【2013高考数学攻略】专题25：高频考点分析之直线与圆探讨

【2013高考数学攻略】
专题25：高频考点分析之直线与圆探讨
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专题1～2，我们对客观性试题解法进行了探讨，专题3～8，对数学思想方法进行了探讨，专题9～12对数学解题方法进行了探讨，专题13～专题28我们对高频考点进行探讨。
结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下三方面探讨直线与圆问题的求解：
1. 直线的方程和性质；
2. 圆的方程和性质；
3. 直线与圆的综合问题。
一、直线的方程和性质：
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例1. （2012年北京市文5分）某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为【 】
A.5 B.7 C.9 D.11
【答案】C。
【考点】直线斜率的几何意义。
【解析】据图像识别看出变化趋势，利用变化速度可以用导数来解，但图像不连续，所以只能是广义上的。实际上，前n年的年平均产量就是前n年的总产量S与n的商：，在图象上体现为这一点有纵坐标与横坐标之比。
因此，要使前m年的年平均产量最高就是要这一点的纵坐标与横坐标之比最大，即这一点与坐标原点连线的倾斜角最大。图中可见。当n=9时，倾斜角最大。从而m值为9。故选C。
二、圆的方程和性质：
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例1. （2012年山东省文5分）圆与圆的位置关系为【 】
A 内切　　B 相交　　C 外切　　D 相离
【答案】B。
【考点】两圆位置关系的判定。
【解析】∵两圆圆心分别为（－2，0），（2，1），∴两圆圆心距为。
又∵两圆半径分别为2，3，∴两圆半径之差为1，半径之和为5。
∵，即两圆圆心距在两圆半径差与半径和之间，
∴两圆相交。故选B。
三、直线与圆的综合问题：
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例1. （2012年重庆市理5分）对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是【 】
A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
【答案】C。
【考点】直线与圆的位置关系，曲线上 的坐标与方程的关系。
【分析】从直线与圆的位置关系入手，因为直线过定点A（0，1），而点A在圆的内部，故直线与圆相交。将圆心（0，0）代入，左右不相等，所以圆心（0，0）不在直线上。故选C。
别解：将代入得。
∵根的判别式，
∴有两不相等的实数根，即与的图象有两交点。
同上判别圆心在不在直线上。
还可求圆心到直线的距离来判别。
例2. （2012年安徽省文5分）若直线与圆有公共点，则实数取值范围是【 】

【答案】。
【考点】圆与直线的位置关系，点到直线的距离公式，解绝对值不等式。
【解析】设圆的圆心到直线的距离为，
则根据圆与直线的位置关系，得。
∴由点到直线的距离公式，得，解得。故选。

例3. （2012年陕西省理5分） 已知圆，过点的直线，则【 】
A.与相交 B. 与相切 C.与相离 D. 以上三个选项均有可能
【答案】A。
【考点】直线与圆的位置关系。
【解析】∵，∴点在圆C内部。故选A。
例4. （2012年广东省文5分）在平面直角坐标系中，直线与圆相交
于、两点，则弦的长等于 【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】直线与圆相交的性质。
【解析】由直线与圆相交的性质可知，，要求，只要求解圆心到直线的距离即可：
由题意可得，圆心（0，0）到直线的距离 ，
则由圆的性质可得，，即，解得。故选B。
例5. （2012年湖北省文5分）过点的直线，将圆形区域分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为21【　　　】世纪教育网
A. 　B. 　C. 　D.
【答案】A。
【考点】分析法的应用，垂径定理，两直线垂直的性质，由点斜式求直线方程。
【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直即可。
又已知点，则。故所求直线的斜率为-1。
又所求直线过点，故由点斜式得，所求直线的方程为，即。
故选A。
例6. （2012年福建省文5分）直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于【 】
A．2 B．2 C. D．1
【答案】B。
【考点】直线与圆的位置关系。
【解析】根据圆的方程知，圆的圆心为(0,0)，半径R＝2，弦心距d＝＝1，所以弦长AB＝2＝2。故选B。
例7.（2012年辽宁省文5分）将圆平分的直线是【 】
（A） （B） （C） （D）
【答案】C。
【考点】直线和圆的方程，曲线上点的坐标与方程的关系。
【解析】∵，
∴圆的圆心坐标为（1，2）。
∵将圆平分的直线必经过圆心，∴逐一检验，得过（1，2）。故选C。
例8. （2012年重庆市文5分）设A，B为直线与圆 的两个交点，则【 】
（A）1 （B） （C） （D）2
【答案】D。
【考点】直线与圆相交的性质。
【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线上，得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长：
由圆，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1。
∵圆心（0，0）在直线上，∴弦AB为圆O的直径。
∴|AB|=2r=2。故选D。
例9.（2012年陕西省文5分）已知圆，过点的直线，则【 】
A.与相交 B. 与相切 C.与相离 D. 以上三个选项均有可能
【答案】A。
【考点】直线与圆的位置关系。
【解析】∵，∴点在圆C内部。故选A。
例10. （2012年天津市理5分）如图，已知和是圆的两条弦。过点作圆的切线与的延长线相交于点，过点作的平行线与圆相交于点，与相交于点，，，，则线段的长为 ▲ .
【答案】。
【考点】直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质。
【分析】∵，，，由相交弦定理得，∴。
又∵∥，∴，=。
设，则，
再由切割线定理得，即，解得，故。
例11. （2012年北京市文5分）直线被圆截得的弦长为 ▲ 。
【答案】。
【考点】直线和圆的性质，解直角三角形。
【解析】利用直角三角形解题：
如图所示，半弦长，圆心（0，2）到直线的距离，圆的半径构成一个等腰直角三角形。
∵，∴。
∴弦长为。
例12. （2012年天津市文5分）设,若直线与轴相交于点，与y轴相交于，且与圆相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则面积的最小值为 ▲
【答案】3。
【考点】直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，基本不等式的应用。
【分析】∵直线与两坐标轴的交点坐标为，直线与圆相交所得的弦长为2，
又∵圆心到直线的距离满足，
∴，即圆心到直线的距离。∴。
∴三角形的面积为。
又∵，当且仅当时取等号，
∴面积的最小值为。
例13. （2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上
至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 ▲ ．
【答案】。
【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离。
【解析】∵圆C的方程可化为：，∴圆C的圆心为，半径为1。
∵由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有
公共点；
∴存在，使得成立，即。
∵即为点到直线的距离，∴，解得。
∴的最大值是。
例14.（2012年江西省文5分）过直线上点作圆的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点的坐标是 ▲ 。
【答案】（）。
【考点】圆的切线的性质，两直线的夹角。
【解析】如图，根据题意画出相应的图形，直线和为过点的两条切线，且 =60°。
设的坐标为（a，b），连接，
∴平分。
∴。
又∵圆的圆心坐标为（0，0），半径为1，∴。∴。
∴，即①。
又点在直线上，∴②。
联立①②解得：。∴点的坐标是（）。