，
∴x＝，y＝，z＝24，
∴原式＝7×+5×﹣2×24
＝24+24﹣48
＝0．
13．已知，，，求的值．
【解答】解：∵，
∴＝，
∴x（y+z）＝2（x+y+z），
∴x＝，
即：＝，
同理：＝，，
∴＝++＝++＝＝2．
三．高次方程（共4小题）
14．方程x3﹣2x2﹣1＝0的实数根个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵x3﹣2x2﹣1＝0，
x3＝2x2+1，
画出图象y1＝x3和y2＝2x2+1，
可以看出只有一个交点，
所以，原方程只有一个根．
故选：B．
15．方程x4﹣6x3+13x2﹣12x+4＝0的不同有理根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【解答】解：观察可知x＝1是方程x4﹣6x3+13x2﹣12x+4＝0的一个根，
即（x﹣1）（x3﹣5x2+8x﹣4）＝0，
观察可知x＝1还是x3﹣5x2+8x﹣4＝0，
原方程可以化为（x﹣1）2（x2﹣4x+4）＝0，
解得x＝1或2，
原方程的不同有理根有2个，
故选：C．
16．设x，y为实数，且满足，则x+y＝ 4 ．
【解答】解：设x﹣2＝a，y﹣2＝b，则原方程组变为：．
由①+②得：a3+b3+2013（a+b）＝0，
所以（a+b）（a2﹣ab+b2）+2013（a+b）＝0，
所以（a+b）（a2﹣ab+b2+2013）＝0，
所以a+b＝0，a2﹣ab+b2+2013＝0，
因为a2﹣ab+b2+2013
＝a2﹣ab+b2+b2+2013
＝（a﹣b）2+b2+2013＞0．
所以a+b＝0，
即：x﹣2+y﹣2＝0．
所以x+y＝4．
故答案是：4．
17．解方程：2x4﹣9x3+14x2﹣9x+2＝0．
【解答】解：∵2x4﹣9x3+14x2﹣9x+2＝0，且x≠0，
∴方程两边同除以x2得：2x2﹣9x+14﹣+＝0，
故2（x2+）﹣9（x+）+14＝0，
∵x2+＝（x+）2﹣2，
∴2（x+）2﹣9（x+）+10＝0，
∴[2（x+）﹣5][（x+）﹣2]＝0，
∴2（x+）﹣5＝0①或x+﹣2＝0②；
将方程①变形整理得：2x2﹣5x+2＝0，解得：x＝或2；
将方程②变形整理得：x2﹣2x+1＝0，解得：x＝1，
∴方程2x4﹣9x3+14x2﹣9x+2＝0的解为x＝或2或1．
四．基本不等式（共5小题）
18．如果a，b，c是正实数且满足abc＝1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（ ）
A．64 B．8 C．8 D．
【解答】解：要使（a+1）（b+1）（c+1）取得最小值，则三个因式都应取得最小值，
∵m+n≥2，当且仅当m＝n时取得最小值，
故可得①当a＝1时，a+1取得最小值2；
②当b＝1时，b+1取得最小值2；
③当c＝1时，c+1取得最小值2；
又∵a＝1，b＝1，c＝1可能满足条件abc＝1，
∴代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值＝2×2×2＝8．
故选：C．
19．函数y＝x+（x＞0）的最小值为 2 ．
【解答】解：∵y＝x+≥2＝2，
当且仅当x＝，即x＝1时，取等号．
故函数y＝x+（x＞0）的最小值为2．
故答案为：2．
20．阅读材料：定理：若a，b都是非负实数，则当且仅当a＝b时，a+b最小值为2．
证明：∵≥0，∴a﹣2+b≥0，∴．a+b≥2．当且仅当a＝b时，“＝”成立．
请利用上述定理解决下列两个问题：
（1）已知x＞0，求函数y＝x+的最小值．
（2）汽车的经济时速是指每小时汽车耗油量最少的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，设1小时的耗油量为y升．
①求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
②求该汽车的经济时速．
【解答】解：（1）∵x＞0
∴y＝x+≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝时“＝”成立．
（2）①∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（）升
∴y＝（）x＝+，（70≤x≤100）．
②根据题意，当且仅当＝，即x2＝8100时，y有最小值
∴x＝±90
∵70≤x≤100
∴x＝90
∴该汽车的经济时速为90千米/时．
21．解方程：．
【解答】解：由均值不等式得：+4≥24，当且仅当x＝11时，等号成立；+≥4，当且仅当y＝5时，等号成立，
因此左边最小值为28，
则方程的解为x＝11，y＝5．
22．设实数a＞0，b＞0，则有≥，当且仅当a＝b时等号成立，我们称它为基本不等式（均值定理）．
（1）证明此定理；
（2）利用此定理，当x＞0时，求x+的最小值过程如下：“令a＝x，b＝，则x+≥2＝2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，即x+的最小值为2．”仿照此过程，求函数y＝（x＞﹣1）的最小值．
【解答】（1）证明：∵a＞0，b＞0，
∴（）2≥0，
∴a﹣2+b≥0，
∴a+b≥2，
∴≥；
（2）y＝＝＝＝（x+1）++1，
令a＝x+1，b＝，
∵x＞﹣1，则a＞0，b＞0，
∴（x+1）++1≥2+1＝4+1＝5，
即当且仅当x+1＝时，（x+1）++1取得最小值，
即函数y＝（x＞﹣1）的最小值是5．
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