第二章 二次函数复习
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课件26张PPT。二次函数小结贺胜中学初三数学组回顾与思考 1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言或图象来进行描述.
2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴交流.
3.小结作二次函数图象的方法.
4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明.
5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函数的表达式、表格和图象刻画变量之间的关系.
6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方程ax2+bx+c=0的根之间的关系.二次函数的定义 思索归纳定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且
a≠0.(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项
和常数项,但不能没有二次项.1.下列函数中,哪些是二次函数？怎么判断？(1）y=3(x-1)2+1;(3) s=3-2t2.(5)y=(x+3)2-x2. 随堂练习（是）（是）（不是）（不是）（不是）二次函数的图象及性质当a>0时开口向上，当a<0时开口向下(0,0)(0,c)(h,0)(h,k)直线y轴直线直线在对称轴左侧，y随x的增大而减小在对称轴右侧，y随x的增大而增大在对称轴左侧，y随x的增大而增大在对称轴右侧，y随x的增大而减小y轴知识回顾二次函数平移规律：上加下减左加右减左加右减上加下减简记：左加右减 ， 上加下减①a决定抛物线的开口和形状的大小②b与a共同决定对称轴;抛物线y=ax2+bx+c的位置与a ,b , c的关系a、b同号对称轴在y轴左侧a、b异号对称轴在y轴右侧a>0开口向上a<0开口向下绝对值越大开口越小③c决定与y轴交点坐标.c>0交点在y轴正半轴上c<0c=0交点是原点交点在y轴负半轴上2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)求抛物线解析式常用的三种方法一般式顶点式交点式或两根式怎样把一般式化成顶点式？1.提取：提取二次项系数2.配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方3.整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项4.化简:去掉中括号(2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1)练习1：根据下列已知条件，
求二次函数的解析式：(1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)(3)已知二次函数的图象经过点（1，0），(3，0),(0，6)求二次函数的解析式。 (5)抛物线y=ax2+bx+c经过(0，0)与（12，0）， 最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式(4) 抛物线与x轴交点是（3,0），对称轴是x=1，过点（4，-5）练习2：
1、已知抛物线y=-2(x+1)2-3，如果y随x的增大而
减小，那么x的取值范围是____________
2、把二次函数y=x2-2x-1配方成顶点式为________
当x=_____时，y有最___值是______
3、抛物线y=3(x-2)2+4的图像可以由抛物线y=3x2 的图像__________________得到，它的顶点坐标
是________，对称轴是________x>-1y=(x-1)2-2-21小平移（2,4）x=21. 如图,抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列各式的符号：
①a 0;
②c 0;
③b2 - 4ac 0;
④ b 0;xyO变式1：若抛物线 的图象如图，则a= .变式2：若抛物线 的图象如图，则△ABC的面积是 。小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，
b2 - 4ac决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;练习33、如图,抛物线y=ax2+bx+c ,请判断下列各式的符号：
① abc 0;
② 2a－b 0;
③ a+b+c 0;
④ a－b+c 02、如图,抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列各式的符号：
①a 0; ②b 0;
③c 0;
④b2 - 4ac 0;4、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2－3x+5，则有（ ）
（A）b=3，c=7 （B）b=－9，c=－15，
（C）b=3，c=3， （D）b=－9，c=21
5、如图，抛物线顶点坐标是P（1，3），
则函数y随自变量x的增大而减小的x的
取值范围是（ ）
A、x＞3 B、x＜3
C、x＞1 D、x＜1 AC思考 我们学习抛物线的性质主要是为了解决实际问题，针对不同的问题，你学过了哪些方法呢?1. 找出实际问题中的各种数量关系，并设出恰当的未知数（两个），把实际问题转化为数学中的函数问题。从而得到一个函数解析式。（有时还要建立平面坐标系）3. 对解析式进行配方，也可以利用公式法，把一般式化成
顶点式，再利用函数的性质或图象求出函数的最值。
（要注意变量x的取值范围哟）；4. 根据最值回答实际问题.2. 根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。温故而知新用二次函数解决实际问题的一般步骤 实际问题的形式多种多样，几何图形中的问题也有涉及二次函数的，怎么解决呢？解决几何中的函数问题的一般思路：1. 找出几何图形中的关系（线段的数量关系和位置关系，三角形的全等关系等）3. 把图形中的线段长度转化为平面内对应的点的坐标。（要注意点的坐标的符号在各个象限的区别）4.根据题意把实际问题转化函数问题，建立两个变量之间的函数关系式，并化简。5.由函数的性质或根据图象求出函数问题的解。（注意自变量的取值范围）6.根据（5）中的答案回答问题。2.建立恰当的平面直角坐标系。 有时我们还会遇到商品的利润问题，你还知道有关的知识吗？温故而知新利润问题几个量之间的关系.1.总价，单价，数量的关系：总价=单价×数量2.利润，售价，进价的关系:利润=售价－进价3.总利润，单件利润，数量的关系:总利润=单件利润×数量4.总成本，单件成本，数量的关系总成本=单件成本×数量例:施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标
(2)求出这条抛物线的函数关系式
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D两点在抛物线上,B、C两点在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少?请你帮忙计算一下.解:(1)点M的坐标是(12,0),点P的坐标是(6,6)(2)设此抛物线解析式为y=a(x-6)2+6又因为它经过(0,0),则0=a(0-6)2+6例:施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标
(2)求出这条抛物线的函数关系式
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D两点在抛物线上,B、C两点在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少?请你帮忙计算一下.(3)设点A的横坐标为m,则点A的纵坐标是∴AD=BC=12-2m,AB=CD=∴AB+AD+DC=当m=3时,即OB=3米时,3根木杆长度之和的最大值为15米.例:施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,yxoPBCADM如果现有一辆宽4米,高4米的卡车准备要通过这个隧道,问它能顺利通过吗?解:当x=4时,即当这个隧道在中心两旁4米宽时的顶的高度达到了5米多,
而车的高度只有4米,所以这两卡车能顺利通过.202 . 在抛物线y= -x2+2x+3上是否存在点P（点C除外），使△ABP面积等于△ABC面积?解：假设存在满足条件的点P，
则作PQ⊥x轴∵ S△ABp = S△ABC, ∴ AB×PQ/2= AB×OC/2,∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3，∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。
∴p(2,3)
或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0
x=1±√7，∴p(1+√7,-3),p(1-√7 ,-3)
xy03B-1C3PQA3. 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。解： ∵ 点A在正半轴，点B在负半轴
OA=4， OB=1，∴点A（4，0），
点B（-1，0）
又 ∵ ∠ACB=90° ∴OC2=OA·OB=4
∴OC=2，点C（0，-2）
∵抛物线与x轴交点坐标是（4，0）（-1，0）
∴可设这个二次函数解析式为y=a(x-4)(x+1)
又∵图像经过点C（0，-2）
∴ a(0-4)(0+1) = -2 ，a=
∴ y= (x-4)(x+1) 4. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生
产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量
保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套
产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与
每套的售价y1(万元)之间满足关系式y1=170-2x,月产量x(套)与
生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系， （1） 直接写出y2与 x直接的函数关系式。（2）求月产量x的范围。（3）当月产量x为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？解：(1) y2=30x+500（2） 依题意得{30x+500≤50x170-2x≥90（2010年荆州市）解得25≤x≤40(3) W=x×y1-y2=x(170-2x)-(30x+500)=-2x2+140x-500=-2(x-35)2+1950∵ 25≤x≤40∴ 当x=35时，W最大=1950故月产量为35套时，利润最大，最大利润是1950万元通过这节课的复习。你有什么收获？再见5.某工厂生产一种新型产品，产品按质量分为8个档次。若工时不变，每天生产最低档次产品60件，每件产品利润8元；若要提高生产产品的档次，则每提高提高一个档次，每件利润可增加2元，但每天要少生产3件。（1）生产哪一档次产品的利润最大？最大利润是多少元？（2）生产哪一档次的产品，每天的利润恰为810元？生产产品的档次在什么范围内，每天的利润不低于810元？解：（1）设生产第x档产品时，每天所获利润为y元，则y=[8+2(x-1)][60-3(x-1)]1≤x ≤8 且x为整数=-6x2+108x+378=-6(x-9)2+864∵ a=-6<0,∴当x=9时，y有最大值864。∵ 1≤x ≤8 ,x为整数，x<9时，y随x的增大而增大∴当x=8时，y有最大值858。（2）生产哪一档次的产品，每天的利润恰为810元？生产产品的档次在什么范围内，每天的利润不低于810元？(2)当y=810时，-6(x-9)2+864=810解答x1=6， x2=12故生产第6档次的产品，每天的利润恰为810元。当x=6 ，y=810由x<9时，y随x的增大而增大可知，当6≤x ≤8 ，且x 为整数时，y ≥810。故生产产品在第6~8档次范围内，每天的利润不低于810元。（不合题意，舍去）
2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴交流.
3.小结作二次函数图象的方法.
4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明.
5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函数的表达式、表格和图象刻画变量之间的关系.
6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方程ax2+bx+c=0的根之间的关系.二次函数的定义 思索归纳定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且
a≠0.(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项
和常数项,但不能没有二次项.1.下列函数中,哪些是二次函数？怎么判断？(1）y=3(x-1)2+1;(3) s=3-2t2.(5)y=(x+3)2-x2. 随堂练习（是）（是）（不是）（不是）（不是）二次函数的图象及性质当a>0时开口向上，当a<0时开口向下(0,0)(0,c)(h,0)(h,k)直线y轴直线直线在对称轴左侧，y随x的增大而减小在对称轴右侧，y随x的增大而增大在对称轴左侧，y随x的增大而增大在对称轴右侧，y随x的增大而减小y轴知识回顾二次函数平移规律：上加下减左加右减左加右减上加下减简记：左加右减 ， 上加下减①a决定抛物线的开口和形状的大小②b与a共同决定对称轴;抛物线y=ax2+bx+c的位置与a ,b , c的关系a、b同号对称轴在y轴左侧a、b异号对称轴在y轴右侧a>0开口向上a<0开口向下绝对值越大开口越小③c决定与y轴交点坐标.c>0交点在y轴正半轴上c<0c=0交点是原点交点在y轴负半轴上2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)求抛物线解析式常用的三种方法一般式顶点式交点式或两根式怎样把一般式化成顶点式？1.提取：提取二次项系数2.配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方3.整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项4.化简:去掉中括号(2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1)练习1：根据下列已知条件，
求二次函数的解析式：(1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)(3)已知二次函数的图象经过点（1，0），(3，0),(0，6)求二次函数的解析式。 (5)抛物线y=ax2+bx+c经过(0，0)与（12，0）， 最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式(4) 抛物线与x轴交点是（3,0），对称轴是x=1，过点（4，-5）练习2：
1、已知抛物线y=-2(x+1)2-3，如果y随x的增大而
减小，那么x的取值范围是____________
2、把二次函数y=x2-2x-1配方成顶点式为________
当x=_____时，y有最___值是______
3、抛物线y=3(x-2)2+4的图像可以由抛物线y=3x2 的图像__________________得到，它的顶点坐标
是________，对称轴是________x>-1y=(x-1)2-2-21小平移（2,4）x=21. 如图,抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列各式的符号：
①a 0;
②c 0;
③b2 - 4ac 0;
④ b 0;xyO变式1：若抛物线 的图象如图，则a= .变式2：若抛物线 的图象如图，则△ABC的面积是 。小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，
b2 - 4ac决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;练习33、如图,抛物线y=ax2+bx+c ,请判断下列各式的符号：
① abc 0;
② 2a－b 0;
③ a+b+c 0;
④ a－b+c 02、如图,抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列各式的符号：
①a 0; ②b 0;
③c 0;
④b2 - 4ac 0;4、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2－3x+5，则有（ ）
（A）b=3，c=7 （B）b=－9，c=－15，
（C）b=3，c=3， （D）b=－9，c=21
5、如图，抛物线顶点坐标是P（1，3），
则函数y随自变量x的增大而减小的x的
取值范围是（ ）
A、x＞3 B、x＜3
C、x＞1 D、x＜1 AC思考 我们学习抛物线的性质主要是为了解决实际问题，针对不同的问题，你学过了哪些方法呢?1. 找出实际问题中的各种数量关系，并设出恰当的未知数（两个），把实际问题转化为数学中的函数问题。从而得到一个函数解析式。（有时还要建立平面坐标系）3. 对解析式进行配方，也可以利用公式法，把一般式化成
顶点式，再利用函数的性质或图象求出函数的最值。
（要注意变量x的取值范围哟）；4. 根据最值回答实际问题.2. 根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。温故而知新用二次函数解决实际问题的一般步骤 实际问题的形式多种多样，几何图形中的问题也有涉及二次函数的，怎么解决呢？解决几何中的函数问题的一般思路：1. 找出几何图形中的关系（线段的数量关系和位置关系，三角形的全等关系等）3. 把图形中的线段长度转化为平面内对应的点的坐标。（要注意点的坐标的符号在各个象限的区别）4.根据题意把实际问题转化函数问题，建立两个变量之间的函数关系式，并化简。5.由函数的性质或根据图象求出函数问题的解。（注意自变量的取值范围）6.根据（5）中的答案回答问题。2.建立恰当的平面直角坐标系。 有时我们还会遇到商品的利润问题，你还知道有关的知识吗？温故而知新利润问题几个量之间的关系.1.总价，单价，数量的关系：总价=单价×数量2.利润，售价，进价的关系:利润=售价－进价3.总利润，单件利润，数量的关系:总利润=单件利润×数量4.总成本，单件成本，数量的关系总成本=单件成本×数量例:施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标
(2)求出这条抛物线的函数关系式
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D两点在抛物线上,B、C两点在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少?请你帮忙计算一下.解:(1)点M的坐标是(12,0),点P的坐标是(6,6)(2)设此抛物线解析式为y=a(x-6)2+6又因为它经过(0,0),则0=a(0-6)2+6例:施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标
(2)求出这条抛物线的函数关系式
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D两点在抛物线上,B、C两点在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少?请你帮忙计算一下.(3)设点A的横坐标为m,则点A的纵坐标是∴AD=BC=12-2m,AB=CD=∴AB+AD+DC=当m=3时,即OB=3米时,3根木杆长度之和的最大值为15米.例:施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,yxoPBCADM如果现有一辆宽4米,高4米的卡车准备要通过这个隧道,问它能顺利通过吗?解:当x=4时,即当这个隧道在中心两旁4米宽时的顶的高度达到了5米多,
而车的高度只有4米,所以这两卡车能顺利通过.202 . 在抛物线y= -x2+2x+3上是否存在点P（点C除外），使△ABP面积等于△ABC面积?解：假设存在满足条件的点P，
则作PQ⊥x轴∵ S△ABp = S△ABC, ∴ AB×PQ/2= AB×OC/2,∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3，∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。
∴p(2,3)
或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0
x=1±√7，∴p(1+√7,-3),p(1-√7 ,-3)
xy03B-1C3PQA3. 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。解： ∵ 点A在正半轴，点B在负半轴
OA=4， OB=1，∴点A（4，0），
点B（-1，0）
又 ∵ ∠ACB=90° ∴OC2=OA·OB=4
∴OC=2，点C（0，-2）
∵抛物线与x轴交点坐标是（4，0）（-1，0）
∴可设这个二次函数解析式为y=a(x-4)(x+1)
又∵图像经过点C（0，-2）
∴ a(0-4)(0+1) = -2 ，a=
∴ y= (x-4)(x+1) 4. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生
产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量
保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套
产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与
每套的售价y1(万元)之间满足关系式y1=170-2x,月产量x(套)与
生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系， （1） 直接写出y2与 x直接的函数关系式。（2）求月产量x的范围。（3）当月产量x为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？解：(1) y2=30x+500（2） 依题意得{30x+500≤50x170-2x≥90（2010年荆州市）解得25≤x≤40(3) W=x×y1-y2=x(170-2x)-(30x+500)=-2x2+140x-500=-2(x-35)2+1950∵ 25≤x≤40∴ 当x=35时，W最大=1950故月产量为35套时，利润最大，最大利润是1950万元通过这节课的复习。你有什么收获？再见5.某工厂生产一种新型产品，产品按质量分为8个档次。若工时不变，每天生产最低档次产品60件，每件产品利润8元；若要提高生产产品的档次，则每提高提高一个档次，每件利润可增加2元，但每天要少生产3件。（1）生产哪一档次产品的利润最大？最大利润是多少元？（2）生产哪一档次的产品，每天的利润恰为810元？生产产品的档次在什么范围内，每天的利润不低于810元？解：（1）设生产第x档产品时，每天所获利润为y元，则y=[8+2(x-1)][60-3(x-1)]1≤x ≤8 且x为整数=-6x2+108x+378=-6(x-9)2+864∵ a=-6<0,∴当x=9时，y有最大值864。∵ 1≤x ≤8 ,x为整数，x<9时，y随x的增大而增大∴当x=8时，y有最大值858。（2）生产哪一档次的产品，每天的利润恰为810元？生产产品的档次在什么范围内，每天的利润不低于810元？(2)当y=810时，-6(x-9)2+864=810解答x1=6， x2=12故生产第6档次的产品，每天的利润恰为810元。当x=6 ，y=810由x<9时，y随x的增大而增大可知，当6≤x ≤8 ，且x 为整数时，y ≥810。故生产产品在第6~8档次范围内，每天的利润不低于810元。（不合题意，舍去）