【2013高考数学攻略】专题18：高频考点分析之命题、逻辑推理和程序框图探讨

【2013高考数学攻略】
专题18：高频考点分析之命题、逻辑推理和程序框图探讨
江苏泰州锦元数学工作室 编辑
专题1～2，我们对客观性试题解法进行了探讨，专题3～8，对数学思想方法进行了探讨，专题9～12对数学解题方法进行了探讨，从专题13开始我们对高频考点进行探讨。
结合中学数学的知识，高考中命题、逻辑推理和程序框图问题主要有以下几种：
1. 四种命题的判定；
2. 真假命题的判定；
3. 充分必要条件的判定；
4. 逻辑推理；
5. 程序框图。
结合2012年全国各地高考的实例，我们从以上五方面探讨命题和简易逻辑问题的求解。
一、四种命题的判定：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年安徽省文5分）命题“存在实数,，使”的否定是【 】
对任意实数, 都有 不存在实数，使
对任意实数, 都有 存在实数，使
【答案】。
【考点】否命题。
【解析】如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题。因此，命题“存在实数,，使”的否定是：对任意实数, 都有。故选。
例2. （2012年湖北省理5分）命题“”的否定是【 】
A B
C D
【答案】D。
【考点】命题的否定。
【解析】根据特称命题“?x∈A，p（A）”的否定是“?x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案：
∵命题“”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，
∴“”的否定是“”。故选D。
例3. （2012年湖北省文5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是【　　　】
A.任意一个有理数，它的平方是有理数
B.任意一个无理数，它的平方不是有理数
C.存在一个有理数，它的平方是有理数
D.存在一个无理数，它的平方不是有理数
【答案】B。
【考点】命题的否定。
【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”。故选B。
例4. （2012年湖南省理5分）命题“若，则”的逆否命题是【 】
A.若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C 。
【考点】四种命题。
【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以 “若，则”的逆否命题是 “若，则”。 故选C。
例5. （2012年辽宁省理5分）已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，则p是【 】
(A) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0 【版权归锦元数学工作室，不得转载】
(B) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0
(C) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0
(D) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0
【答案】C。
【考点】含有量词的命题的否定。
【解析】命题p为全称命题，所以其否定p应是特称命题，
所以(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0否定为(f(x2)f(x1))(x2x1)<0。故选C。
例6. （2012年重庆市文5分）命题“若p则q”的逆命题是【 】
（A）若q则p （B）若p则 q
（C）若则 （D）若p则
【答案】A 。
【考点】四种命题。
【分析】将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，从而可得解答：
命题“若p则q”的逆命题是：若q则p。故选A 。
例7. （2012年陕西省理12分）（1）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真.
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）
【答案】解：（1）证明：如图，过直线上任一点作平面的垂线，
设直线的方向向量分别是，
则共面。
根据平面向量基本定理，存在实数使得，则。
∵，∴。
又∵，，∴。
∴，从而。
（2）逆命题：a是平面内一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则。逆命题为真命题。
【考点】向量语言表述线面的垂直、平行关系，命题。
【解析】（1）作出辅助线，在直线上构造对应的方向向量：过直线上任一点作平面的垂线，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果。
另解： 如图，记，为直线上异于点A的任意一点，过P作，垂足为，则。
∵，，∴直线。
又∵，平面，，
∴平面。
又∵平面，∴。
（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出逆命题的正确性。
如上图，记，为直线上异于点A的任意一点，过P作，垂足为，则。
∵，，∴直线。
又∵，，∴平面。
又∵平面，∴。
二、真假命题的判定：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年全国课标卷理5分）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为【 】
的共轭复数为 的虚部为

【答案】。
【考点】真假命题，复数的概念。
【解析】∵，，，
的共轭复数是，
∴不是真命题；是真命题；的共轭复数为不是真命题；的虚部为是真命题。故选。
例2. （2012年四川省理5分）下列命题正确的是【 】
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【答案】C。
【考点】立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质。
【解析】采用排除法：
若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；
一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；
若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；
故选项C正确。故选C。
例3. （2012年山东省文5分）设命题p：函数的最小正周期为；命题q：函数的图
象关于直线对称.则下列判断正确的是【 】
A p为真　　　B 为假　　　　C 为假　　D 为真
【答案】C。
【考点】真假命题的判定，三角函数的周期和对称性。
【解析】∵函数的最小正周期为，∴命题p为假。
∵函数的图象的对称轴为，∴命题q为假。
∴为假。故选C。
例4. （2012年江西省理5分）下列命题中，假命题为【 】
A．存在四边相等的四边形不是正方形
B．为实数的充分必要条件是互为共轭复数
C．若，且则至少有一个大于
D．对于任意都是偶数
【答案】B。
【考点】真假命题的判定，特称命题和全称命题，充要条件，共轭复数，不等式的基本性质，二项式定理。
【解析】对于A项，通过特例判断：例如菱形，满足四边相等的四边形不是正方形，所以A为真命题；
对于B项，通过特例判断：令,显然，但不互为共轭复数，所以B为假命题；
对于C项，通过不等式的基本性质判断：显然正确（可用它的逆否命题证明），所以C为真命题；
对于D项，通过二项式定理系数的特例判断：根据二项式定理，对于任意有
为偶数，所以D为真命题。
综上所述，假命题为B项。故选B。
例5. （2012年浙江省理5分）设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是【 】【版权归锦元数学工作室，不得转载】
A．若，则数列有最大项
B．若数列有最大项，则
C．若数列是递增数列，则对任意，均有
D．若对任意，均有，则数列是递增数列
【答案】C。
【考点】命题的真假判断与应用，数列的函数特性。
【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…，满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立。故选C。
例6. （2012年福建省理5分）下列命题中，真命题是【 】
A．?x0∈，≤0
B．?x∈，2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
【答案】D。
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用。
【解析】对于A，根据指数函数的性质不存在x0，使得≤0，因此A是假命题。
　　　　对于B，当x＝2时，2x＝x2，因此B是假命题。
对于C，当a＋b＝0时，不存在，因此C是假命题。
对于D，a＞1，b＞1时 ab＞1，所以a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，因此D是真命题。
故选D。
例7. （2012年福建省理5分）函数在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有，则称在[a，b]上具有性质P.设在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：
①在[1,3]上的图象是连续不断的；
②在[1，]上具有性质P；
③若在x＝2处取得最大值1，则＝1，x∈[1,3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有．
其中真命题的序号是【 】
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】D。
【考点】抽象函数及其应用，函数的连续性。
【解析】对于命题①，设，显然它在[1,3]上具有性质P，但函数在处是不连续的，命题错误；
对于命题②，设，显然它在[1,3]上具有性质P，但在[1，]上不具有性质P，命题错误；
对于命题③，∵在x＝2处取得最大值1，
∴在[1，3]上，，即。
∴。∴＝1，x∈[1,3]。命题正确；
对于命题④，对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有
命题正确。
故选D。
例8. （2012年四川省理4分）记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：
①当时，数列的前3项依次为5,3,2；
②对数列都存在正整数，当时总有；
③当时，；
④对某个正整数，若，则。
其中的真命题有 ▲ _。（写出所有真命题的编号）【版权归锦元数学工作室，不得转载】
【答案】①③④。
【考点】真命题的判定，对高斯函数的理解，数列的性质，特殊值法的应用，基本不等式的应用。
【解析】对于①，若，根据
当n=1时，x2=[]=3, 同理x3=。 故①正确。
对于②，可以采用特殊值列举法：
当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……x2k=1, x2k+1=1,……
此时数列从第二项开始为2，1，2，1……，不成立。故②错误。
对于③，由的定义知，，而为正整数，故，且是整数。
∵对于两个正整数、，当为偶数时；当为奇数时，
∴不论是偶数还是奇数，有。
∵和都是整数，
∴。
又当时，，
∵，∴成立。
∴当时，。故③正确。
对于④，当时，， ∴，即。
∴，即，解得。
由③，∴。∴。故④正确。
综上所述，真命题有 ①③④ 。
例9. （2012年四川省文4分）设为正实数，现有下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则。
其中的真命题有 ▲ 。（写出所有真命题的编号）
【答案】①④。
【考点】真命题的判定，特殊值法的应用。
【解析】对于①，∵为正实数，∴。
又∵，∴。故①正确。
对于②，可以采用特殊值列举法：
取，满足为正实数和的条件，但。故②错误。
对于③，可以采用特殊值列举法：
取，满足为正实数和的条件，，但。故③错误。
对于④，不妨设，由得，∴。
∵为正实数，∴。
∴。故④正确。
∵且，∴。
综上所述，真命题有 ①④。
三、充分必要条件的判定：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年北京市理5分）设a，b∈R.“a=0”是‘复数a+bi是纯虚数”的【 】
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B。
【考点】复数的概念，纯虚数的定义，充分必要条件的判定。
【解析】复数a+bi是纯虚数必须满足a=0，b≠0同时成立。当a =0 时，如果b =0，此时a+bi 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件：而如果a + bi已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0。因此，.“a=0”是‘复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件。故选B。
例2. （2012年上海市文5分）对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的【 】
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】B。
【考点】充分条件、必要条件和充要条件，椭圆的标准方程的理解。
【解析】方程的曲线表示椭圆，常数的取值为或，所以，由得不到方程的曲线表示椭圆，因而不充分。
反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出，因而必要。
∴“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件。故选B。
例3. （2012年四川省文5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是【 】
A、且 B、 C、 D、
【答案】D。
【考点】充分条件。
【解析】若使成立， 即要、共线且方向相同，即要。所以使成立的充分条件是。故选D。
例4. （2012年天津市理5分）设，则“”是“为偶函数”的【 】
（A）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件
（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件
【答案】A。
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，函数奇偶性的判断。
【分析】∵为偶函数，成立；
为偶函数，推不出。
∴“”是“为偶函数”的充分而不必要条件。故选A。
例5. （2012年天津市文5分）设，则“”是“”的【 】
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A。
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，一元二次不等式的解。
【分析】∵不等式的解集为或，∴“”是“”成立的充分不必要条件。故选A。
例6. （2012年安徽省理5分）设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且， 则“”是“”的【 】
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 即不充分不必要条件
【答案】。
【考点】充分和必要条件，两直线垂直的判定和性质。
【解析】∵，∴“”是“”的充分条件。
∵如果，则与条件相同，∴“”是“”的不必要条件。
故选。
例7.（2012年山东省理5分） 设 ，则“函数在R上是减函数 ”，是“函数在R上是增函数”的【 】
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【答案】A。
【考点】充分必要条件的判断，指数函数和幂函数的性质。
【解析】∵p：“函数在R上是减函数 ”等价于，
q：“函数在R上是增函数”等价于且，即且，
∴p是q成立的充分不必要条件.。故选A。
例8.. （2012年浙江省理5分）设，则“”是“直线：与直线：平行”的【 】
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A。
【考点】充分必要条件。
【解析】当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行，所以“”是“直线：与直线：平行”的充分条件；
若直线l1与直线l2平行，则有：，解之得：a＝1 或a＝﹣2，所以“”是“直线：与直线：平行”的不必要条件。
∴“”是“直线：与直线：平行”的充分不必要条件。
故选A。
例9. （2012年湖北省文5分）设∈ R，则 “”是“”的【　　　】
A.充分条件但不是必要条件　　　　B.必要条件但不是充分条件
C.充分必要条件 　　　　　　 D.既不充分也不必要的条件
【答案】A。
【考点】充分、必要条件的判定，基本不等式的应用。
【解析】当时，，
而（当且仅当，且，即时等号成立），
∴。
当取,显然有,但。
∴由不可以推得。
综上，是的充分不必要条件。故选A。
例10. （2012年重庆市理5分）已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为[0，1]上的增函数”是“为[3，4]上的减函数”的【 】
（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件
（C）必要而不充分的条件 （D）充要条件
【答案】D。
【考点】充分条件、必要条件、和充要条件的判定，函数的奇偶性、周期性和单调性及其之间的关系。
【分析】∵为[0，1]上的增函数，是偶函数，∴在上递减。
任取，则。
又∵是周期为2的周期函数，∴且。
∴为[3，4]上递减。
反之，当在[3，4]上递减时，根据是周期为2的周期函数知在上递减；又根据是定义在R上的偶函数，得到在[0，1]上递增。
故选D。
例11. （2012年陕西省理5分）设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的【 】
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B。
【考点】充分必要条件。
【解析】当时，，只有，并且时，复数为纯虚数，否则不成立。所以“”是“复数为纯虚数”的不充分条件。
若复数为纯虚数，则有：，所以“”是“复数为纯虚数”的必要条件。
∴“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件。
故选B。
例12. （2012年安徽省理13分） 数列满足：
（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是
（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。
【答案】解：（I）证明：必要条件：
当时，，∴数列是单调递减数列。
充分条件
当数列是单调递减数列时，，∴。
∴数列是单调递减数列的充分必要条件是。
（II）由（I）得：
①当时，，不合题意。
②当时， 。 由解得，。
∵，∴ 。∴ 。
又 ，
当时，，∴。∴与同号。
由得，∴。
∴。
当时，存在，使，即
即与异号。与数列是单调递减数列矛盾。
综上所述，当时，数列是单调递增数列。
【考点】充分必要条件，数列的单调性证明。
【解析】（I）要证数列是单调递减数列的充分必要条件是，即要①由得出数列是单调递减数列：②由数列是单调递减数列得。
（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列，即要求出数列的后项与前项之差大于0时的取值范围。由（I）和时，，不合题意。因此在的条件下推导。
四、逻辑推理：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年全国大纲卷理5分）正方形的边长为1，点在边上，点在边上，
，动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。
当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为【 】
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A。
【考点】反射原理，正方形的性质，三角形相似的判定和性质。
【解析】结合已知中的点,的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到点时，需要碰撞14次即可。
也可以通过三角形相似的相似比求解：如图，
为便是于计算，将正方形的边长扩大7倍，这样边长为7，，。
∴这些三角形相似的两边长之比。
∴；；
；
；
；。
∴经过7次碰撞，到达与点成轴对称的点处，根据正方形的对称性，再经过7次碰撞，到达点，共14次碰撞。故选A。
例2. （2012年全国大纲卷文5分）正方形的边长为1，点在边上，点在边上，
，动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。
当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为【 】
A 8 B 6 C 4 D 3
【答案】B。
【考点】反射原理，正方形的性质，三角形相似的判定和性质。
【解析】结合已知中的点,的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到点时，需要碰撞6次即可。
也可以通过三角形相似的相似比求解：如图，
为便是于计算，将正方形的边长扩大3倍，这样边长为7，，。
∴这些三角形相似的两边长之比。
∴；；
∴经过3次碰撞，到达与点成轴对称的点处，根据正方形的对称性，再经过3次碰撞，到达点，共6次碰撞。故选B。
例3. （2012年江西省理5分）观察下列各式：则【 】
A．28 B．76 C．123 D．199
【答案】C。
【考点】归纳推理的思想方法。
【解析】观察各等式的右边,它们分别为1，3，4，7，11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123,…，故。故选C。
例4. （2012年福建省文5分）数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 012等于【 】
A．1006 B．2012 C．503 D．0
【答案】A。
【考点】规律探索题。
【解析】寻找规律：a1＝1cos＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝3cos＝0，a4＝4cos2π＝4；
a5＝5cos＝0，a6＝6cos3π＝－6，a7＝7cos＝0，a8＝8cos＝8；
······
∴该数列每四项的和。
∵2012÷4=503，∴S2 012＝2×503＝1006。故选A。
例5. （2012年北京市理5分）已知，若同时满足条件：
，
则m的取值范围是 ▲
【答案】。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
【考点】简易逻辑，函数的性质。
【解析】由得。
∵条件，∴当时，。
当时，，不能做到在时，，所以舍去。
∵作为二次函数开口只能向下，∴，且此时两个根为。
为保证条件①成立，必须。
又由条件的限制，可分析得出时，恒负。
∴就需要在这个范围内有得正数的可能，即－4应该比两根中小的那个大。
由得，
∴当时，，解得交集为空集，舍去。
当时，两根同为－2＞－4，舍去。
当时，。
综上所述，。
例6. （2012年湖北省文5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3， 6,10，…记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测：
（Ⅰ）是数列中的第　　▲　　项；
（Ⅱ） =　　▲　　。（用表示）
【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）。
【考点】归纳规律。
【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110。
故。
从而由上述规律可猜想：（为正整数），
。
故,即是数列中的第5030项。
例7. （2012年湖南省理5分）设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.
（1）当N=16时，x7位于P2中的第 ▲ 个位置；
（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第 ▲ 个位置.
【答案】（1）6；（2）。
【考点】演绎推理的基本方法，进行简单的演绎推理。
【解析】（1）当N=16时,
,可设为,
,即为,
,即, x7位于P2中的第6个位置。
（2）考察C变换的定义及（1）计算可发现：
第一次C变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；
第二次C变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以为4公差的等差数列，且第一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项；
依此类推可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N=2n（n≥8）故每段的数字有2n-4个，以13为首项的是第四段，故x173位于第个位置。
例8. （2012年福建省理4分）数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2 012＝ ▲ .
【答案】3018。
【考点】规律探索题。
【解析】寻找规律：a1＝1cos＋1＝1，a2＝2cosπ＋1＝－1，a3＝3cos＋1＝1，a4＝4cos2π＋1＝5；
a5＝5cos＋1＝1，a6＝6cos3π＋1＝－5，a7＝7cos＋1＝1，a8＝8cos＋1＝9；
······
∴该数列每四项的和。
∵2012÷4=503，∴S2 012＝6×503＝3018。
例9. （2012年福建省文4分）某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用．要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小，例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图①，则最优设计方案如图②，此时铺设道路的最小总费用为10.
现给出该地区可铺设道路的线路图如图③，则铺设道路的最小总费用为 ▲ ．
【答案】16。
【考点】最优设计方案。
【解析】根据题意先选择中间最优线路，中间有三条，分别是A→F→G→D，E→F→B，E→G→C，费用最低的是A→F→G→D为3＋1＋2＝6；再选择A→F→G→D线路到点E的最低费用线路是：A→E费用为2；再选择A→F→G→D到C→B的最低费用，则选择：G→C→B，费用最低为3＋5＝8，所以铺设道路的最小费用为：6＋2＋8＝16。
例10. （2012年陕西省理5分） 观察下列不等式【版权归锦元数学工作室，不得转载】
，
……
照此规律，第五个不等式为 ▲ .
【答案】。
【考点】归纳规律。
【解析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方；右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式：。
令n=5，即可得出第五个不等式，即。
例11. （2012年北京市文13分）设A是如下形式的2行3列的数表，
a
b
c
d
e
f
满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0。记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1,2），c j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。
（1）对如下数表A，求k（A）的值
1
1
－0.8
0.1
－0.3
－1
（2）设数表A形如
1
1
－1－2d
d
d
－1
其中－1≤d≤0.求k（A）的最大值；
（3）对所有满足性质P的2行3列的数表A ，求k(A)的最大值。
【答案】解：（1）由题意可知，
∴。
（2）
∵－1≤d≤0，
∴。
∴。
∴当d=0时，k（A）取得最大值1。
（3）任给满足性质P的数表A（如下所示）
a
b
c
d
e
f
任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k（A）=k（A*）
因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，
由k（A）的定义知，k（A）≤r1（A），k（A）≤c1（A），k（A）≤c2（A），
∴
∴k（A）≤1
由（2）可知，存在满足性质P的数表A使k（A）=1，故k（A）的最大值为1。
【考点】逻辑推理。
【解析】（1）根据ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），c j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即为所求。
（2）k（A）的定义可求出k（A）=1+d，然后根据d的取值范围可求出所求。
（3）任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k（A）=k（A*）。因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，然后利用不等式的性质可知3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A），从而求出k（A）的最大值。
例12. （2012年上海市理18分）对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.
（1）若＞2，且，求的值；（4分）
（2）若X具有性质P，求证：1(X，且当n＞1时，1=1；（6分）
（3）若X具有性质P，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）
【答案】解：（1）选取，则Y中与垂直的元素必有形式。
∴，从而=4。
（2）证明：取，设满足。
由得，∴、异号。
∵－1是X中唯一的负数，所以、中之一为－1，另一为1。
故1(X。
假设，其中，则。
选取，并设满足，即。
则、异号，从而、之中恰有一个为－1。
若=－1，则，矛盾；
若=－1，则，矛盾.
∴=1。
（3）猜测，i=1, 2, …, 。
记，=2, 3, …, 。
先证明：若具有性质P，则也具有性质P。
任取，、(.当、中出现－1时，显然有满足。
当且时，、≥1。
∵具有性质P，∴有，、(，使得。
从而和中有一个是－1，不妨设=－1，
假设(且(，则。
由，得，与(矛盾。
∴(，从而也具有性质P。
现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, 。
当=2时，结论显然成立。
假设时，有性质P，则，i=1, 2, …, ；
则当时，若有性质P，则
也有性质P，所以。
取，并设满足，即。
由此可得与中有且只有一个为－1。
若，则，所以，这不可能；
∴，，又，所以。
综上所述，，i=1, 2, …, 。
【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。
【解析】（1）根据题设直接求解。（2）用反证法给予证明。
（3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质P，则也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测，i=1, 2, …, 。
例13. （2012年北京市理13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。
对于A∈S(m，n)，记Ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；
记K(A)为∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
（1）对如下数表A，求的值；
1
1
－0.8
0.1
－0.3
－1
（2）设数表A∈S（2,3）形如
1
1
c
a
b
－1
求的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求的最大值。
【答案】解：（1）由题意可知，
∴。
（2）先用反证法证明：
若，则，
∴（无解）。
同理可知。
∴。
由题设所有数和为0，即，
∴，解得，与题设矛盾。
∴。
易知当时，存在。
∴的最大值为1。
（3）的最大值为。
首先构造满足的：
，
。
经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且
，，
。
下面证明是最大值。
若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得。
由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于。
设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则。另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负。
考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）。
因此，故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾。
因此的最大值为。
【考点】逻辑推理，反证法的应用。
【解析】（1）根据ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），c j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即为所求。
（2）用反证法证明。
（3）先构造满足的，用反证法证明是最大值。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例14. （2012年湖北省理14分）（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且.求的最小值；
（II）试用（1）的结果证明如下命题：设为正有理数，若，则；
（III）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当为正有理数时，有求导公式
【答案】解：（Ⅰ），令，解得。
当时，，所以在内是减函数；【版权归锦元数学工作室，不
当 时，，所以在内是增函数。
∴函数在处取得最小值。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即 ①。
若，中有一个为0，则成立；
若，均不为0，又，可得。
于是在①中令，，可得，
即，亦即。
综上，对，，为正有理数且，总有 ②。
（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：
设为非负实数，为正有理数.
若，则. ③
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，有，③成立。
（2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数，
且，则。
当时，已知为非负实数，为正有理数，
且，此时，即。
∴=。
∵，由归纳假设可得
，
∴。
又∵，由②得
，
∴.
故当时，③成立。
由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立，
【考点】利用导数求函数的最值，数学归纳法的应用。
【解析】（Ⅰ）应用导数求函数的最值。
　　　　（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，分，中有一个为0和，均不为0讨论即可。
　　　　（Ⅲ）应用数学归纳法证明。
五、程序框图：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年全国课标卷理5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数和实数，输出，则【 】
为的和
为的算术平均数
和分别是中最大的数和最小的数
和分别是中最小的数和最大的数
【答案】。
【考点】程序框图的结构。
【解析】根据程序框图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是：和分别是中最大的数和最小的数。故选。
例2. （2012年北京市理5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为【 】
A. 2 B .4 C.8 D. 16
【答案】C。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，程序的运行过程中各变量值变化如下表：
是否继续循环
S
k
循环前
1
0
第一圈
是
2
1
第二圈
是
4
2
第三圈
是
8
3
第四圈
否
输出8
∴最终输出结果k=4。故选C。
例3. （2012年天津市理5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，输出的值为【 】
（A） 　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）
【答案】C。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：
是否继续循环
循环前
－25
第一圈
是
4
第二圈
是
1
第三圈
否
输出3
∴最终输出结果。故选C。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例4. （2012年天津市文5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为【 】
（A）8 （B）18 （C）26 （D）80
【答案】C。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：
是否继续循环
循环前
0
1
第一圈
是
2
第二圈
是
3
第三圈
是
4
第四圈
否
输出26
∴最终输出结果。故选C。
例5. （2012年安徽省理5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是【 】

【答案】。
【考点】程序框图的结构。
【解析】根据程序框图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足的最小项数：
根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：
是否继续循环
循环前
1
1
第一圈
是
2
2
第二圈
是
4
3
第三圈
是
8
4
第四圈
否
输出4
∴最终输出结果。故选。
例6. （2012年山东省理5分）执行下面的程序图，如果输入a=4，那么输出的n的值为【 】
A 2 B 3 C 4 D 5
【答案】B。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：
是否继续循环
n= n+1
P=P+42
Q=2Q+1
循环前
0
0
1
第一圈
是
0
1
3
第二圈
是
1
5
7
第三圈
是
2
21
15
第四圈
否
输出3
∴最终输出结果n =3。故选B。
例7. （2012年辽宁省理5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是【 】
(A) 1 (B) (C) (D) 4
【答案】D。
【考点】程序框图中的循环结构，数列的周期性。
【解析】根据程序框图可计算得由此可知S的值呈周期出现，其周期为4，输出时因此输出的值与时相同。故选D。
例8. （2012年广东省文5分）执行如图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为 【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】程序框图。
【解析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为=1×3×5×…×（2i-1），输入n=6，可得：进入循环的条件为，即=1，3，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的s值：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，不满足条件“ ”，退出循环，则输出的。故选C。
例9. （2012年陕西省理5分）下图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】程序框图。
【解析】点落在单位圆内或圆上，随机产生1000个数，因此图中空白框内应填入，故选D。
例10. （2012年福建省文5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于【 】
A．－3 B．－10 C．0 D．－2
【答案】A。
【考点】程序框图。
【解析】第一次循环由于k＝1<4，所以s＝2－1＝1，k＝2；
第二次循环k＝2<4，所以s＝2－2＝0，k＝3；
第三次循环k＝3<4，所以s＝0－3＝－3，k＝4，结束循环，所以输出s＝－3。故选A。
例11. （2012年陕西省文5分）下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入【 】
A. q= B.q= C．q= D.q=
【答案】D。
【考点】程序框图。
【解析】因为执行判断框“是”计算的及格的总分数M，“否”统计的是不及格的成绩，所以及格率。故选D。
例12. （2012年广东省理5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为　　▲　　。
【答案】8。
【考点】程序框图。
【解析】由已知中的程序框图及已知输入n=8，可得：进入循环的条件为，即=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s值：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，不满足条件“ ”，退出循环，则输出的。
例13. （2012年江西省理5分）下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 ▲ .
【答案】3。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
【考点】算法程序框图的应用。
【解析】由程序框图可知：
第一次:T=0,k=1,成立，，2<6,满足判断条件，继续循环；
第二次:不成立，,3<6，满足判断条件，继续循环；
第三次:不成立， ，4<6, 满足判断条件，继续循环；
第四次: 成立，, 5<6, 满足判断条件，继续循环；
第五次: 成立， ，6<6不成立，不满足判断条件，跳出循环，故输出T的值3。
例14.（2012年浙江省理4分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ▲ ．
【答案】.
【考点】程序框图的结构。
【解析】通过循环框图，计算循环变量的值，当=6时结束循环，输出结果即可：
根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：
是否继续循环
循环前
2
1
第一圈
是
3
第二圈
是
4
第三圈
是
5
第四圈
否
6
输出
∴最终输出结果。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例15. （2012年湖北省理5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s= ▲ .
【答案】9。
【考点】程序框图。
【解析】用列举法，通过循环过程直接得出s与n的值，得到n=3时退出循环，即可．
循环前，S=1，a=3，
第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，
第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，
第3次判断n退出循环，输出s =9。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例16.（2012年湖南省理5分）如果执行如图所示的程序框图，输入,n=3,则输出的数S= ▲
【答案】。
【考点】算法流程图。
【解析】输入,n=3,，执行过程如下：；；，所以输出的是。
例17. （2012年湖南省文5分）如果执行如图所示的程序框图，输入,则输出的数 =　　▲　　..
[中国%教&育*@出版~网]
【答案】4。
【考点】算法流程图。
【解析】算法的功能是赋值，通过四次赋值得，输出。
例18. （2012年福建省理4分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于 ▲ ．
【答案】－3。
【考点】程序框图。
【解析】第一次循环由于k＝1<4，所以s＝2－1＝1，k＝2；
第二次循环k＝2<4，所以s＝2－2＝0，k＝3；
第三次循环k＝3<4，所以s＝0－3＝－3，k＝4，结束循环，所以输出s＝－3。
例19. （2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．
【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：
是否继续循环
k
循环前
0
0
第一圈
是
1
0
第二圈
是
2
－2
第三圈
是
3
－2
第四圈
是
4
0
第五圈
是
5
4
第六圈
否
输出5
∴最终输出结果k=5。