【2013高考数学攻略】专题14：高频考点分析之复数探讨

【2013高考数学攻略】
专题14：高频考点分析之复数探讨
江苏泰州锦元数学工作室 编辑
专题1～2，我们对客观性试题解法进行了探讨，专题3～8，对数学思想方法进行了探讨，专题9～12对数学解题方法进行了探讨，从专题13开始我们对高频考点进行探讨。
　　数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。
　　形如的数称为复数，其中规定为虚数单位，且（是任意实数）。
　　我们将复数中的实数称为复数的实部，实数称为复数z的虚部。
　　当=0时，，这时复数成为实数； 当=0且≠0时，，称为纯虚数。
　　实部与虚部的平方和的正的平方根称为该复数的模，即对于复数，它的模为 。
对于复数，称复数为的共轭复数。即两个实部相等，虚部（虚部不等于0）互为相反数的复数互为共轭复数。
2012年各地高考对复数知识的考查主要集中在2个方面：（1）复数（含模）的运算；（2）共轭复数。结合2012年全国各地高考的实例，我们从这两方面探讨复数知识的考点。
一、复数（含模）的运算：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1.（2012年全国大纲卷理5分）复数【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】复数的四则运算。
【解析】∵，故选C。
例2. （2012年四川省理5分）复数【 】
A、 B、 C、 D、
【答案】B。
【考点】复数的运算。
【解析】。故选B。
例3. （2012年天津市理5分）是虚数单位，复数=【 】
（A） 　（Ｂ）　　　
（Ｃ）　　　（Ｄ）
【答案】B。
【考点】复数的四则运算。
【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项：
因为===，故选B。
例4.（2012年安徽省理5分）复数满足：；则【 】

【答案】。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
【考点】复数的运算。
【解析】根据复数的运算法则计算即可：
。故选。
例5.（2012年山东省理5分）若复数x满足z(2－i)=11＋7i(i为虚数单位)，则z为【 】
A 3＋5i B 3－5i C －3＋5i D －3－5i
【答案】A。
【考点】复数的运算。
【解析】。故选A。
例6. （2012年广东省理5分）设i为虚数单位，则复数=【　　】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】复数的计算。
【解析】。故选D。
例7. （2012年浙江省理5分）已知是虚数单位，则【 】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】复数的运算。
【解析】。故选D。
例8. （2012年福建省理5分）若复数满足，则等于【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】复数的运算。
【解析】∵，∴。故选A。
例9. （2012年辽宁省理5分）复数【 】
(A) (B) (C) (D)
【答案】A。
【考点】复数代数形式的运算。
【解析】。故选A。
例10. （2012年上海市理4分）计算： ▲ （为虚数单位）.
【答案】。
【考点】复数的运算。
【解析】将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可：。
例11. （2012年重庆市理5分）若，其中为虚数单位，则 ▲
【答案】4。
【考点】复数的乘法运算及复数相等的概念。
【分析】∵，∴。∴。
例12. （2012年江苏省5分）设，（i为虚数单位），则的值为 ▲ ．
【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由得，所以， 。
例13. （2012年北京市文5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为【 】
A (1 ，3) B (3，1) C(－1，3) D (3 ，－1)
【答案】A。
【考点】复数除法运算，复平面实部虚部。
【解析】∵
∴复数的实部为1，虚部为3。对应复平面上的点的坐标为（1，3）。故选A。
例14. （2012年天津市文5分）是虚数单位，复数【 】
（A） （B） （C） （D）
【答案】C。
【考点】复数的四则运算。
【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项：
因为，故选C。
例15. （2012年安徽省文5分）复数满足：；则【 】

【答案】。
【考点】复数的运算。
【解析】根据复数的运算法则计算即可：
∵，∴。故选。
例16. （2012年广东省文5分）设为虚数单位，则复数【 】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】复数的计算。
【解析】 。故选D。
例17. （2012年福建省文5分）复数等于【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】复数乘法运算。
【解析】。故选A。
例18. （2012年辽宁省文5分）复数【 】
(A) (B) (C) (D)
【答案】A。
【考点】复数代数形式的运算。
【解析】。故选A。
例19. （2012年湖北省文5分）若（为实数，为虚数单位），则=_　　▲　　.
【答案】3。
【考点】复数的计算，复数的相等的充要条件。
【解析】∵，∴。
又∵都为实数，∴由复数的相等的充要条件得。
例20. （2012年湖南省理5分）已知复数 (为虚数单位)，则= ▲ .
【答案】10
【考点】复数的运算、复数的模。
【解析】把复数化成标准的形式，利用即可求得：
∵=，∴。
二、共轭复数：
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例1.（2012年全国课标卷文5分）复数的共轭复数是【 】
（A）2+i （B）2－i （C）－1+i （D）－1－i
【答案】D。
【考点】共轭复数的概念。
【解析】∵，
∴ 的共轭复数是。故选D。
例2. （2012年江西省文5分）若复数 (为虚数单位) 是的共轭复数 ， 则的虚部为【 】
A 0 　　B －1 　　C 1 　 D －2
【答案】A。
【考点】复数的基本运算。
【解析】∵，∴的共轭复数。
　　　　∴。∴的虚部为0。故选A。
例3. （2012年湖南省文5分）复数（为虚数单位）的共轭复数是【　　】
A. 　　B. 　　C. 　 D.
【答案】A。
【考点】复数代数形式的四则运算，共轭复数定义。
【解析】由，根据共轭复数定义得。故选A。
例4.（2012年上海市理5分）若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 ▲
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算。
【解析】根据实系数方程的根的特点，也是该方程的另一个根，所以
，即，，故选B。
例5.（2012年湖北省理5分）方程的一个根是【 】
A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i
【答案】A。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
【考点】复数范围内求一元二次方程的解。
【解析】，故选A。