【2013高考数学攻略】专题21：高频考点分析之平面向量探讨

【2013高考数学攻略】
专题21：高频考点分析之平面向量探讨
江苏泰州锦元数学工作室 编辑
专题1～2，我们对客观性试题解法进行了探讨，专题3～8，对数学思想方法进行了探讨，专题9～12对数学解题方法进行了探讨，专题13～专题28我们对高频考点进行探讨。
平面向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，它包括向量的概念和运算。向量的坐标表示，定比分点及数量积。以前教材中，在解析几何、复数中涉及到平面向量的问题，只是对一个概念的介绍；而在现在教材中，是高一的必学内容，教学大纲要求理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。
一般来说，平面向量在高考中所占份量不大，一道选择题或填空题，结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下三方面探讨平面向量问题的求解：
1. 平面向量的概念、性质和计算：
2. 平面向量的坐标表示和计算；
3. 平面向量与其它知识的综合。
一、平面向量的概念、性质和计算：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年全国大纲卷理5分）中，边上的高为，若，则【 】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】向量垂直的判定，勾股定理，向量的加减法几何意义的运用。
【解析】∵，∴，
∴在中，根据勾股定理得。
∴由等面积法得，即，得。
∴。
又∵点在上，∴。故选D。
例2.（2012年四川省理5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是【 】
A、 B、 C、 D、且
【答案】C。
【考点】充分条件。
【解析】若使成立， 即要、共线且方向相同，即要。所以使成立的充分条件是。故选C。
例3. （2012年天津市理5分）已知为等边三角形，，设点满足，，，若，则【 】
（A） 　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）
【答案】A。
【考点】向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.。
【分析】∵=，=，
又∵，且，，
∴，
即，
即，
∴，解得。故选A 。
例4.（2012年天津市文5分）在△中，=90°，=1，设点满足，
。若，则=【 】
（A） （B） （C） （D）2
【答案】B。
【考点】向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用。
【分析】如图，设 ，则。
又，。
由得
，
即。故选B。
例5. （2012年浙江省理5分）设，是两个非零向量【 】
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则
【答案】C。
【考点】平面向量的综合题。
【解析】利用排除法可得选项C是正确的：
∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb，
∴选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量，不正确；
选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|，不正确；
选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|，不正确。
故选C。
例6. （2012年辽宁省理5分）已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是【 】
(A) a∥b (B) a⊥b
(C) a=b (D)a+b=ab
【答案】B。
【考点】平面向量的运算，向量的位置关系。
【解析】由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0，所以a⊥b。故选B。
或根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两
条对角线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b。故选B。
例7. （2012年全国课标卷理5分）已知向量夹角为 ，且；则 ▲
【答案】。
【考点】向量运算。
【解析】∵，∴。
∵向量夹角为 ，且 ，∴，解得，。
例8. （2012年北京市理5分）已知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点。则的值为
▲ ； 的最大值为 ▲
【答案】1；1。
【考点】平面向量的运算法则。
【解析】如图，根据平面向量的运算法则，得
。
∵，正方形ABCD的边长为l，∴。
又∵，
而就是在上的射影，要使其最大即要点E与点B重合，此时。
∴的最大值为。版权归锦元数学工作室，不得转载】
例9. （2012年浙江省理4分）在中，是的中点，，，则 ▲ ．
【答案】。
【考点】平面向量数量积的运算。
【解析】此题最适合的方法是特殊元素法：
如图，假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，
AM＝3，BC＝10，由勾股定理得AB＝AC＝。
则cos∠BAC＝，
∴＝。
例10. （2012年江苏省5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．
【答案】。
【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。
【解析】由，得，由矩形的性质，得。
∵，∴，∴。∴。
记之间的夹角为，则。
又∵点E为BC的中点，∴。
∴
。
本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。
例11. （2012年湖南省文5分）如图，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且 ，则=
　　▲　　.
【答案】18
【考点】平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算。
【解析】设，则
=
。
二、平面向量的坐标表示和计算：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年安徽省理5分）在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是【 】

【答案】。
【考点】向量的计算。
【解析】∵
∴设，得。
又∵向量按逆时针旋转后，得向量，
∴。故选。
例2.（2012年广东省理5分）若向量=（2,3），=（4,7），则=【　　】
A．（-2,-4） B．(2,4) C．(6,10) D．(-6,-10)
【答案】A。
【考点】平面向量的坐标运算。
【解析】= 。故选A。
例2.（2012年广东省文5分）若向量，则【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】平面向量的坐标运算。
【解析】 。故选A。
例3. （2012年福建省文5分）已知向量，则的充要条件是【 】
A．x＝－ B．x＝－1 C．x＝5 D．x＝0
【答案】D。
【考点】向量数量积的运算和性质。
【解析】由向量垂直的充要条件得 所以x =0 。故选D。
例4. （2012年辽宁省文5分）已知向量若则=【 】
(A) —1 (B) — (C) (D)1
【答案】D。
【考点】向量的数量积。
【解析】∵，∴。故选D。
例5. （2012年重庆市理5分）设R，向量且，则【 】
（A） （B） （C） （D）10
【答案】B。
【考点】平面向量的基本运算及向量共线、垂直的性质。
【分析】∵且，∴。
又∵，∴。
∴。∴。故选B。
例6. （2012年重庆市文5分）设 ，向量且 ，则2【 】1世纪教育网
（A） （B） （C） （D）
【答案】。
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
【分析】通过向量的垂直，求出向量 ，求出 ，然后求出模：
∵，向量且，
∴，即。∴。
∴ 。∴。故选B。
例7. （2012年陕西省文5分）设向量=（1，）与=（－1， 2）垂直，则等于 【 】
A. B. C .0 D.－1
【答案】C。
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系，二倍角的余弦。
【解析】∵，∴。
又∵=（1，）与=（－1， 2），∴，即。
故选C。
例8. （2012年上海市理4分）若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 ▲ （结果用反三角函数值表示）.
【答案】。
【考点】直线的方向向量，直线的倾斜角与斜率的关系，反三角函数的表示角。
【解析】设直线的倾斜角为，则。
例9. （2012年上海市文4分）若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 ▲ （结果用反三角函数值表示）
【答案】。
【考点】直线的方向向量，直线的倾斜角与斜率的关系，反三角函数的表示角。
【解析】设直线的倾斜角为，则。
例10. （2012年安徽省文5分）设向量，若⊥,则 ▲
【答案】。
【考点】向量的计算。
【解析】∵，
∴。
又∵⊥，∴，即，解得。
∴。∴。
例11. （2012年山东省理4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为
▲ 。
【答案】。
【考点】圆的弧长，锐角三角函数，向量的坐标。
【解析】根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转了弧度，此时点P的坐标为：
，。
∴。
例12. （2012年湖北省文5分）已知向量，则
（Ⅰ）与同向的单位向量的坐标表示为　　▲　　；
（Ⅱ）向量与向量夹角的余弦值为　　▲　　。
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
【考点】向量的数量积，向量同向的条件，单位向量，向量间的夹角。
【解析】（Ⅰ）由，得。
设与同向的单位向量为，则,且，解得。
∴，即与同向的单位向量的坐标为。
（Ⅱ）由，得。
设向量与向量的夹角为，则。
三、平面向量与其它知识的综合：
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例1. （2012年广东省理5分）对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=【　　】
A． B.1 C. D.
【答案】C。
【考点】新定义，平面向量的数量积，三角函数的值域，集合的概念。
【解析】∵由定义 ，
　∴=，。∴。
∵ ，∴，即。
∵，∴。
　　　　又∵，∴=。∴。
∴ ，=。故选C。
例2. （2012年广东省文5分）对任意两个非零的平面向量，定义．若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中，则【 】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】新定义，平面向量的数量积，三角函数的值域，集合的概念。
【解析】∵由定义 ，
　∴=，。∴。
∵ ，∴，即。
∵，∴。∴。
∴=。故选D。
例3. （2012年湖南省理5分）在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则【 】
A. B. C. D.
【答案】 A。
【考点】平面向量的数量积运算，余弦定理。
【解析】如图知。
∴。
又由余弦定理得，即，解得。
故选A。
例4. （2012年上海市理4分）在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 ▲ .
【答案】。
【考点】平面向量的基本运算。
【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系。
∵平行四边形中，，，
∴。
设，则。
∴由得，。
∴的横坐标为，的纵坐标为。
∴
∴。
∵函数在有最大值，
∴在时，函数单调增加。
∴在时有最小值2；在时有最大值5。
∴的取值范围是。版权归锦元数学工作室，不得转载】
例5. （2012年上海市文4分）在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 ▲
【答案】。
【考点】平面向量的基本运算。
【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过所在直线为轴建立平面直角坐标系。
∵在矩形中， ，
∴。
设，则。
∴由得，。
∴的坐标为。∴。
∴。
∵，∴。
∴的取值范围是。
例6. （2012年安徽省理5分）若平面向量满足：；则的最小值是 ▲ 来
【答案】。
【考点】平面向量，基本不等式的应用。
【解析】∵，∴。
又∵，∴。∴。
∴的最小值是。
例7.（2012年山东省理12分）已知向量m=（sinx，1），函数的最大值为6。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象。求g（x）在上的值域。
【答案】解：（Ⅰ）。
∵函数的最大值为6。而
∴。
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，
再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数。
当时，，.。
∴函数g（x）在上的值域为。
【考点】向量的运算，三角函数的值域，函数图象平移的性质。
【解析】（Ⅰ）求出函数关于的表达式，化简后根据三角函数的值域确定A。
（Ⅱ）由平移的性质，求出g（x），由得出的范围，从而求得函数g（x）在上的值域。
例8.（2012年湖北省理12分）已知向量，设函数的图像关于直线=π对称，其中为常数，且
（Ⅰ）求函数的最小正周期；【版权归锦元数学工作室，不得转载】
（2）若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。
【答案】解：
。
（Ⅰ）∵函数的图像关于直线=π对称，∴。
∴。
又∵，∴。
∴的最小正周期为。
（II）若的图像经过点，则有，∴。
∴。
∵，∴。∴。
∴函数在区间上的取值范围为。
【考点】数量积的坐标表达式，三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。
【解析】（Ⅰ）先利用向量数量积运算性质，求函数的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数化为，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期。
（II）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数的值域。
例9. （2012年江苏省14分）在中，已知．
（1）求证：；
（2）若求A的值．
【答案】解：（1）∵，∴，即。
由正弦定理，得，∴。
又∵，∴。∴即。
（2）∵ ，∴。∴。
∴，即。∴。
由 （1） ，得，解得。
∵，∴。∴。
【考点】平面向。量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。
【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。
（2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。
例10.（2012年上海市理18分）对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.
（1）若＞2，且，求的值；（4分）
（2）若X具有性质P，求证：1(X，且当n＞1时，1=1；（6分）
（3）若X具有性质P，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）
【答案】解：（1）选取，则Y中与垂直的元素必有形式。
∴，从而=4。
（2）证明：取，设满足。
由得，∴、异号。
∵－1是X中唯一的负数，所以、中之一为－1，另一为1。
故1(X。
假设，其中，则。
选取，并设满足，即。
则、异号，从而、之中恰有一个为－1。
若=－1，则，矛盾；
若=－1，则，矛盾.
∴=1。
（3）猜测，i=1, 2, …, 。
记，=2, 3, …, 。
先证明：若具有性质P，则也具有性质P。
任取，、(.当、中出现－1时，显然有满足。
当且时，、≥1。
∵具有性质P，∴有，、(，使得。
从而和中有一个是－1，不妨设=－1，
假设(且(，则。
由，得，与(矛盾。
∴(，从而也具有性质P。
现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, 。
当=2时，结论显然成立。
假设时，有性质P，则，i=1, 2, …, ；
则当时，若有性质P，则
也有性质P，所以。
取，并设满足，即。
由此可得与中有且只有一个为－1。
若，则，所以，这不可能；
∴，，又，所以。
综上所述，，i=1, 2, …, 。
【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。
【解析】（1）根据题设直接求解。
（2）用反证法给予证明。
（3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质P，则也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测，i=1, 2, …, 。