【2013高考数学攻略】专题13：高频考点分析之集合探讨

【2013高考数学攻略】
专题13：高频考点分析之集合探讨
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专题1～2，我们对客观性试题解法进行了探讨，专题3～8，对数学思想方法进行了探讨，专题9～12对数学解题方法进行了探讨，从专题13开始我们对高频考点进行探讨。
集合是近代数学的基础，也是高中数学最基本的概念之一。集合的思想、方法和语言使数学命题的表达更加简捷、明了，这注定了它可以渗透到数学的各个方面，也是高考考查的重要内容之一。2012年各地高考对集合的考查主要集中在3个方面：（1）集合的运算；（2）集合的元素个数；（3）把集合作为解决数学问题的工具，考查集合语言与集合思想的运用。
结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面三方面探讨集合知识的考点：（1）集合的运算；（2）集合中的元素和个数；（3）集合思想的运用。
一、集合的运算：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1.（2012年全国课标卷理5分）已知集合；,则中所含元素的个数为【 】

【答案】。
【考点】集合的运算。
【解析】由，得：；；
；，所以中所含元素的个数为。故选。
例2.（2012年北京市理5分）已知集合A={x∈R｜3x＋2>0﹜，B={x∈ R｜(x＋1)(x－3)>0﹜，则A∩B=【 】
A．（－∞，－1） B.（－1，） C. ﹙，3﹚ D.（3，＋∝）
【答案】D。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
【考点】集合的交集运算。
【解析】∵， ，
∴A∩B=（3，＋∝）。故选D。
例3.（2012年山东省理5分） 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA）B为【 】
A {1，2，4} B {2，3，4} C {0，2，4} D {0，2，3，4}
【答案】C。
【考点】集合的运算。
【解析】∵全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4}，
∴。。故选C。
例4.（2012年广东省理5分）设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则【　　】
A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
【答案】C。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
【考点】补集的运算。
【解析】∵集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 }，∴{3,5,6}。故选C。
例5.（2012年浙江省理5分）设集合，集合，则【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】集合的运算。
【解析】∵，∴。
∴。故选A。
例6.（2012年湖南省理5分）设集合，则∩=【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】集合的基本运算。
【解析】∵，，
∴∩。故选B。
例7.（2012年辽宁省理5分）已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，
则为【 】
(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}
【答案】B。
【考点】集合的交集、补集运算
【解析】∵全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，
∴。∴为{7,9}。故选B。
例8.（2012年陕西省理5分）集合，，则【 】
A. B. C. D.
【答案】C。
【考点】集合交集运算。
【解析】∵，，
∴。故选C。
例9.（2012年四川省理4分）设全集，集合，，则
▲ 。
【答案】
【考点】集合的运算。
【解析】∵，集合，，
　　　　∴，。∴。
例10.（2012年江苏省5分）已知集合，，则 ▲ ．[来源:Zxxk.Com]
【答案】。
【考点】集合的概念和运算。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
【分析】由集合的并集意义得。
例11.（2012年全国大纲卷文5分）已知集合={︱是平行四边形}，={︱是矩形}，={︱是正方形}，{︱是菱形}，则【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】集合的概念，集合的包含关系。
【解析】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如图，由图知是大的集合，是最小的集合，因此，选项A、C、、D错误，选项B正确。故选B。
例12.（2012年全国课标卷文5分）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1（A）AB （B）BA （C）A=B （D）A∩B=(
【答案】B。
【考点】集合的运算。
【解析】∵
∴BA。故选B。
例13.（2012年安徽省文5分）设集合,集合是函数的定义域；则【 】

【答案】。
【考点】对数函数的定义域，集合的运算。
【解析】∵集合是函数的定义域，∴。
又∵，∴。故选。
例14.（2012年山东省文5分） 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA）B为【 】
A {1，2，4} B {2，3，4} C {0，2，4} D {0，2，3，4}
【答案】C。
【考点】集合的运算。
【解析】∵全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4}，
∴。。故选C。
例15.（2012年江西省文5分） 若全集的补集为【 】
A B
C D
【答案】C。
【考点】集合的基本运算。
【解析】∵，
　　　　∴。故选C。
例16.（2012年浙江省文5分）设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则
P∩（CUQ）=【 】
A.{1，2，3，4，6} B.{1，2，3，4，5} C.{1，2，5} D.{1,2}
【答案】D。
【考点】集合的并集和补集运算。
【解析】∵全集U={1，2，3，4，5，6} ，Q{3，4，5}，∴CUQ={1，2，6}。
∴P∩（CUQ）={1，2}。故选D。
例17.（2012年福建省文5分）已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是【 】
A．N?M B．M∪N＝M C．M∩N＝N D．M∩N＝{2}
【答案】D。
【考点】集合的交集。
【解析】因为集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，所以M∩N＝{2}。故选D。
例18.（2012年上海市文4分）若集合，，则＝ ▲
【答案】。
【考点】集合的概念和性质的运用，一元一次不等式和绝对值不等式的解法。
【解析】由题意，得，∴。
例19. （2012年重庆市文5分）设函数集合
则为21世纪教【 】育网
（A） （B）（0，1） （C）（-1，1） （D）
【答案】D。
【考点】复合函数的概念，解一元二次不等式和指数不等式，集合及其运算。
【分析】利用已知求出集合中的范围，结合集合，求出的范围，然后求解即可：
由得，∴或，即或。
∴或，即。
由得，即，∴，即。
∴。故选D。
二、集合中的元素和个数：
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例1. （2012年江西省理5分）若集合，，则集合中的元素的个数为【 】
A．5 B.4 C.3 D.2
【答案】C。
【考点】集合的元素，分类讨论。
【解析】分类讨论：
当时，或2，或1；
当时，或2，或3。
根据集合的互异性，中的元素的个数为3。故选C。
例2. （2012年全国大纲卷理5分）已知集合，则【 】
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
【答案】B。
【考点】集合的概念和并集运算，集合的关系的运用，元素与集合的关系的综合运用。
【解析】∵，∴。
∵，∴。∴或，解得或或。
根据集合元素的互异性，∴或。故选B。
例3.（2012年湖北省文5分）已知集合 ，，则满足条件的集合的个数为【　　　】
A 1 B 2 C 3 D 4
【答案】D。
【考点】集合的子集。
【解析】求解一元二次方程，得 ，易知。
∵，∴根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4。
∴原题转换为求集合的子集个数，即有个。故选D。
三、集合思想的运用：
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例1. （2012年江苏省10分）设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：
①；②若，则；③若，则。
（1）求；
（2）求的解析式（用表示）．
【答案】解：（1）当时，符合条件的集合为：，
∴ =4。
( 2 ）任取偶数，将除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过次以后．商必为奇数．此时记商为。于是，其中为奇数。
由条件知．若则为偶数；若，则为奇数。
于是是否属于，由是否属于确定。
设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数。
当为偶数〔 或奇数）时，中奇数的个数是（）。
∴。
【考点】集合的概念和运算，计数原理。
【解析】（1）找出时，符合条件的集合个数即可。
（2）由题设，根据计数原理进行求解。
例2.（2012年上海市理18分）对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.
（1）若＞2，且，求的值；（4分）
（2）若X具有性质P，求证：1(X，且当n＞1时，1=1；（6分）
（3）若X具有性质P，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）
【答案】解：（1）选取，则Y中与垂直的元素必有形式。
∴，从而=4。
（2）证明：取，设满足。
由得，∴、异号。
∵－1是X中唯一的负数，所以、中之一为－1，另一为1。
故1(X。
假设，其中，则。
选取，并设满足，即。
则、异号，从而、之中恰有一个为－1。
若=－1，则，矛盾；
若=－1，则，矛盾.
∴=1。
（3）猜测，i=1, 2, …, 。
记，=2, 3, …, 。
先证明：若具有性质P，则也具有性质P。
任取，、(.当、中出现－1时，显然有满足。
当且时，、≥1。
∵具有性质P，∴有，、(，使得。
从而和中有一个是－1，不妨设=－1，
假设(且(，则。
由，得，与(矛盾。
∴(，从而也具有性质P。
现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, 。
当=2时，结论显然成立。
假设时，有性质P，则，i=1, 2, …, ；
则当时，若有性质P，则
也有性质P，所以。
取，并设满足，即。
由此可得与中有且只有一个为－1。
若，则，所以，这不可能；
∴，，又，所以。
综上所述，，i=1, 2, …, 。
【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。
【解析】（1）根据题设直接求解。
（2）用反证法给予证明。
（3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质P，则也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测，i=1, 2, …, 。
例3. （2012年北京市理13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。
对于A∈S(m，n)，记Ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；
记K(A)为∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
（1）对如下数表A，求的值；
1
1
－0.8
0.1
－0.3
－1
（2）设数表A∈S（2,3）形如
1
1
c
a
b
－1
求的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求的最大值。
【答案】解：（1）由题意可知，
∴。
（2）先用反证法证明：
若，则，
∴（无解）。
同理可知。
∴。
由题设所有数和为0，即，
∴，解得，与题设矛盾。
∴。
易知当时，存在。
∴的最大值为1。
（3）的最大值为。
首先构造满足的：
，
。
经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且
，，
。
下面证明是最大值。
若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得。
由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于。
设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则。另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负。
考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）。
因此，故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾。
因此的最大值为。
【考点】逻辑推理，反证法的应用。
【解析】（1）根据ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），c j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即为所求。
（2）用反证法证明。
（3）先构造满足的，用反证法证明是最大值。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例4. （2012年广东省文14分）设，集合，，．
（1）求集合（用区间表示）；
（2）求函数在内的极值点．
【答案】解：（1）设，
方程的判别式
①当时，，恒成立，
∴。
∴，即集合D=。
②当时，，方程的两根为
，。
∴
∴，
即集合D=。
（2）令得
的可能极值点为。
①当时，由（1）知，所以随的变化情况如下表：
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴在D内有两个极值点为：极大值点为，极小值点为。
②当时，
由（1）知=。
∵， ∴，
∴随的变化情况如下表：
0
↗
极大值
↘
↗
∴在D内仅有一个极值点：极大值点为，没有极小值点。
【考点】分类思想的应用，集合的计算， 解不等式，导数的应用。
【解析】（1）根据根的判别式应用分类思想分、讨论即可，计算比较繁。
（2）求出，得到的可能极值点为。仍然分、讨论。