【2013高考数学攻略】专题28：高频考点分析之选修系列探讨

【2013高考数学攻略】
专题28：高频考点分析之选修系列探讨
江苏泰州锦元数学工作室 编辑
专题1～2，我们对客观性试题解法进行了探讨，专题3～8，对数学思想方法进行了探讨，专题9～12对数学解题方法进行了探讨，专题13～专题28我们对高频考点进行探讨。
结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下四方面探讨选修系列问题的求解：
1. 几何证明；
2. 矩阵与变换；
3. 极坐标与参数方程；
4. 不等式。
一、几何证明：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年广东省理5分）如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交P，则PA=　　▲　　。
【答案】。
【考点】切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。
【解析】连接OA，则由AP是圆O的切线得OA⊥AP。
∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∠APO=30°。
∴，。
例2. （2012年湖北省理5分）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为 ▲ 。
【答案】2。
【考点】动点问题，勾股定理，垂线段的性质，垂径定理。
【解析】连接，
∵，∴。
∵线段长为定值（圆的半径），
∴要使最大，即要最小。
根据垂直线段最短的性质和垂径定理，当点为的中点，即点与点重合时最小。
∴CD的最大值为。
例3. （2012年湖南省理5分）如图，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于 ▲ .
【答案】。
【考点】割线定理。
【解析】如图，设交圆O于C，D，设圆的半径为，由割线定理得
，即，
解得，。
例4. （2012年陕西省理5分）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，，垂足为F，若，，则 ▲
【答案】5。
【考点】垂径定理，相交弦定理，射影定理。
【解析】∵，，∴。
　　　　∵直径AB与弦CD垂直，∴根据垂径定理，得DE=CE。
∴根据相交弦定理，得，即。
在中，根据射影定理，得。
例5. （2012年天津市文5分）如图，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与的延长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,,,,则线段的长为 ▲
【答案】。
【考点】与圆有关的比例线段。
【分析】如图，连接，则∠1=∠2，∠2=∠。
∵，∠=∠，∴∽。∴。
代入数值得=2，=4。
又由平行线等分线段定理得，解得=。
例6. （2012年广东省文5分）（几何证明选讲选做题）如图，直线PB与圆相切与点B，D是弦AC上的点，，若，则AB= ▲ ．
【答案】。
【考点】弦切角定理，相似三角形的判定和性质。
【解析】由弦切角定理知: ,
又∵，∴。
又∵，∴。∴,解得AB=。
例7. （2012年全国课标卷理10分）如图，分别为边的中点，直线交的外接圆于两点，若，证明：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
（1）；（2）
【答案】证明：（1）连接AF，
∵分别为边的中点，
∴。
又∵，∴四边形是平行四边形。
∴。∴。
∴四边形是平行四边形。∴。
又由和圆的对称性，得四边形是等腰梯形，∴。
∴。
（2）∵，∴四边形是等腰梯形。∴。
又∵=，∴。∴。
又∵，，∴。
又∵（同弧所对圆周角相等），∴。
∴。
【考点】平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，圆的对称性，等腰梯形的性质，平行的性质，圆周角定理，相似三角形的判定。
【解析】（1）根据三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的性质，经过等量代换可证。
（2）根据相似三角形的判定定理，由和可证。
例8. （2012年辽宁省理10分）如图，⊙O和⊙相交于两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，
D两点，连接DB并延长交⊙O于点E。证明
(Ⅰ)；
(Ⅱ) 。
【答案】证明：（I）∵AC与⊙O'相切于点A，∴。
同理可得。∴。∴。
∴。
（II）∵AD与⊙O相切于点A，∴。
又∵，∴。∴。∴。
由（I）的结论 可得。
【考点】圆的基本性质，圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质。
【解析】（I）利用圆的切线的性质得，从而有，根据相似三角形对应线段成比例得，由此得到所证。
（II）利用圆的切线的性质得，又，可得，根据相似三角形对应线段成比例得，即，再结合（I）的结论可得。
例9. （2012年江苏省10分）如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，连结并延长至点，使，连结．
求证：．
【答案】证明：连接。
∵是圆的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）。
∴（垂直的定义）。
又∵，∴是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。
∴（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。
∴（等腰三角形等边对等角的性质）。
又∵为圆上位于异侧的两点，
∴（同弧所对圆周角相等）。
∴（等量代换）。
【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。
【解析】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另
一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到。从而得证。
本题还可连接，利用三角形中位线来求证。
例10. （2012年北京市理5分）如图. ∠ACB=90o。CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则【 】
A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD 2 D.CE·EB=CD 2
【答案】C。
【考点】射影定理。
【解析】由射影定理可得AD·AB=CD 2。故选C。
二、矩阵与变换：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年上海市理4分）函数的值域是 ▲ .
【答案】。
【考点】行列式的基本运算，三角函数的值域，二倍角公式。
【解析】，
∵，∴。
例2. （2012年福建省理7分）设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求A2的逆矩阵．
【答案】解：（Ⅰ）设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)。
由＝＝，得。
又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，
整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1。
依题意得解得或。
因为a＞0，所以。
（Ⅱ）由(1)知，A＝，A2＝＝，
所以|A2|＝1，(A2)－1＝。
【考点】逆变换与逆矩阵，几种特殊的矩阵变换。
【解析】（Ⅰ）确定点在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵A。
（Ⅱ）先计算A2，即可得到A2的逆矩阵。
例3. （2012年江苏省10分）已知矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值．
【答案】解：∵，∴。
∵，∴。
∴矩阵的特征多项式为。
令，解得矩阵的特征值。
【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。
【解析】由矩阵的逆矩阵，根据定义可求出矩阵，从而求出矩阵的特征值。
例4. （2012年上海市文4分）函数的最小正周期是 ▲
【答案】。
【考点】行列式的基本运算，三角函数的值域，二倍角公式。
【解析】∵,
∴函数的最小正周期是。
三、极坐标与参数方程：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年上海市理4分）如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则 ▲ .
【答案】
【考点】点斜式直线方程的应用，直角坐标与极坐标互化。
【解析】∵该直线过点，与极轴的夹角，
∴该直线的直角坐标方程为：，即。
根据直角坐标与极坐标的关系，，代入上式，得
，
∴。
例2. （2012年北京市理5分）直线 (t为参数)与曲线 (“α为参数)的交点个数为 ▲
【答案】2。
【考点】参数方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系。
【解析】将参数方程化为直角坐标方程：
将直线方程的两式相加，得：
将曲线方程的两边平方后相加，得 ，它是圆心在（0，0），半径为3的圆。
由点到直线的距离公式，得圆心（0，0）到直线的距离为 ，它小于圆的半径。
∴直线与圆相交，有两个交点。
【也可用一元二次方程根的判别式求解】
例3. （2012年天津市理5分）己知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，点的横坐标是3，则 ▲ .
【答案】2。
【考点】参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质。
【分析】∵，可得抛物线的标准方程为，∴焦点。
∵点的横坐标是3，则，∴点，。
由抛物线的几何性质得。
∵，∴，解得。
例4. （2012年安徽省理5分）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 ▲
【答案】。
【考点】极坐标与直角坐标的转换，点到直线的距离公式。
【解析】将化为直角坐标方程：，其圆心坐标为。将化为直角坐标方程：。
∴根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离是。
例5. （2012年广东省理5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为　　▲　　。
【答案】（1,1）。
【考点】参数方程。
【解析】曲线C1的普通方程为：；曲线C2的普通方程为：。
解得。
∴曲线C1与C2的交点坐标为（1,1）。
例6. （2012年江西省理5分）曲线的直角坐标方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为 ▲ 。
【答案】。
【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，转化与化归的数学思想的应用。
【解析】由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得，
又∵，∴。
例7. （2012年湖北省理5分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t为参数）相较于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为 ▲ 。
【答案】。
【考点】极坐标方程，参数方程，曲线的交点。
【解析】射线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为。
联立方程解得。∴线段AB的中点的直角坐标为。
例8. （2012年湖南省理5分） 在直角坐标系xOy 中，已知曲线： (t为参数)与曲线 ：(为参数，) 有一个公共点在X轴上，则 ▲ .
【答案】。
【考点】直线的参数方程、椭圆的参数方程。
【解析】将曲线与曲线的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与轴交点，即可求得：
曲线：直角坐标方程为，与轴交点为；
曲线 ：直角坐标方程为，其与轴交点为。
由，曲线与曲线有一个公共点在X轴上，知。
例9. （2012年陕西省理5分）直线与圆相交的弦长为 ▲ .
【答案】。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
【考点】极坐标方程，圆和直线的关系。
【解析】将极坐标方程化为普通方程为与，联立方程组成方程组求出两交点的坐标和，故弦长等于。
例10. （2012年全国课标卷理10分） 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为
（1）求点的直角坐标；
（2）设为上任意一点，求的取值范围。
【答案】解：（1）∵正方形的顶点都在：上，
∴点的极坐标为。
∴点的直角坐标为：
，
即。
（2）设，则。
∵ ，
，
，
，
∴ 。
∵，
∴的取值范围。
【考点】参数方程和极坐标方程，极坐标和直角坐标的转换，三角函数值的范围。
【解析】（1）由正方形的性质，首先求得的极坐标，再转换成直角坐标，两点间距离公式。
（2）根据两点间距离公式，求出的表达式即可求出其取值范围。
例11. （2012年福建省理7分）选修4－4：（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．
【答案】解：（Ⅰ）由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，
又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，
故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x。
（Ⅱ）因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，
所以直线l的平面直角坐标方程为x＋3y－2＝0。
又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径r＝2，
圆心到直线l的距离d＝＝＜r，故直线l与圆C相交。
【考点】极坐标和直角坐标的互化，点到直线的距离，直线和圆的位置关系。
【解析】（Ⅰ）求出点P的平面直角坐标，即可求出直线OP的平面直角坐标方程。
（Ⅱ）求出直线l的平面直角坐标方程和圆心坐标、半径，将圆心到直线l的距离与半径比较即可。
例12. （2012年辽宁省理10分）在直角坐标中，圆，圆。
(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆
的交点坐标(用极坐标表示)；【版权归锦元数学工作室，不得转载】
(Ⅱ)求出的公共弦的参数方程。
【答案】解：（I）由，以及可知：
圆的极坐标方程为=2；
圆即的极坐标方程为。
解得。
∴圆的交点坐标为。
（II）由和圆的交点坐标得圆交点的直角坐标为
。
故圆的公共弦的参数方程为（）。
【考点】直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极坐标系的组成。
【解析】（I）利用 ，以及，直接写出圆，的极坐标方程，求出圆，的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）。
（II）求出两个圆交点的直角坐标，直接写出圆与的公共弦的参数方程。
例13. （2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．
【答案】解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，
∴在中令，得。
∴圆的圆心坐标为（1，0）。
∵圆经过点，∴圆的半径为。
∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。
【考点】直线和圆的极坐标方程。
【解析】根据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点求出圆的半径。从而得到圆的极坐标方程。
例14. （2012年广东省文5分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中中，曲线和曲线的
参数方程分别为（为参数，）和（为参数），则曲线和曲线的交点坐标为 ▲ ．
【答案】（2，1）。
【考点】参数方程，曲线上点的坐标与方程的关系，同角三角函数关系式。
【解析】由（为参数，）两式平方后相加，得；
由两式相减，得。
二者联立，得，解得或。
∵，∴舍去。
∴曲线和曲线的交点坐标为（2，1）。
例15. （2012年湖南省文5分）在极坐标系中，曲线：与曲线：的一个交点在极轴上，则a=　　▲　　.
【答案】。
【考点】直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系。
【解析】曲线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是直角坐标方程，
∵曲线C1：与曲线C2：的一个交点在极轴上，
∴与轴交点横坐标与值相等。
由，知＝。
四、不等式：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1. （2012年广东省理5分）不等式的解集为　　▲　　。
【答案】。
【考点】分类讨论的思想，解绝对值不等式。
【解析】分类讨论：由不等式得，
　　　　当时，不等式为，即恒成立；
　　　　当时，不等式为，解得，；
当时，不等式为，即不成立。
综上所述，不等式的解集为。
　　　　另解：用图象法求解：作出图象，由折点——参考点——连线；运用相似三角形性质可得。
例2. （2012年上海市理4分）．若集合，，则= ▲ .
【答案】。
【考点】集合的概念和性质的运用，一元一次不等式和绝对值不等式的解法。
【解析】由题意，得，∴。
例3. （2012年天津市理5分）已知集合，集合,且，则 ▲ , ▲ .
【答案】，。
【考点】集合的交集的运算及其运算性质，绝对值不等式与一元二次不等式的解法
【分析】由题意，可先化简集合，再由集合的形式及直接作出判断，即可得出两个参数的值：
∵=,
又∵，画数轴可知，。
例4. （2012年天津市文5分）集合中最小整数为 ▲
【答案】。
【考点】绝对值不等式的解法。
【分析】∵不等式，即，，∴集合。
∴集合中最小的整数为。
例5. （2012年山东省理4分）若不等式的解集为，则实数= ▲ 。
【答案】2。
【考点】绝对值不等式的性质。
【解析】由可得，即，而，所以。
例6. （2012年江西省理5分）在实数范围内，不等式的解集为 ▲ 。
【答案】。
【考点】绝对值不等式的解法，转化与划归、分类讨论的数学思想的应用。
【解析】原不等式可化为①或②或③，
由①得；由②得；由③得。
∴原不等式的解集为。
例7. （2012年陕西省文5分）若存在实数使成立，则实数的取值范围是 ▲
【答案】。
【考点】绝对值不等式的性质及其运用。
【解析】由题意知左边的最小值小于或等于3，根据不等式的性质，得
，解得，。
例8. （2012年湖南省理5分）不等式的解集为 ▲
【答案】。
【考点】解绝对值不等式。
【解析】令，则由得的解集为。
例9. （2012年全国课标卷文5分）已知函数
(Ｉ)当时，求不等式的解集；
(Ⅱ)若的解集包含，求的取值范围。
【答案】解：（1）当时，由得
∴ 或或。
解得 或。
(Ⅱ)原命题即在上恒成立，
∴在上恒成立，即在上恒成立。
∴。
【考点】绝对值不等式的解法。
【解析】(Ｉ)分段求解即可。
(Ⅱ)对于，把作未知求解。
例10. （2012年辽宁省文10分）已知，不等式的解集为｝。
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若恒成立，求k的取值范围。
【答案】解：（I）由得。
又∵不等式的解集为｝，
∴当时，不合题意；
当时，，得。
(Ⅱ)由（I）得。记。
∴。∴。
【考点】分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，分类讨论思想的应用。
【解析】（I）针对的取值情况进行讨论即可。
(Ⅱ) 针对的正负进行讨论从而用分段函数表示，进而求出k的取值范围。
例11.（2012年江苏省10分）已知实数x，y满足：求证：．
【答案】证明：∵，
由题设∴。∴。
【考点】绝对值不等式的基本知识。
【解析】根据绝对值不等式的性质求证。