2021—2022学年北师大版数学九年级下册第二章二次函数——二次函数综合探究——最值问题及存在性问题课时对应练习（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年北师大版数学九年级下册第二章二次函数——二次函数综合探究——最值问题及存在性问题课时对应练习（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 136.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-15 16:42:56 | ||
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文档简介
第13课时 二次函数综合探究——最值问题及存在性问题
1．已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
（1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）试求出抛物线的解析式；
（2）问：在抛物线的对称轴上是否存在一个点Q，使得△QAC的周长最小，试求出△QAC的周长的最小值，并求出点Q的坐标；
（3）现有一个动点P从抛物线的顶点T出发，在对称轴上以1个单位长度每秒的速度向y轴的正方向运动，试问，经过几秒后，△PAC是等腰三角形？
3．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣x+b交于A，C两点，与x轴交于点A，B．点P为直线AC下方抛物线上的一个动点（不包括点A和点C），过点P作PN⊥AB交AC与点M，垂足为N，连接AP，CP．设点P的横坐标为m．
（1）求b的值；
（2）用含m的代数式表示线段PM的长并写出m的取值范围；
（3）求△PAC的面积S关于m的函数解析式，并求使得△APC面积最大时，点P的坐标；
（4）直接写出当△CMP为等腰三角形时点P的坐标．
4．已知抛物线y＝﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且2，
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0），D两点，与y轴交于点C，对称轴x＝3交x轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是x轴上方抛物线上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，交直线BC于点E．设点M的横坐标为m，用含m的代数式表示线段ME的长，并求出线段ME长的最大值．
（3）若点P在y轴的正半轴上，连接PA，过点P作PA垂线，交抛物线的对称轴于点Q．是否存在点P，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△BAQ全等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2019 广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
7．已知抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B
（1）求m的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；
（3）当m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．
8．已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1 x2＜0，|x1|+|x2|＝4，点A，C在直线y2＝﹣3x+t上．
（1）求点C的坐标；
（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．
【参考答案】
1．（1）∵抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），
∴1，1或9，
解得m＝﹣2，n＝0或8，
∴y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x或y1＝﹣x2﹣2x+8；
（2）①当y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0，0）和（﹣2，0），
∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0），
把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，
解得，
∴y2＝5x+10．
②当y1＝﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8＝0得x＝﹣4或2，
∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），
把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，
解得；
∴y2x．
2．（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴把此三点代入得，
解得，
故抛物线的解析式为，y＝x2﹣4x+3；
（2）点A关于对称轴的对称点即为点B，
连接B、C，交x＝2于点Q，
可得直线BC：
y＝﹣x+3，与对称轴交点Q（2，1），BC，
可得△QAC周长为3．
（3）设t秒后△PAC是等腰三角形，
因为P在对称轴上，
所以P点坐标为（2，t﹣1）于是
①当PA＝CA时；根据勾股定理得：（2﹣1）2+（t﹣1）2＝12+32；
解得t＝4秒或t＝﹣2秒（负值舍去）．
②PC＝PA时；根据勾股定理得：22+（t﹣4）2＝（2﹣1）2+（t﹣1）2；
解得t＝3秒；
③CP＝CA时；根据勾股定理得：22+（t﹣4）2＝12+32；
解得t＝（4）秒或t＝（4）秒
所以经过4秒，或3秒，或4秒，或4秒时，△PAC是等腰三角形．
3．（1）令x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
即A＝（﹣1，0），B（3，0），
把A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b，得b＝﹣1，
则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）把x＝m代入抛物线解析式得：y＝m2﹣2m﹣3，
把x＝m代入直线解析式得：y＝﹣m﹣1，
∴NP＝﹣（m2﹣2m﹣3），MN＝﹣（﹣m﹣1），
∴MP＝NP﹣NM＝﹣（m2﹣2m﹣3）+（﹣m﹣1）＝﹣m2+m+2，
m的取值范围是﹣1＜m＜2；
（3）过点作CE⊥AB于点E，
则S△APC＝S△AMP+S△CMPMP ANMP NEMP AEm2m+3，
∵﹣1＜0，开口向下，
∴当m时，S△APC面积最大，
此时P（，）；
（4）分三种情况：①当P为抛物线顶点时，
此时MC＝PC，△CMP为等腰三角形，
P点坐标为P1（1，﹣4）；
②当P为C关于抛物线对称轴对称的点时，
此时MP＝MC时，△CMP为等腰三角形，
∵点C（2，﹣3），对称轴为：x＝1，
∴点P坐标为P2（0，﹣3）；
③当P为MC的垂直平分线上点时，
此时PM＝PC，△CMP为等腰三角形，
P3（1，2﹣4）．
4．（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m＝0的两根，由根与系数的关系可得，
α+β，αβ＝﹣2，
∵2，
∴2，即2，
解得：m＝1，
故抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x+2；
（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，
∵y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
∴抛物线的对称轴l为x＝2，顶点D的坐标为：（2，6），
又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，
∴E点坐标为：（4，2），
作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，
则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），
连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，
此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：
延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F＝6，E′F＝8，
则D′E′10，
设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG＝4，EG＝2，
∴DE2，
∴四边形DNME的周长最小值为：10+2；
（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，
∴PH＝DG＝4，∴|y|＝4，
∴当y＝4时，﹣x2+4x+2＝4，
解得：x1＝2，x2＝2，
当y＝﹣4时，﹣x2+4x+2＝﹣4，
解得：x3＝2，x4＝2，
无法得出以DE为对角线的平行四边形，
故P点的坐标为；（2，4），（2，4），（2，﹣4），（2，﹣4）．
5．（1）由题意得，点D的坐标为（8，0），
把点A、D的坐标代入y＝ax2+bx+4，
解．
故抛物线解析式为yx2x+4．
（2）由题意，点C，点B坐标分别为（0，4），（3，0），
则直线CB解析式yx+4，
点M坐标为（m，m2m+4），点E坐标为（m，m+4），
①当﹣2＜m≤0时，
MEm+4﹣（m2m+4）m2m，
m＝﹣2时，ME，
由二次函数性质可知，ME；
②当0＜m＜8时，
MEm2m+4﹣（m+4）m2m（m）2
当m时，ME取得最大值，最大值为．
综上所述，当﹣2＜m≤0时，MEm2m，当0＜m＜8时，MEm2m．
当m时，ME取得最大值，最大值为．
（3）存在，
∵PA⊥PQ，BQ⊥x轴
∴∠APQ＝∠ABQ＝90°，
∴△APQ和△ABQ中．点P和点B是对应点，
∵以点P、A、Q为顶点的三角形与△BAQ全等，
只有两种情况：
设点P（0，c），Q（3，n）（c＞0），
∴AB＝5，BQ＝n，PA，PQ，
①△PAQ≌△BAQ，
∴PA＝BA，PQ＝BQ，
∴5，n，
∴c或c（舍），
∴P（0，），
②△PQA≌△BAQ，
∴PA＝BQ，PQ＝AB，
∴n，5，
∴c1，n1或c2，n2（舍）
故点P坐标为P1（0，），P2（0，）．
6．（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点
∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3
（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）
∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3
∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2
即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2
∵m＞0，m＝x﹣1
∴x﹣1＞0
∴x＞1
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）
（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线
x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4
∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）
∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3
∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA
∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3
法二：
整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x
∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立
∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0
∴m0
∵x＞1
∴1﹣x＜0
∴x（x﹣2）＜0
∴x﹣2＜0
∴x＜2即1＜x＜2
∵yP＝﹣x﹣2
∴﹣4＜yP＜﹣3
7．（1）解：当m＝0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；
当m≠0时，
∵抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B，
∴△＝（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）＝（1﹣4m）2＞0，
∴1﹣4m≠0，
∴m，
∴m的取值范围为m≠0且m；
（2）证明：∵抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m，
∴y＝m（x2﹣2x﹣3）+x+1，
抛物线过定点说明在这一点y与m无关，
显然当x2﹣2x﹣3＝0时，y与m无关，
解得：x＝3或x＝﹣1，
当x＝3时，y＝4，定点坐标为（3，4）；
当x＝﹣1时，y＝0，定点坐标为（﹣1，0），
∵P不在坐标轴上，
∴P（3，4）；
（3）解：|AB|＝|xA﹣xB|||＝|4|，
∵m≤8，
∴4，
∴4＜0，
∴0＜|4|，
∴|AB|最大时，||，
解得：m＝8，或m（舍去），
∴当m＝8时，|AB|有最大值，
此时△ABP的面积最大，没有最小值，
则面积最大为：|AB|yP4．
8．（1）令x＝0，则y＝c，
故C（0，c），
∵OC的距离为3，
∴|c|＝3，即c＝±3，
∴C（0，3）或（0，﹣3）；
（2）∵x1x2＜0，
∴x1，x2异号，
①若C（0，3），即c＝3，
把C（0，3）代入y2＝﹣3x+t，则0+t＝3，即t＝3，
∴y2＝﹣3x+3，
把A（x1，0）代入y2＝﹣3x+3，则﹣3x1+3＝0，
即x1＝1，
∴A（1，0），
∵x1，x2异号，x1＝1＞0，∴x2＜0，
∵|x1|+|x2|＝4，
∴1﹣x2＝4，
解得：x2＝﹣3，则B（﹣3，0），
代入y1＝ax2+bx+3得，，
解得：，
∴y1＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
则当x≤﹣1时，y随x增大而增大．
②若C（0，﹣3），即c＝﹣3，
把C（0，﹣3）代入y2＝﹣3x+t，则0+t＝﹣3，即t＝﹣3，
∴y2＝﹣3x﹣3，
把A（x1，0），代入y2＝﹣3x﹣3，
则﹣3x1﹣3＝0，
即x1＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵x1，x2异号，x1＝﹣1＜0，∴x2＞0
∵|x1|+|x2|＝4，
∴1+x2＝4，
解得：x2＝3，则B（3，0），
代入y1＝ax2+bx﹣3得，，
解得：，
∴y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
则当x≥1时，y随x增大而增大，
综上所述，若c＝3，当y随x增大而增大时，x≤﹣1；
若c＝﹣3，当y随x增大而增大时，x≥1；
（3）①若c＝3，则y1＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，y2＝﹣3x+3，
y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3＝﹣（x+1+n）2+4，
则当x≤﹣1﹣n时，y随x增大而增大，
y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4＝﹣3x+3﹣n，
要使平移后直线与P有公共点，则当x＝﹣1﹣n，y3≥y4，
即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，
解得：n≤﹣1，
∵n＞0，∴n≤﹣1不符合条件，应舍去；
②若c＝﹣3，则y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，y2＝﹣3x﹣3，
y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3＝（x﹣1+n）2﹣4，
则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，
y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4＝﹣3x﹣3﹣n，
要使平移后直线与P有公共点，则当x＝1﹣n，y3≤y4，
即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，
解得：n≥1，
综上所述：n≥1，
2n2﹣5n＝2（n）2，
∴当n时，2n2﹣5n的最小值为：．
第14页（共14页）
1．已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
（1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）试求出抛物线的解析式；
（2）问：在抛物线的对称轴上是否存在一个点Q，使得△QAC的周长最小，试求出△QAC的周长的最小值，并求出点Q的坐标；
（3）现有一个动点P从抛物线的顶点T出发，在对称轴上以1个单位长度每秒的速度向y轴的正方向运动，试问，经过几秒后，△PAC是等腰三角形？
3．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣x+b交于A，C两点，与x轴交于点A，B．点P为直线AC下方抛物线上的一个动点（不包括点A和点C），过点P作PN⊥AB交AC与点M，垂足为N，连接AP，CP．设点P的横坐标为m．
（1）求b的值；
（2）用含m的代数式表示线段PM的长并写出m的取值范围；
（3）求△PAC的面积S关于m的函数解析式，并求使得△APC面积最大时，点P的坐标；
（4）直接写出当△CMP为等腰三角形时点P的坐标．
4．已知抛物线y＝﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且2，
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0），D两点，与y轴交于点C，对称轴x＝3交x轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是x轴上方抛物线上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，交直线BC于点E．设点M的横坐标为m，用含m的代数式表示线段ME的长，并求出线段ME长的最大值．
（3）若点P在y轴的正半轴上，连接PA，过点P作PA垂线，交抛物线的对称轴于点Q．是否存在点P，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△BAQ全等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2019 广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
7．已知抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B
（1）求m的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；
（3）当m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．
8．已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1 x2＜0，|x1|+|x2|＝4，点A，C在直线y2＝﹣3x+t上．
（1）求点C的坐标；
（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．
【参考答案】
1．（1）∵抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），
∴1，1或9，
解得m＝﹣2，n＝0或8，
∴y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x或y1＝﹣x2﹣2x+8；
（2）①当y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0，0）和（﹣2，0），
∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0），
把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，
解得，
∴y2＝5x+10．
②当y1＝﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8＝0得x＝﹣4或2，
∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），
把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，
解得；
∴y2x．
2．（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴把此三点代入得，
解得，
故抛物线的解析式为，y＝x2﹣4x+3；
（2）点A关于对称轴的对称点即为点B，
连接B、C，交x＝2于点Q，
可得直线BC：
y＝﹣x+3，与对称轴交点Q（2，1），BC，
可得△QAC周长为3．
（3）设t秒后△PAC是等腰三角形，
因为P在对称轴上，
所以P点坐标为（2，t﹣1）于是
①当PA＝CA时；根据勾股定理得：（2﹣1）2+（t﹣1）2＝12+32；
解得t＝4秒或t＝﹣2秒（负值舍去）．
②PC＝PA时；根据勾股定理得：22+（t﹣4）2＝（2﹣1）2+（t﹣1）2；
解得t＝3秒；
③CP＝CA时；根据勾股定理得：22+（t﹣4）2＝12+32；
解得t＝（4）秒或t＝（4）秒
所以经过4秒，或3秒，或4秒，或4秒时，△PAC是等腰三角形．
3．（1）令x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
即A＝（﹣1，0），B（3，0），
把A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b，得b＝﹣1，
则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）把x＝m代入抛物线解析式得：y＝m2﹣2m﹣3，
把x＝m代入直线解析式得：y＝﹣m﹣1，
∴NP＝﹣（m2﹣2m﹣3），MN＝﹣（﹣m﹣1），
∴MP＝NP﹣NM＝﹣（m2﹣2m﹣3）+（﹣m﹣1）＝﹣m2+m+2，
m的取值范围是﹣1＜m＜2；
（3）过点作CE⊥AB于点E，
则S△APC＝S△AMP+S△CMPMP ANMP NEMP AEm2m+3，
∵﹣1＜0，开口向下，
∴当m时，S△APC面积最大，
此时P（，）；
（4）分三种情况：①当P为抛物线顶点时，
此时MC＝PC，△CMP为等腰三角形，
P点坐标为P1（1，﹣4）；
②当P为C关于抛物线对称轴对称的点时，
此时MP＝MC时，△CMP为等腰三角形，
∵点C（2，﹣3），对称轴为：x＝1，
∴点P坐标为P2（0，﹣3）；
③当P为MC的垂直平分线上点时，
此时PM＝PC，△CMP为等腰三角形，
P3（1，2﹣4）．
4．（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m＝0的两根，由根与系数的关系可得，
α+β，αβ＝﹣2，
∵2，
∴2，即2，
解得：m＝1，
故抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x+2；
（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，
∵y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
∴抛物线的对称轴l为x＝2，顶点D的坐标为：（2，6），
又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，
∴E点坐标为：（4，2），
作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，
则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），
连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，
此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：
延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F＝6，E′F＝8，
则D′E′10，
设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG＝4，EG＝2，
∴DE2，
∴四边形DNME的周长最小值为：10+2；
（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，
∴PH＝DG＝4，∴|y|＝4，
∴当y＝4时，﹣x2+4x+2＝4，
解得：x1＝2，x2＝2，
当y＝﹣4时，﹣x2+4x+2＝﹣4，
解得：x3＝2，x4＝2，
无法得出以DE为对角线的平行四边形，
故P点的坐标为；（2，4），（2，4），（2，﹣4），（2，﹣4）．
5．（1）由题意得，点D的坐标为（8，0），
把点A、D的坐标代入y＝ax2+bx+4，
解．
故抛物线解析式为yx2x+4．
（2）由题意，点C，点B坐标分别为（0，4），（3，0），
则直线CB解析式yx+4，
点M坐标为（m，m2m+4），点E坐标为（m，m+4），
①当﹣2＜m≤0时，
MEm+4﹣（m2m+4）m2m，
m＝﹣2时，ME，
由二次函数性质可知，ME；
②当0＜m＜8时，
MEm2m+4﹣（m+4）m2m（m）2
当m时，ME取得最大值，最大值为．
综上所述，当﹣2＜m≤0时，MEm2m，当0＜m＜8时，MEm2m．
当m时，ME取得最大值，最大值为．
（3）存在，
∵PA⊥PQ，BQ⊥x轴
∴∠APQ＝∠ABQ＝90°，
∴△APQ和△ABQ中．点P和点B是对应点，
∵以点P、A、Q为顶点的三角形与△BAQ全等，
只有两种情况：
设点P（0，c），Q（3，n）（c＞0），
∴AB＝5，BQ＝n，PA，PQ，
①△PAQ≌△BAQ，
∴PA＝BA，PQ＝BQ，
∴5，n，
∴c或c（舍），
∴P（0，），
②△PQA≌△BAQ，
∴PA＝BQ，PQ＝AB，
∴n，5，
∴c1，n1或c2，n2（舍）
故点P坐标为P1（0，），P2（0，）．
6．（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点
∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3
（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）
∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3
∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2
即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2
∵m＞0，m＝x﹣1
∴x﹣1＞0
∴x＞1
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）
（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线
x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4
∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）
∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3
∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA
∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3
法二：
整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x
∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立
∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0
∴m0
∵x＞1
∴1﹣x＜0
∴x（x﹣2）＜0
∴x﹣2＜0
∴x＜2即1＜x＜2
∵yP＝﹣x﹣2
∴﹣4＜yP＜﹣3
7．（1）解：当m＝0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；
当m≠0时，
∵抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B，
∴△＝（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）＝（1﹣4m）2＞0，
∴1﹣4m≠0，
∴m，
∴m的取值范围为m≠0且m；
（2）证明：∵抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m，
∴y＝m（x2﹣2x﹣3）+x+1，
抛物线过定点说明在这一点y与m无关，
显然当x2﹣2x﹣3＝0时，y与m无关，
解得：x＝3或x＝﹣1，
当x＝3时，y＝4，定点坐标为（3，4）；
当x＝﹣1时，y＝0，定点坐标为（﹣1，0），
∵P不在坐标轴上，
∴P（3，4）；
（3）解：|AB|＝|xA﹣xB|||＝|4|，
∵m≤8，
∴4，
∴4＜0，
∴0＜|4|，
∴|AB|最大时，||，
解得：m＝8，或m（舍去），
∴当m＝8时，|AB|有最大值，
此时△ABP的面积最大，没有最小值，
则面积最大为：|AB|yP4．
8．（1）令x＝0，则y＝c，
故C（0，c），
∵OC的距离为3，
∴|c|＝3，即c＝±3，
∴C（0，3）或（0，﹣3）；
（2）∵x1x2＜0，
∴x1，x2异号，
①若C（0，3），即c＝3，
把C（0，3）代入y2＝﹣3x+t，则0+t＝3，即t＝3，
∴y2＝﹣3x+3，
把A（x1，0）代入y2＝﹣3x+3，则﹣3x1+3＝0，
即x1＝1，
∴A（1，0），
∵x1，x2异号，x1＝1＞0，∴x2＜0，
∵|x1|+|x2|＝4，
∴1﹣x2＝4，
解得：x2＝﹣3，则B（﹣3，0），
代入y1＝ax2+bx+3得，，
解得：，
∴y1＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
则当x≤﹣1时，y随x增大而增大．
②若C（0，﹣3），即c＝﹣3，
把C（0，﹣3）代入y2＝﹣3x+t，则0+t＝﹣3，即t＝﹣3，
∴y2＝﹣3x﹣3，
把A（x1，0），代入y2＝﹣3x﹣3，
则﹣3x1﹣3＝0，
即x1＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵x1，x2异号，x1＝﹣1＜0，∴x2＞0
∵|x1|+|x2|＝4，
∴1+x2＝4，
解得：x2＝3，则B（3，0），
代入y1＝ax2+bx﹣3得，，
解得：，
∴y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
则当x≥1时，y随x增大而增大，
综上所述，若c＝3，当y随x增大而增大时，x≤﹣1；
若c＝﹣3，当y随x增大而增大时，x≥1；
（3）①若c＝3，则y1＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，y2＝﹣3x+3，
y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3＝﹣（x+1+n）2+4，
则当x≤﹣1﹣n时，y随x增大而增大，
y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4＝﹣3x+3﹣n，
要使平移后直线与P有公共点，则当x＝﹣1﹣n，y3≥y4，
即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，
解得：n≤﹣1，
∵n＞0，∴n≤﹣1不符合条件，应舍去；
②若c＝﹣3，则y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，y2＝﹣3x﹣3，
y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3＝（x﹣1+n）2﹣4，
则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，
y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4＝﹣3x﹣3﹣n，
要使平移后直线与P有公共点，则当x＝1﹣n，y3≤y4，
即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，
解得：n≥1，
综上所述：n≥1，
2n2﹣5n＝2（n）2，
∴当n时，2n2﹣5n的最小值为：．
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