【2013高考数学攻略】专题19：高频考点分析之数列探讨

【2013高考数学攻略】
专题19：高频考点分析之数列探讨
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专题1～2，我们对客观性试题解法进行了探讨，专题3～8，对数学思想方法进行了探讨，专题9～12对数学解题方法进行了探讨，从专题13开始我们对高频考点进行探讨。
数列是高考数学的必考内容，全考查的比重不小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数和导数、三角函数、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点和难点。
从解题思想方法的规律着眼，高考数学中主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用等。
从题型的角度，高考中数列问题主要有以下几种：
　　1. 等差、等比数列的相关知识；
2. 裂项求和法的运用：
3. 逐商求积法的运用：
4. 错位相减法的运用：
5. 周期（循环）数列（扩展）的运用：
6. 数列特征方程的应用；
7. 数列与函数（方程）的综合应用；
8. 数列与三角函数的综合应用。
结合2012年全国各地高考的实例，我们从以上八方面探讨数列问题的求解。
一、等差、等比数列的相关知识：包括等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式或可直接转化为等差、等比数列的数列。
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年全国大纲卷文5分）已知数列的前项和为，则=【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】数列的通项公式和求和公式的应用。
【解析】∵，∴，即。
又∵，∴。∴，即。
∴。∴当时，是公比为的等比数列。
∴。故选B。
例2. （2012年全国课标卷理5分）已知为等比数列，，，则【 】

【答案】。
【考点】等比数列。
【解析】∵为等比数列，，，∴ 或。
由 得，即；
由 得，即。故选。
例3. （2012年北京市文5分）已知为等比数列，下面结论中正确的是【 】
A. B. C.若a1=a3，则a1=a2 D.若a3＞a1，则a4＞a2
【答案】B。
【考点】等比数列的基本概念，均值不等式。
【解析】本题易用排除法求解：设等比数列的公比为，则
A，当时，，此时，选项错误。
B. 根据均值不等式，有，选项正确。
C. 当时，a1=a3，但a1=a2 ，选项错误。
D. 当时，，选项错误。
故选B。
例4. （2012年安徽省文5分）公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且 =16，则【 】

【答案】
【考点】等比数列。
【解析】∵等比数列{} 的公比为2，且 =16，∴，即。
又∵等比数列{}各项都是正数，∴。∴。∴。故选。
例5. （2012年福建省理5分） 等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为【 】
A．1 　　　B．2 　　　C．3 　　　D．4
【答案】B。
【考点】等差数列的通项。
【解析】设等差数列{an}的公差为，根据已知条件得： 即 解得2d＝4，所以d＝2。故选B。
例6. （2012年辽宁省理5分）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=【 】
(A)58 (B)88 (C)143 (D)176
【答案】B。
【考点】等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式。
【解析】在等差数列中，∵，∴。故选B。
例7. （2012年辽宁省文5分）在等差数列{an}中，已知，则=【 】
(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24
【答案】B。
【考点】等差数列的通项公式。
【解析】∵，，
∴。故选B。
例8. （2012年重庆市理5分）在等差数列中，，则的前5项和=【 】
A.7 B.15 C.20 D.25
【答案】B。
【考点】等差数列的性质。
【分析】利用等差数列的性质，可得，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论：
∵等差数列中，，∴，
∴。故选B。
例9. （2012年全国课标卷文5分）等比数列的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q= ▲
【答案】。
【考点】等比数列。
【解析】∵等比数列的前n项和为Sn，∴。
又∵S3+3S2=0，∴，即，解得。
例10. （2012年北京市理5分）已知为等差数列，为其前n项和。若，，则=
▲ ； ▲
【答案】1；。
【考点】等差数列
【解析】设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式和已知，得
。
∴。
例11. （2012年广东省理5分）.已知递增的等差数列满足，，则　　▲　　。
【答案】。
【考点】等差数列。
【解析】设递增的等差数列的公差为（），由得，
　　　 解得，舍去负值，。
∴。
例12. （2012年广东省文5分）若等比数列满足，则 ▲ ．
【答案】。
【考点】等比数列的性质。
【解析】∵是等比数列,∴。∴=。
例13. （2012年江西省理5分）设数列都是等差数列，若，，则
▲ 。
【答案】35。
【考点】等差中项的性质，整体代换的数学思想。
【解析】∵数列都是等差数列，∴数列也是等差数列。
∴由等差中项的性质，得，即，
解得。
例14. （2012年江西省文5分）等比数列的前项和为，公比不为1。若，且对任意的都有，则= ▲ 。
【答案】11
【考点】数列递推式，数列的求和。
【解析】设等比数列的公比为。
∵，∴即。
解得 =－2，或 =1（舍去）。
∴。
例15. （2012年浙江省理4分）设公比为的等比数列的前项和为．若，，则 ▲ ．
【答案】。
【考点】等比数列的性质，待定系数法。
【解析】用待定系数法将，两个式子全部转化成用，q表示的式子：
，
两式作差得：，即：，解之得：或 (舍去)。
例16. （2012年辽宁省理5分）已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an = ▲ 。
【答案】。
【考点】等比数列的通项公式。
【解析】设等比数列｛an｝的公比为。
∵，∴。∴，。
又∵，∴。∴。
解得或。
又∵等比数列｛an｝为递增数列，∴舍去。
∴。
例17. （2012年辽宁省文5分）已知等比数列｛an｝为递增数列.若,且 ,则数列｛an｝的公比 = ▲ .
【答案】2。
【考点】等比数列的通项公式。
【解析】∵，∴，即，解得或。
∵数列为递增数列，且，∴。∴。
例18.（2012年重庆市文5分）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和 ▲
【答案】5。
【考点】等比数列的前项和。
【分析】把已知的条件直接代入等比数列的前项和公式，运算求得结果：。
例19. （2012年山东省文12分）已知等差数列的前5项和为105，且.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.
【答案】解：(Ⅰ)由已知得：，解得。
∴通项公式为。
(II)由，得，即
∵，∴是公比为49的等比数列。
∴。
【考点】等差数列和等比数列的性质。
【解析】（Ⅰ）根据已知条件不求出和即可求出数列的通项公式。
（Ⅱ）由（Ⅰ）和题设得不等式，解出后根据条件得到是公比为49的等比数列，再求和。
例20. （2012年湖北省理12分）已知等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8.
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（II）若成等比数列，求数列的前n项的和。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
【答案】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，
由题意得 解得或
∴由等差数列通项公式可得，或。
∴等差数列的通项公式为，或。
（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；
当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件。
∴
记数列的前项和为，
当时，；当时，；
当时，
。
当时，满足此式。
综上，
【考点】等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算。
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8列方程组求解即可。
（II）对（Ⅰ）的结果验证符合成等比数列的数列，应用等差数列前n项和公式分，，分别求解即可。
例21. （2012年湖南省理12分）已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… [来^&源:中教网@~%]
（Ⅰ）若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.
(Ⅱ)证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.
【答案】解：（Ⅰ）∵对任意,三个数是等差数列，
∴，即，。
∵a1=1，a2=5，∴。
∴数列是首项为１，公差为４的等差数列，即。
（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有。
由知，均大于０，于是
　　　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　　　，
即＝＝。
∴三个数组成公比为的等比数列。
（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，
则。
∴得
即。
由有即，从而。
∵，∴。
∴数列是首项为，公比为的等比数列。
综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列。
【考点】等差数列、等比数列的定义、性质，充要条件的证明。
【解析】（Ⅰ）由等差数列定义可得。
（Ⅱ）从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证。
例22. （2012年湖南省文13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.
【答案】解：（Ⅰ）由题意得，，
。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
。
整理得　。
由题意，，∴，
解得。
∴该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为4000元。
【考点】递推数列问题在实际问题中的应用。
【解析】（Ⅰ）建立数学模型，得出与an的关系式。
（Ⅱ）把（Ⅰ）中的迭代，即可以解决。
例23. （2012年重庆市文13分）已知为等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式（6分）；
（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值（7分）。
【答案】解：（Ⅰ）设数列 的公差为，
由题意知，解得。
∴。
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
∵ 成等比数列，∴，
即，即 [世。纪教育网]
解得 或（舍去）。
∴。
【考点】等比数列的性质，等差数列的通项和前项和公式。
【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差等于，则由可得关于和的二元一次方程组，解出即可求得数列的通项公式。
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得的前项和为，再由 成等比数列，得a即可求得正整数的值。
例24. （2012年陕西省文12分）已知等比数列的公比为.
（I）若，求数列的前项和；
（Ⅱ）证明：对任意，成等差数列
【答案】解：（1）由通项公式可得，得。
∴由等比数列求和公式得数列的前项和为。
（Ⅱ）证明：∵，
∴
，
即。
∴对任意，成等差数列。
【考点】等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质，等差数列的确定。
【解析】（I）由 ，以及可得 ，代入等比数列的前项和公式，运算求得结果。
（Ⅱ）对任意，化简可得=0，故成等差数列。
例25.（2012年陕西省理12分）设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.
（1）求数列的公比；
（2）证明：对任意，成等差数列.
【答案】解：（1）设数列的公比为（），
由成等差数列，得，即。
由得，解得。
∵的公比不为1，∴舍去。
∴ 。
（2）证明：∵对任意，，
，
∴
∴对任意，成等差数列。
【考点】等差等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质。
【解析】（1）设数列的公比为（），利用成等差数列结合通项公式，可得，由此即可求得数列的公比。
（2）对任意，可证得，从而得证。
另解：对任意，
所以，对任意，成等差数列。
例26.（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的值．
【答案】解：（1）∵，∴。
∴ 。∴ 。
∴数列是以1 为公差的等差数列。
（2）∵，∴。
∴。（﹡）
设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明
若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。
若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。
∴综上所述，。∴，∴。
又∵，∴是公比是的等比数列。
若，则，于是。
又由即，得。
∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。
∴。
∴ 。
【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。
【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。
（2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。
从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。
例27.（2012年上海市理4分）有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则 ▲ .
【答案】。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
【考点】无穷递缩等比数列的极限，等比数列的通项公式。
【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此，。
二、裂项求和法的运用：裂项求和法是把一个数列分成几个可直接求和的数列（等差、等比数列），适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
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例1. （2012年全国大纲卷理5分）已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】等差数列的通项公式和前项和公式的运用，裂项求和的综合运用。
【解析】通过已知，列式求解，得到公差与首项，从而得的通项公式，进一步裂项求和：
设等差数列的公差为，则由可得
。
∴。
∴。故选A。
例2. （2012年山东省理12分）在等差数列中，。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意m∈N﹡，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前m项和。
【答案】解：（Ⅰ）由可得。
而，则。。
∴，即。
（Ⅱ）∵对任意m∈N﹡，，
∴，即，
而，由题意可知。
∴
，
即。
【考点】等差数列的性质，数列的求法。
【解析】（Ⅰ）根据已知条件不求出和即可求出数列的通项公式。
（Ⅱ）由（Ⅰ）和将数列中落入区间内得不等式，解出后根据条件得到，再求和。
三、逐商求积法的运用：逐商求积法是利用恒等式求通项的方法，适用于的递推 数列通项公式，其中可求前积。
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例1. （2012年全国大纲卷文12分）已知数列{}中， =1，前n项和．
（1）求，
（2）求{}的通项公式。
【答案】解：（1）由 =1，得，解得。
同理，解得。
（2）∵，∴。
∴，即。
∴。
∴，即。
由 =1，得。
∴{}的通项公式为。
【考点】数列。
【解析】（1）由已知条件，可直接求出。
（2）由求出，两式相减，求出。从而各项相乘即可求得{}的通项公式。
四、错位相减法的运用：错位相减法是一种常用的数列求和方法， 形如的数列，其中{}为等差数列，为等比数列；分别列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后错一位，两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。
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例1. （2012年四川省文12分）已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？
【答案】解：（Ⅰ）取n=1，得，∴。
若=0，则=0, 当n时，。
若，则，
有当n时，，，
两个相减得：，∴。∴数列公比是2的等比数列。
综上所述，若=0, 则 ；若，则。
（Ⅱ）当且时，令，则。
∴是单调递减的等差数列（公差为－lg2）
则 b1>b2>b3>…>b6=；
当n≥7时，bn≤b7=。
∴数列{lg}的前6项的和最大，即当=6时，数列的前项和最大。
【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。
【解析】（I）由题意，n=1时，由已知可知，分类讨论：由=0及，结合数列的和与项的递推公式可求。
（II）由且时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项 。
例2. （2012年天津市理13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，，.
(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；
(Ⅱ)记，，证明.
【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由=，得。
由条件，得方程组
，解得。
∴。
(Ⅱ)证明：由（1）得， ①；
∴ ②；
由②－①得，
∴。
【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。
【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。
（Ⅱ）写出的表达式，借助于错位相减求和。
还可用数学归纳法证明其成立。
例3. （2012年天津市文13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，，.
(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；
(Ⅱ)记，，证明。
【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由=，得。
由条件，得方程组
，解得。
∴。
(Ⅱ)证明：由（1）得， ①；
∴ ②；
由②－①得，
∴。
【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。
【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。
（Ⅱ）写出的表达式，借助于错位相减求和。
还可用数学归纳法证明其成立。
例4. （2012年广东省理14分）设数列的前n项和为Sn，满足且成等差数列。
（1）求a1的值；（2）求数列的通项公式。（3）证明：对一切正整数n，有.
【答案】解：（1）∵且成等差数列
∴ ，解得。
即。
（2）∵………………………………………………①
∴ ……………………………………………………②
①－②，得。
∵，∴。
∴，。
∴数列{}成首项为，公比为的等比数列，
∴。∴。 。
（3）∵（当n=1时，取等号。）
∴， ∴（当且仅当n=1时，取等号）。
∴。
【考点】数列与不等式的综合，等差数列和等比数列的应用，数列递推式。
【解析】（1）在中，令分别令n=1，2，由成等差数列，得到关于的三元方程，解之即可可求得。
（2）由，，两式相减即可得，可知，数列{}成首项为，公比为的等比数列，从而可求数列的通项公式。
（3）构造，证得其大于等于0，从而，即（当且仅当n=1时，取等号）。因此。
例5. （2012年广东省文14分）设数列的前项和，数列的前项和为，满足
．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式．
【答案】解：（1）当时，。
∵，∴，解得。
（2）∵ ①，
当时， ②，
∴①②得： ③ ，此式对也成立。
∴当时， ④。
∴③④得：，即 。
∴是以为首项，2为公比的等比数列。
∴，即，。
【考点】数列递推式，等比数列的性质。
【解析】（1）当时，。由得解得。
（2）两次递推后得到以为首项，2为公比的等比数列，由此能求出数列的通项公式。
例6. （2012年江西省理12分）已知数列的前项和（其中），且的最大值为。
（1）确定常数，并求；
（2）求数列的前项和。
【答案】解：（1）当n＝时，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，
∴k2＝16，∴k＝4。
∴＝－n(n≥2)。
又∵a1＝S1＝，∴an＝－n。
（2）∵设bn＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，
∴Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－。
【考点】数列的通项，递推、错位相减法求和，二次函数的性质。
【解析】（1）由二次函数的性质可知，当n＝时，取得最大值，代入可求，然后利用可求通项，要注意不能用来求解首项，首项一般通过来求解。
（2）设bn＝＝，可利用错位相减求和即可。
例7. （2012年江西省文12分）已知数列的前项和（其中，为常数），且
（1）求；
（2）求数列的前项和。
【答案】解：（1）∵，∴当时，。
则，，。∴=2。
∵，即，解得=2。∴（）。
当=1时，。
综上所述。
（2）∵，
∴①，
②。
①－②得，，即。
【考点】数列的求和，等比数列的通项公式。
【解析】（1）先根据前项和求出数列的通项表达式；再结合求出，，即可求出数列的通项。
（2）直接利用错位相减法求和即可。
例8. （2012年浙江省文14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.
（1）求an，bn；
（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.
【答案】解：（1）由Sn=，得
当n=1时，；
当n2时，，n∈N﹡。
由an=4log2bn＋3，得，n∈N﹡。
（2）由（1）知，n∈N﹡，
∴，
。
∴。
∴，n∈N﹡。
【考点】等比数列、等差数列的概念、通项公式以及求和公式，对数的定义。
【解析】（1）由Sn=，作即可求得an；代入an=4log2bn＋3，化为指数形式即可求得bn。
（2）由an，bn求出数列{an·bn}的通项，得到，从而作即可求得T。
例9. （2012年重庆市理12分）设数列的前项和满足，其中.
（I）求证：是首项为1的等比数列；（5分）
（II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.（7分）
【答案】证明：（Ⅰ）∵，∴。
∴。∴。
∵，∴。∴。
∵，∴。∴。∴。∴。
∴。∴是首项为1，公比为的等比数列。
（II）当=1或=2时，易知成立。
当时，成立。
当时，，
∴。∴。
当时，上面不等式可化为，
设，
①当时， 。
∴。
∴当时，所要证的不等式成立。
②当时，
令，
则。
∴在（0，1）上递减。∴。∴。
∴在（0，1）上递增。∴。
∴当时，所要证的不等式成立。
③ 当时，，由已证结论得：。
∴。∴。
∴当时，所要证的不等式成立。
综上所述，当且时，。当且仅当=1,2或时等号成立。
【考点】数列与不等式的综合，数列与函数的综合，等比数列的性质，等比关系的确定。
【分析】（I）根据，得，两式相减，即可证得是首项为1，公比为的等比数列。
（II）当=1或=2时和当时， 成立。
当时，分，，三种情况分别证明即可。
本题也可用数学归纳法证明。
五、周期（循环）数列（扩展）的运用：对于数列{An}，如果存在一个常数T,对于任意整数n>N，使得对任意的正整数恒有Ai=A(i+T)成立，则称数列{An}是从第n项起的周期为T的周期数列。
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例1. （2012年全国课标卷文5分）数列满足，则的前60项和为【 】
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
【答案】D。
【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。
【解析】求出的通项：由得，
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；······
当时，；当时，；当时，；
当时，（）。
∵，
∴的四项之和为（）。
设（）。
则的前项和等于的前15项和，而是首项为10，公差为16的等差数列，
∴的前项和=的前15项和=。故选D。
例2. （2012年湖南省文5分）对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.[中国教#*育&出版^网@]
（1）b2+b4+b6+b8=　　▲　　.；
（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是　　▲　　..
【答案】（1）3；（2）2。
【考点】数列问题。
【解析】（1）观察知；；
依次类推；；
；，；；
∴b2+b4+b6+b8=３。
（2）由（1）知cm的最大值为２。
例3. （2012年上海市文18分）对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5
（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的（4分）
（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）（6分）
（3）设，常数，若，是的控制数列，求（8分）
【答案】解：（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5。
（2）证明：∵，，∴。
∵，，∴，即。
∴。
（3）对，；；
；。
比较大小，可得。
∵，
∴，即；
，即。
又∵，∴，，，。
∴
=
=
===。
【考点】数列的应用。
【解析】（1）根据题意，可得数列。
（2）依题意可得，又，，从而可得，整理即证得结论。
（3）根据，可发现，；；
；。通过比较大小，可得，，而，从而可求得的值。
六、数列特征方程的应用：所谓数列的特征方程，实际上就是为研究相应的数列而引入的一些等式，常用的有以下几种形式：
1. 形如的数列，一般是令，解出，则是公比为的等比数列 。
2. 形如的数列，一般是令，解出，则
①当时, ，其中为待定系数，可根据初始值求出；
②当时，，其中为待定系数，可根据初始值求出。
3. 形如的数列，一般是令，解出，则
①当时，为等比数列；②当时，为等差数列。
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例1. （2012年全国大纲卷理12分）函数。定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标。
（1）证明：；
（2）求数列的通项公式。
【答案】解：（1）∵，∴点在函数的图像上。
∴由所给出的两点，可知，直线斜率一定存在。
∴直线的直线方程为。
令，可求得，解得。
∴。
下面用数学归纳法证明：
当时，，满足，
假设时，成立，则当时，，
由得，，即，∴。
∴也成立。
综上可知对任意正整数恒成立。
下面证明：
∵，
∴由得，。∴。
∴即。
综上可知恒成立。
（2）由得到该数列的一个特征方程即，
解得或。
∴① ，②。
两式相除可得。
而
∴数列是以为首项以为公比的等比数列。
∴。
【考点】数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用，不等式的证明，数学归纳法。
【解析】（1）先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法证明，运用差值法证明，从而得证。
（2）根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项。
七、数列与函数（方程）的综合应用：数列与函数的结合，利用函数的性质体现数列的变化。
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例1. （2012年四川省文5分）设函数，是公差不为0的等差数列，，则【 】
A、0 B、7 C、14 D、21
【答案】D。
【考点】高次函数的性质，等差数列性质。
【解析】∵是公差不为0的等差数列，记公差为。
∴。
则

。
∵，∴。
设，
则。
∴。故选D。
例2. （2012年安徽省理5分）公比为等比数列的各项都是正数，且，则【 】

【答案】。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
【考点】等比数列，分数指数幂，对数。
【解析】∵是等比数列，且，∴。
又∵等比数列的各项都是正数，∴。
∴。
∴。故选。
例3. （2012年湖北省理5分）定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①；②；③；④。
则其中是“保等比数列函数”的的序号为【 】
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【答案】C。
【考点】等比数列的判定，新定义。
【解析】逐一检验：
令等比数列的公比为，
①对，∵，∴是等比数列；
②对，∵不一定是常数，∴不一定是等比数列；
③对，∵，∴是等比数列；
④对，举个特例，令是等差数列不是等比数列。
从而是“保等比数列函数”的的序号为①③，故选C。
例4. （2012年江西省文5分） 观察下列事实的不同整数解的个数为4 ，的不同整数解的个数为8，的不同整数解的个数为12 ….则的不同整数解的个数为【 】
A.76 　 B.80 　 C.86 　 D.92
【答案】B。
【考点】归纳推理，等差数列的应用。
【解析】观察可得不同整数解的个数4，8，12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为，则所求为第20项，所以。故选B。
例5. （2012年上海市文4分）已知，各项均为正数的数列满足，，
若，则的值是 ▲
【答案】。
【考点】数列的概念、组成和性质，函数的概念。
【解析】根据题意，，并且，得到。
当为奇数时，，，，，。
当为偶数时，由，得到，解得（负值舍去）。
由得，解得。
∴当为偶数时，。
∴。
例6. （2012年四川省理12分）已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。
【答案】解：（Ⅰ）取n=1，得 ①
取n=2，得 ②
由②－①，得 ③
（1）若=0, 由①知=0。
（2）若，则, ④
由①④得：。
（Ⅱ）当时，由（I）知，。
当时，有⑤ ， ⑥，
⑤－⑥，即
∴=。∴。
令，则
∴数列{}是以为公差，且单调递减的等差数列。
∴b1>b2>b3>…>b7=；当n≥8时，bn≤b8=。
∴n=7时，取得最大值，且的最大值为=。
【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，方程、分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。
【解析】（Ⅰ）取n=1和n=2可得关于，的方程，解之即得。
（Ⅱ）作差求得，代入，根据对数的性质求解。
八、数列与三角函数的综合应用：数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化。
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例1. （2012年四川省理5分）设函数，是公差为的等差数列，，则【 】
A、 B、 C、 D、
【答案】D。
【考点】等差数列性质，三角函数性质。
【解析】∵，，
∴。
∵是公差为的等差数列，
∴，。
∴，解得。
∴。故选D。
关于， 可化为。
由，
设，作图可得二者交点在处：
例2. （2012年安徽省文13分）设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.
（Ⅰ）求数列；
（Ⅱ）设的前项和为，求。
【答案】解：（I）∵，∴。
令，解得。
当时，；
当时，。
∴当时，取极小值。
∴数列：。
（II）由（I）得：，
∴。
当时，；
当时，；
当时，。
∴当时，；
当时，；
当时，。
【考点】三角函数的极值，导数的应用，数列。
【解析】（I）求函数的所有正的极小值点，即要讨论，和的情况，得出结果。
（II）求出的前项和为，分类讨论，求出。
例3. （2012年全国大纲卷文10分）中，内角、、成等差数列，其对边、、满足，求A．
【答案】解：∵中，内角、、成等差数列，
∴。∴，。
又∵，∴根据正弦定理，得。∴。
由“”进行均值换元，设 ，。
则，化简，得。
∴。∴或。
【考点】解三角形的运用，等差数列的性质，三角形的内角和定理，正弦定理，两角和的三角函数。
【解析】根据角、、成等差数列和三角形内角和定理可得，。运用均值换元法，由应用正弦定理和两角和的三角函数，化简等式，求出答案。
例4. （2012年山东省文12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，已知
.
(Ⅰ)求证：成等比数列；
(Ⅱ)若，求△ABC的面积S.
【答案】解：(Ⅰ)由已知得：，即。
∵，
∴。
由正弦定理，得，∴成等比数列。
(Ⅱ)若，则，
由余弦定理，得，
∴。
∴△ABC的面积。
【考点】正弦定理和余弦定理的应用，和的三角函数公式，同角三角函数公式，等比数列的判定。
【解析】(Ⅰ)根据和的三角函数公式化简，求得三角正弦之间的关系，由正弦定理推出结论。
(Ⅱ)由余弦定理求出的余弦，从而根据同角三角函数公式得到正弦，应用面积公式求解。
例5. （2012年辽宁省文12分）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数
列。
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求的值。
【答案】解：（Ⅰ）∵角A，B，C成等差数列，∴。
又∵，∴=60°。∴。
（Ⅱ）∵边a，b，c成等比数列，∴。∴根据正弦定理得。
∵=60°，∴。∴。
【考点】数列与三角函数的综合，正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义。
【解析】（Ⅰ）在中，由角A、B、C成等差数列可知B =60°，从而可得的值。
（Ⅱ）由a，b，c成等比数列，得，由的值得到的值，结合正弦定理可求得的值。
另解：由余弦定理求得得到是等边三角形，每个内角等于600求解。
例6. （2012年上海市理5分）设，，在中，正数的个数是【 】
A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】 D。
【考点】正弦函数的周期性。
【解析】∵对于（只有)，∴都为正数。
当时，令，则，画出终边如右，
其终边两两关于轴对称，即有，
∴
其中=26,27,…,49，此时。
∵， ，∴。
从而当=26,27,…,49时，都是正数。
又。
同上可得，对于从51到100的情况同上可知都是正数，故选D。
例7. （2012年福建省理4分）已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为
▲ ．
【答案】。
【考点】等比数列的性质，余弦定理的应用。
【解析】∵△ABC的三边长成公比为的等比数列，∴设三角形的三边分别是：a、a、a。
∵最大角所对的边是a，
∴根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理得：。
∴最大角的余弦值为。