2022届高三数学二轮复习微专题讲义：圆锥曲线中的探究性问题课件（23张ppt）

(共23张PPT)
圆锥曲线中的探究性问题　
【典例 1 】设中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆 过点 , 且离心率为 为椭圆 的右焦点, 为 上一点, 轴, 的半径为 .
(1) 求椭圆 和圆 的方程;
考点突破·典例探究
【解析】 (1) 设椭圆 的方程为 .
由 ， 得 ，
从而 ， 即
又椭圆过点
从而得
解得
故椭圆 的方程为
所以 ,
设 的半径为 , 令 ,
得 ,
所以 的方程为 .
(2) 若直线 与 交于 两点, 与椭圆 交于 两点, 其中 在第一象限, 是否存在 使 , 若存在, 求 的方 程; 若不存在, 说明理由.
(2)不存在, 理由如下:
若 ,
则
联立 消去 ,
整理得 .
设
则
从而
由 ,
从而 ,
从而 , 矛盾,
所以满足题设条件的直线 不存在.
探究性问题求解的思路及策略
(1)思路:
先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在;若结论 不正确,则不存在.
(2)策略:
①当条件和结论不唯一时要分类讨论;
②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件. 在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么 差别.
【规律方法】
解决存在性问题的一些技巧
(1)特殊值(点)法:
对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要条件,然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立.
(2)核心变量的选取:
因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素,所以 通常以该要素作为核心变量,其余变量作为辅助变量,必要的时候消去.
(3)核心变量的求法:
①直接法:利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解,
②间接法:若无法直接求出要素,则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量的方程(组),运用方程思想求解.
【对点训练】
已知椭圆 的长轴与短轴之和为 6 , 椭圆上任一点到两焦点 的距离之和为 4 .
(1)求椭圆的标准方程;
(2) 若直线： 与椭圆交于 两点, 在椭圆上, 且 两点关于直线 对称, 问: 是否存在实数 , 使 , 若存在, 求出 的值; 若不存在, 请说明理由.
【对点训练】
(2) 若直线： 与椭圆交于 两点, 在椭圆上, 且 两点关于直线 对称, 问: 是否存在实数 , 使 , 若存在, 求出 的值; 若不存在, 请说明理由.
(2)因为 关于直线 对称
设直线 的方程为
联立 消去
得
解得
设 两点的坐标分别为
则
所以
又点 也在直线 上
则
所以
因为 , 所以
则
同理
因为
所以
所以
所以
所以存在实数 , 使
此时 的值为
已知椭圆（）的离心率为 , 且点在椭圆上.
(1) 求椭圆的方程.
(2)过点 任作一条直线与椭圆 交于不同于点的两点, 与直线
交于 点, 记直线 的斜率分别为, . 试探究与的关系, 并证明你的结论.
(2)依题意, 直线 不可能与 轴垂直,
故可设直线 的方程为:
即 为 与椭圆 的两个交点.
将 代入方程
化简得 .
所以 .
所以
又由
解得
即 点的坐标为
所以
因此, 与 的关系为:
【典例 2】已知点 在椭圆 上, 以 为圆心的圆与 轴相切于椭圆 的右焦点 , 与 轴相交于 两点, 且 是边长为 2 的正三角形.
(1)求椭圆 的方程;
(2) 已知圆: , 设圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于 两点, 试判断 是否为定值 若为定值, 求出该定值, 若不是定值, 请 说明理由.
【解析】(1)由题意可知, 轴, 则
又 是边长为 2 的正三角形,
则
解得
所以椭圆 的方程为 .
考点二 探究定点与定值的存在性
(2)当过点 且与圆 相切的切线斜率不存在时
不妨设切线方程为 ,
由(1)知,
所以
所以
此时
当过点 且与圆 相切的切线斜率存在时,
可设切线方程为 .
设 ,
则 ，
即 .
联立
得 ,
得 .
因为 ,
所以
所以
所以
综上所述, , 为定值
圆锥曲线中存在性问题的求解方法
1)存在性问题通常采用“肯定顺推法” ,将不确定性问题明朗化.其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、 曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.
2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.
【规律方法】
【对点训练】
已知曲线 上的点到点 的距离比到直线 的距离小 为坐标原点.
(1)过点 且倾斜角为 的直线与曲线 交于两点, 求 的面积;
(2) 设 为曲线 上任意一点, 点 , 是否存在垂直于 轴的直线 , 使 得 被以 为直径的圆截得的弦长恒为定值 若存在, 求出 的方程和定值; 若不存在, 说明理由.
【解析】(1)依题意得, 曲线 上的点到点 的距离与到直线 的 距离相等,
所以曲线 的方程为 .
过点 且倾斜角为 的直线方程为
设
联立
得
则 ,
则 .
(2)假设满足条件的直线 存在, 其方程为 ,
设点 , 则以 为直径的圆的方程为 ,
将直线 代入得 ,
则 ,
设直线 与以 为直径的圆的交点分别为 ,
则 ,
于是有
当 , 即 时, 为定值.
故满足条件的直线 存在, 其方程为
【典例 3】已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形, 且椭圆 的短轴长为 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2) 是否存在过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 , 且满足 (为坐标原点). 若存在, 求出直线 的方程; 若不存在, 请说明理由.
(2)当直线 的斜率不存在时, , 不符合题意.
当直线 的斜率存在时, 设直线 的方程为
由 消去 整理得
则
解得 或
考点三 探究位置关系
所以
因为
所以
解得 , 满足
故存在符合题意的直线, 其方程为 .
【规律方法】
本例中探究直线与椭圆的位置关系，转化为探究直线的斜率的存在性，进而转化为直线的斜率的方程解的存在性问题
【对点训练】
已知椭圆 的左、右焦点分别为 , 离心率为 , 点 在椭圆 上且位于第一象限, 直线 与 轴的交点为的周长为 4 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2) 是否存在直线 与椭圆的另一个交点为 , 使得 , 若存在, 求出 的方程, 若不存在, 说明理由.
(2)存在. 由题意得
所以 .
设
所以
所以 (1)
设直线 ,
联立 消元整理得
恒成立
所以 (2)
(3)
由(1)(2)(3)得
因为点 在第一象限,
所以
所以
所以直线 的方程为
即
【加练备选·拔高】
已知点 为抛物线 上任意一点, 且为 的中点, 设动点的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程;
(2) 是否存在斜率为 1 的直线 交曲线于 两点, 使得 为以 为底边的等腰三角形 若存在, 请求出 的方程; 若不存在, 请说明理由.
【解析】(1)设
由 是 的中点, 则
因为 在抛物线 上
所以
所以
化简得:
所以曲线 的方程为:
(2) 设直线 的方程为: ,
联立方程 消去 得:
所以
可得 的中点
因为
所以
解得
将 代入 , 不符合
所以直线 不存在