【2013高考数学攻略】专题24：高频考点分析之排列组合、二项式定理探讨

【2013高考数学攻略】
专题24：高频考点分析之排列组合、二项式定理探
江苏泰州锦元数学工作室 编辑
专题1～2，我们对客观性试题解法进行了探讨，专题3～8，对数学思想方法进行了探讨，专题9～12对数学解题方法进行了探讨，专题13～专题28我们对高频考点进行探讨。
排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
二项式定理是：，它在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。
应用排列组合解题要分清是使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”，要根据我们完成某事件时采取的方式而定，分类来完成这件事时用“分类计数原理”，分步来完成这件事时就用“分步计数原理”，怎样确定分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。排列与组合定义相近，它们的区别是在于是否与顺序有关。
解决排列组合问题的基本规律是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
解决排列组合问题的具体方法有：
1.特殊元素的“优先排列法”：对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考其他的元素。
2.总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。
3.合理分类与准确分步：含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
4.相邻问题用捆绑法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
5.不相邻问题用“插空法”：对某几个元素不相邻的排列问题，可将其他元素排列好，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。
6.顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
7. 定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
8.分排问题用直接法：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排方法来处理。
9.住店法：解决“允许重复排列问题”要区分两类元素，一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作店，再利用分步计数原理直接求解称“住店法”。
等等。
结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下三方面探讨排列组合、二项式定理问题的求解：
1. 分类计数原理的应用：
2. 分步计数原理的应用；
3. 二项式定理的应用。
一、分类计数原理的应用：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年北京市理5分）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为【 】
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
【答案】B。
【考点】排列组合问题。
【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3 种情况），之后十位（2 种情况），最后百位（2 种情况），共12 种；如果是第二种情况偶奇奇：个位（3 种情况），十位（2 种情况），百位（不能是O ，一种倩况），共6 种。因此总共有12 + 6 = 18 种情况。故选B。
例2. （2012年安徽省理5分）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为【 】
或 或 或 或
【答案】。
【考点】排列组合。
【解析】∵，∴在6位同学的两两交换中少2种情况。
不妨设甲、乙、丙、丁、戍、己6人
①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则甲收到3份纪念品，乙、丙收到4份纪念品，丁、戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为人；
②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则甲、乙、丙、丁收到4份纪念品，戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为4人。
故选。
例3. （2012年山东省理5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为【 】
A 232 B 252 C 472 D 484
【答案】C。
【考点】排列组合的应用。
【解析】。故选C。
例4. （2012年浙江省理5分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有【 】
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
【答案】D。
【考点】分类讨论，计数原理的应用。
【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：
4个都是偶数：1种；
2个偶数，2个奇数：种；
4个都是奇数：种。
∴不同的取法共有66种。故选D。
例5. （2012年陕西省理5分） 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有【 】
A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种
【答案】D。
【考点】排列、组合及简单计数问题，分类计数原理。
【解析】根据分类计数原理，所有可能情形可分为3:0，3:1，3:2三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果：
当比分为3:0时，共有2种情形；
当比分为3:1时，共有种情形；
当比分为3:2时，共有种情形。
总共有种。故选D。
二、分步计数原理的应用：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年全国大纲卷理5分）将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每
列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有【 】
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】A。
【考点】排列组合的应用，分步计数原理。
【解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，再填写第二行第一列的数有2种，一共有3×2×2=12种。故选A。
例2. （2012年全国大纲卷文5分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有【 】
A. 240种 B.360种 C.480种 D.720种
【答案】C。
【考点】排列组合的应用。
【解析】根据特殊元素优先的原则，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，在其余4个次序演讲有种组合，则其余5 位选手进行全排列。因此，不同的演讲次序共有种。故选C。
例3. （2012年全国课标卷理5分）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社
会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有【 】
种 种 种 种
【答案】。
【考点】排列组合。
【解析】每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有种。故选。
例4. （2012年辽宁省理5分）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为【 】
(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！
【答案】C。
【考点】分步计数原理。
【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有种排法，三个家庭共有
种排法；再把三个家庭进行全排列有种排法。因此不同的坐法种数为。故选C。
例5. （2012年湖北省理5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。则
（Ⅰ）4位回文数有 ▲ 个；
（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有 ▲ 个。
【答案】（Ⅰ）90；（Ⅱ）。
【考点】计数原理的应用。
【解析】（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位回文数有9×10=90个。
（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n种选法，故2n+1（n∈N+）位回文数有个。
三、二项式定理的应用：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年四川省理5分）的展开式中的系数是【 】
A、 B、 C、 D、
【答案】D。
【考点】二项式的通项公式。
【解析】∵二项式展开式的通项公式为，
∴令=2，则。∴的系数是。故选D。
例2. （2012年天津市理5分）在的二项展开式中，的系数为【 】
（A）10 　（Ｂ）-10　　　（Ｃ）40　　　（Ｄ）-40
【答案】D。
【考点】二项式定理。
【分析】∵=，令，得，
∴的系数为。故选D。
例3. （2012年安徽省理5分）的展开式的常数项是【 】
21世纪教育网
【答案】。
【考点】二项式定理。
【解析】∵第一个因式取，第二个因式取 得： ，
第一个因式取，第二个因式取得：，
∴展开式的常数项是。故选。
例4. （2012年重庆市文5分） 的展开式中的系数为【 】
（A）-270 （B）-90 （C）90 （D）270
【答案】A。
【考点】二项式系数的性质。
【分析】设的展开式的通项公式为，则，
令r=3，得的系数为：。故选A。
例5. （2012年湖北省理5分）设，且，若能被13整除，则【 】
A.0 B.1 C.11 D.12
【答案】D。
【考点】二项式定理的应用。
【解析】∵52能被13整除，
∴。
显然上式除了外，其余各个因式都能被13整除。
∴能被13整除，只需。故选D。
例6. （2012年重庆市理5分）的展开式中常数项为【 】
A. B. C. D.105
【答案】B。
【考点】二项式定理的应用
【分析】求二项展开式中特定项一般利用通项公式解决：
∵的展开式的通项为，令得，
∴常数项为。故选B。
例7. （2012年全国大纲卷理5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开
式中的系数为 ▲ 。
【答案】56。
【考点】二项式定理中通项公式的运用。
【解析】利用二项式系数相等，确定的值，然后进一步借助于通项公式，分析项的系数。
根据已知条件可知。
∴的展开式的通项为，
令，。∴系数为。
例8. （2012年全国大纲卷文5分）的展开式中的系数为 ▲ .
【答案】7。
【考点】二项式定理中通项公式的运用。
【解析】利用二项式系数展开，分析项的系数。
∵的展开式的通项为，
令，。∴的系数为。
例9. （2012年上海市理4分）在的二项展开式中，常数项等于 ▲ .
【答案】－160。
【考点】二项式定理。
【解析】∵展开式通项，令，得.
∴常数项为。
例10.（2012年广东省理5分）的展开式中的系数为　　▲　　。（用数字作答）
【答案】20。
【考点】二项式定理的应用。
【解析】∵的展开式的通项为，
　　　　∴ 令 得。
∴的展开式中的系数为。
例11. （2012年上海市文4分）在的二项式展开式中，常数项等于 ▲
【答案】。
【考点】二项式定理。
【解析】∵展开式通项，令，得.
∴常数项为。
例12. （2012年湖南省理5分）的二项展开式中的常数项为 ▲ .（用数字作答）
【答案】－160。
【考点】二项式定理。
【解析】∵的展开式项公式是，
∴令，解得。
∴二项展开式中的常数项为。
例13.（2012年福建省理4分）(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝ ▲ .
【答案】2。
【考点】二项式定理。
【解析】∵(a＋x)4的展开式的通项是，x3的系数等于8，
∴令r＝3，得，即4a＝8，解得a＝2。
例14. （2012年陕西省理5分）展开式中的系数为10， 则实数的值为 ▲ .
【答案】1。
【考点】二项式定理的应用。
【解析】∵展开式中第项为，
　　　　∴令，的系数为，解得。