2021-2022学年甘肃省武威市凉州区中佳育才学校九年级（上）期末数学试卷（Word版，附答案解析）

2021-2022学年甘肃省武威市凉州区中佳育才学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A. B. C. D.
已知关于的一元二次方程有一根为，则的值为
A. B. C. D.
已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是
A. B. C. 且 D. 且
若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
如图，是的内接三角形，，，是直径，，则的长为
A. B. C. D.
若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
A. B.
C. D.
袋中有个白球，若干个红球，从中任意取一个球，恰为红球的概率是，则红球的个数为
A. B. C. D.
为的内接三角形，若，则的度数是
A. B. C. D. 或
在中，已知，，如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到则图中阴影部分面积为
A. B. C. D.
二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：
；；；当时，的值随值的增大而增大．
其中正确的结论有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
已知点和点关于原点对称，则______．
已知二次函数的最小值是，则______．
如图，、分别与相切于点、，，点是圆上异于、的一动点，则的度数是______．
如果圆的内接正六边形的边长为，则其外接圆的半径为______．
一个扇形的半径是，圆心角的度数是，把它做成一个圆锥的侧面，则圆锥的高是______．
若，则______．
如图：点在双曲线上，丄轴于，且的面积，则______．
如图，在 中，，：：，，则的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共66.0分）
解方程：
；
．
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若该方程的两个实数根的积为，求的值．
如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在斜边上，连接，已知，求的长．
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
请画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
请画出绕点逆时针旋转后的；
求出中点旋转到点所经过的路径长结果保留根号和．
如图，在中，，，点在边上，经过点和点且与边相交于点．
求证：是的切线；
若，求的半径．
如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点．
求一次函数和反比例函数的解析式；
求的面积；
求不等式的解集．直接写出答案
某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．
假设每千克涨价元，商场每天销售这种水果的利润是元，请写出关于的函数解析式；
若商场只要求保证每天的盈利为元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？
今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从名女班干部小悦、小惠、小艳和小倩中通过抽签方式确定名女生去参加．抽签规则：将名女班干部姓名分别写在张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
该班男生“小刚被抽中”是____事件，“小悦被抽中”是____事件填“不可能”或“必然”或“随机”；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为____；
试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点且直线过点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
求抛物线的函数解析式；
当的面积最大时，求点的坐标；
在的条件下，在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
解得．
故选：．
把代入方程得，然后解关于的一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点，不仅要熟悉二次函数与轴的交点个数与判别式的关系，还要会解不等式．
由于二次函数与轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程中，，解不等式即可求出的取值范围，由二次函数定义可知．
【解答】
解：二次函数的图象和轴有交点，
，
且．
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论．
【解答】
解：点、、在反比例函数的图象上，
，，，
又，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
连接，根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：连接，
，，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
分两种情况：
当，时，正比例函数数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无选项符合．
当，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故B选项正确．
故选：．
根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
7.【答案】
【解析】解：设红球的个数为个．
袋中有个白球，个红球，从中任意取一个，恰为红球的概率是，那从中任意取一个，恰为白球的概率就为，
根据题意得，
解得．
红球的个数为个．
故选：．
根据概率的求法，除去红球的概率，就是白球的概率．找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】
【解析】解：如图，
，
，
，
．
的度数是或．
故选：．
首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得的度数．
本题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，含角的直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．
根据含角的直角三角形得到，利用勾股定理得到，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：，，，
，
由勾股定理得到，
将绕点按逆时针方向旋转后得到，
，
阴影部分面积
故选：．
10.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，即，故正确；
当时，，
，
即，故错误；
抛物线与轴的一个交点为，
，
而，
，即，
，
抛物线开口向下，
，
，故正确；
对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而增大，
当时，随的增大而减小，故错误．
故选：．
根据抛物线的对称轴为直线，则有；观察函数图象得到当时，函数值小于，则，即；由于时，，则，易得，所以，再根据抛物线开口向下得，于是有；由于对称轴为直线，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而减小．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
11.【答案】
【解析】解：点、点关于原点对称，
，，
则．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出，的值进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：，
函数最小值为，
由题意得，
解得，
故答案为：．
将二次函数解析式化为顶点式求解．
本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握求二次函数最值的方法．
13.【答案】或
【解析】解：分别连接、；、；、；、；、；、各点，
当为锐角，也就是时：
，与相切于点，两点
，，
，
在中，，
在中，为圆周角，
，
如果当为钝角，也就是时
四边形为的内接四边形，
，
故答案为：或．
此题分为两种情况，如图点的位置有两个，所以可能是锐角，也有可能是钝角，分别连接、；、；、；、；、；、各点．
当为锐角，也就是时，根据，与相切，结合已知条件，在中，即可得出圆心角的度数，根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，即可得出的度数；
如果当为钝角，也就是时，根据的内接四边形的性质，即可得出的度数．
本题考查圆的切线性质，在解题过程中还要注意对圆的内接四边形、圆周角、圆心角的有关性质的综合应用．
14.【答案】
【解析】解：六边形是正六边形，，
，
，
是等边三角形，
．
根据题意画出图形，求出中心角的度数，再根据等边三角形的性质即可解答．
本题考查的是正多边形的性质，根据题意画出图形求出中心角是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设底面半径为，根据题意得
圆锥的底面周长扇形的弧长
解得
则圆锥的高是
圆锥的轴截面如下图：
先根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长作为相等关系求出底面圆的半径，再根据圆锥的母线，底面半径和高构成直角三角形，使用勾股定理求出圆锥的高即可．
解本题要明白两个知识点：、圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；、圆锥的母线，底面半径和高构成直角三角形．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，
设，，，
则，
故答案为：．
根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．
已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
17.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象在二、四象限，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据反比例函数图象所在的象限判断出的符号，再根据求出的值即可．
本题考查的是反比例系数的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
18.【答案】
【解析】解：
∽
：：：：
在 中．
．
根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例可解得的长，而在 中，．
本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，以及平行四边形的性质，注意对应边的比不要搞错．
19.【答案】解：，
或，
所以，；
，
，
，
所以．
【解析】利用因式分解法解方程；
先把原方程变形为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20.【答案】解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
设方程的两个根分别为、，
根据题意得：，
解得：．
【解析】由方程有两个不相等的实数根，结合根的判别式即可得出，解之即可得出的取值范围；
由根与系数的关系结合该方程的两个实数根的积为，即可得出，解之即可求出值．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：熟练掌握“当时，方程有两个不相等的实数根”；牢记两根之积等于．
21.【答案】解：将绕点逆时针旋转，得到，
，，，
，，
．
【解析】由旋转的性质可得，，，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
22.【答案】解：如图，即为所求．；
如图，即为所求；
由勾股定理可知：，
点旋转到点的路径长．
【解析】本题主要考查的是作图旋转变换及轴对称变换，以及扇形的弧长公式，掌握相关性质是解题的关键．
利用关于轴对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数可先找出点、、的坐标，然后画出图形即可；
利用旋转的性质可确定出点、的坐标；
利用弧长公式和勾股定理进行计算即可．
23.【答案】证明：连接，
，，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
的半径．
【解析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据三角形的内角和得到，于是得到是的切线；
连接，推出是等边三角形，得到，，求得，得到，于是得到结论．
24.【答案】解：，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点，
把的坐标代入得：，
反比例函数为，
，
，
，
将点，代入直线中得，，
，
直线的解析式为；
当时，，
点的坐标为，
，
所以的面积；
不等式的解集是或．
【解析】用待定系数法，即可得出结论；
求出点的坐标，再根据三角形面积公式求即可；
根据、点的坐标和图象得出答案即可．
本题考查了应待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式、三角形的面积和函数的图象等知识点，能求出两函数的解析式是解此题的关键，用了数形结合思想．
25.【答案】解：由题意可得：，
答：关于的函数解析式为；
由题意可得：，
解得，，
要使顾客得实惠，
，
答：每千克涨价元；
，
当时，有最大值为元，
答：每千克涨价为元时，每天的盈利最多，最多元．
【解析】由利润每千克的利润销售的数量，即可求解；
把代入可得一元二次方程，解方程可得答案；
由二次函数的性质可求解．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．
26.【答案】解：不可能；随机； ；
记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为、、、，
列表如下：
---
---
---
---
由表可知，共有种等可能结果，其中小惠被抽中的有种结果，
所以小惠被抽中的概率为．
【解析】
【分析】
此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；
列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】
解：该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为，
故答案为不可能；随机；；
见答案．
27.【答案】解：令，得，
解得，
，
令，得，
，
点与点关于轴对称，
，
把、点坐标代入中，得
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
设，则，，
则，
的面积，
当时，的面积最大，
此时，点的坐标为；
由知，，，
当时，轴，则；
当时，轴，则；
当时，设，则，
即，
解得，，
或
综上，存在以，，三点为顶点的三角形是直角三角形．其点坐标为或或或
【解析】由一次函数图象与坐标轴交点、的坐标，再由对称求得点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
设，则，，由三角形的面积公式求得的面积关于的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得的值，进而得点的坐标；
分三种情况：为直角顶点；为直角顶点；为直角顶点．分别得出点的坐标．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．
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