(共12张PPT)
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
复习提问
复习提问
不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标。
解：∵解方程x2-x-6=0
得x1=-2和x2=3
∴抛物线y=x2-6x+4与x轴交点坐标为：
（-2，0）和（3，0）
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
(2).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间，
(3).确定方程x2+2x-10=0的解;
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
活动探究
分别约为-4.3和2.3
用一元二次方程的求根公式验证一下，看是否有相同的结果
你认为利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的时候，应该注意什么？
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
做一做P75
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(4).确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
(2). 作直线y=3；
(1).原方程可变形为x2+2x-13=0；
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(4).确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
(2).用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；；
解法2
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方
程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？
课堂点睛
①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；
②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解。
在求一元二次方程的解的时候，你愿意采用今天学习的这种方法吗？
二次函数y=-2x2+4x+1的图象如图所示，求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根.
驶向胜利的岸
(1).观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.2和2.2(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(3).确定方程-2x2+4x+1=0的解;
由此可知,方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
课堂练习
综合运用
如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水
装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+3(x﹥0)。柱子OA的高度是多少米？若不计其它因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
A
O
x/m
y/m
解: 在y=-x2+2x+3中，当x=0时y=3，
∴ OA=3m
而当y=0时，x1=-1（舍去），x2=3
∴水池的半径至少为3m.
课堂寄语
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，虽然对于我们现在解一元二次方程没有应用价值，但它体现了“数形结合”这一重要的数学思想方法。也启示我们只要善于观察和思考，就能发现事物之间的各种联系，去探索科学的奥秘。
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y=x2+2x-10
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y=x2+2x-10
其横坐标一个在-5与-4之间
另一个在2与3之间
约为-4.3
约为2.3
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
-1.39
-0.76
-0.11
0.56(共15张PPT)
y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？
函数的表示方式
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
做一做
1
驶向胜利的彼岸
勇敢表现奖属于自信的人！
x
y
用函数表达式表示：
解析法—用表达式表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
做一做
2
驶向胜利的彼岸
用解析法表示函数的优点,缺点分别是什么？
x
y
用表格表示：
列表法—用表格表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
做一做
3
驶向胜利的彼岸
用列表法表示函数的优点,缺点分别是什么？
x
y
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10-x
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
9 16 21 24 25 24 21 16 9
用图象表示:
图象法—用图象表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
做一做
4
驶向胜利的彼岸
用图象法表示函数的优点,缺点分别是什么？
比较三种表示方式,你能得出什么结论 与同伴交流.
x
y
因为x表示周长为20cm矩形的边长,所以自变量x的取值范围是:0当x=5cm时,长方形的面积最大,它的最大面积=25cm2.
由表达式的顶点式,表格中结果,图象的最高点都可得到. y随x的变化而变化的情况是:当0议一议
5
驶向胜利的彼岸
悟 出真谛
在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？
当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少 你是怎么得到的 请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
x
y
做一做
6
驶向胜利的彼岸
梅花香自苦寒来
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的 ？
用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗
用函数表达式表示：
解析法—用表达式表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的
做一做
7
驶向胜利的彼岸
用解析法表示函数的优点,缺点分别是什么？
用表格表示：
列表法—用表格表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的 ？
做一做
8
驶向胜利的彼岸
用列表法表示函数的优点,缺点分别是什么？
x …… -2 -1 0 1 2 3 4 ……
… 8 3 0 -1 0 3 8 …
用图象表示:
图象法—用图象表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的
做一做
9
驶向胜利的彼岸
用图象法表示函数的优点,缺点分别是什么？
比较三种表示方式,你能得出什么结论 与同伴交流.
悟出经验
根据以上三种表示方式,回答下列问题:
1.自变量x的取值范围是什么
2.图象的对称轴和顶点坐标分别是什么
3.如何描述y随x的变化而变化的情况
4.你是分别通过哪种表示方式回答一面三个问题的
议一议
10
驶向胜利的彼岸
∵x表示任意一个数,∴自变量x的取值范围是:全体实数.
由表达式的顶点式和图象,可知图象的对称轴是:直线x=1,顶点坐标是:(1,-1).
由表格和图象可知,y随x的变化而变化的情况是:当x<1时,y随x的增大而减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
议一议
11
驶向胜利的彼岸
知识在于积累
二次函数的三种表示方式各有什么特点 它们之间有什么联系 与同伴进行交流.
表示 优点 缺点
表达式
表格
图象
关系
变量间关系简捷明了,便于分析计算.
需要通过计算,才能得到所需结果.
能直接得到某些具体的对应值
不能反映函数整体的变化情况
直观表示了变量间变化过程和变化趋势.
函数值只能是近似值..
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.
解析法—用表达式表示函数 ,
列表法—用表格表示函数,
图象法—用图象表示函数.
二次函数的三种表示方式的特点,
它们之间的联系.
驶向胜利的彼岸
小结 拓展
回味无穷
函数的表示方式
结束寄语
观察,思考,感悟是能否进入数学大门,领略数学奥妙的关键.
下课了!(共21张PPT)
北师大版九年级下册第二章《二次函数》
有的放矢
学习目标
1、会用描点法画二次函数y=x2和y=-x2的图象；
2、根据函数y=x2和y=-x2图象，直观地了解它的性质.
数形结合,直观感受
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗
x
y=x2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2
x
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
有的放矢
<列表>
做一做
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
描点,连线
y=x2
y=x2
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
1
观察图象,回答问题串
(1)你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流.
议一议
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么 请你找出几对对称点,并与同伴交流.
(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？你是如何知道的？
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
当x<0 (在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.
当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大.
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.
在学中做—在做中学
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
做一做
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x
y=-x2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2
x
… -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
做一做
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
描点,连线
y=-x2
做一做
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
观察图象,回答问题串
（1)你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流.
（2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么
（3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
（4)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？你是如何知道的？
（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么 请你找出几对对称点,并与同伴交流.
y=-x2
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y= -x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
y
当x<0 (在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.
当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而减小.
y
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
当x=1时,y= -1
当x=2时,y= -4
抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
做一做
y=x2
y=-x2
x
y
0
y
x
0
它们之间有何关系？
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=x2
y= -x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
做一做
y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1时的特殊例子.a的符号确定着抛物线的……
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象
x
0
y
y=x2
y=-x2
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
二次函数y=ax2的性质
我思，我进步
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
例题欣赏
解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,
解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）因为 ,所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
知道就做别客气
例题欣赏
2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
回味无穷
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大
小结 拓展
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
由二次函数y=x2和y=-x2知：
结束寄语
只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.
下课了!(共11张PPT)
复习巩固：
1、二次函数可以用哪几种方法表示？
2、写出下列函数的顶点坐标，并说出它的最值情况：
（1）y=2x2-3x+5
（2）y=-2x2+4x+3
何时橙子总产量最大
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
做一做
(1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？
(2)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
（100+x）棵
这时平均每棵树结多少个橙子？
（600-5x）个
何时橙子总产量最大
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量
想一想
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
y=(100+x)(600-5x)=-5x +100x+60000.
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Y/个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
60495
60480
60455
60420
X/棵 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Y/个 60420 60455 60480 60495 60500 60495 60480 60455 60420
y/个
x/棵
0
1
3
2
4
5
6
7
8
9
10
12
14
13
11
60000
60100
60400
60200
60300
60500
60600
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2.利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
何时橙子总产量最大
1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
议一议
3.增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上
请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多
何时获得最大利润
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
想一想
设销售价为x元(x≤13.5元),所获总利润为y元，那么
何时获得最大利润
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
做一做
销售量可表示为 : 件;
销售额可表示为: 元;
所获总利润可表示为: y= 元;
化简得y=
当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元.
-200x2+3700x-8000=-200(x-9.25)2+9112.5
一件T恤衫的利润为： 元；
(x-2.5)
若你是商店经理,你需要多长时间定出这个销售单价
何时获得最大利润
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润
随堂练习
提示：设销售单价为x元（x≥30），销售总利润为y元
Y=（x-20）[400-20（x-30）]
=-20x2+1400x-20000
=-20（x-35）2+4500
课堂小结：
本节课你学到了哪些知识
再 见(共14张PPT)
2.2二次函数的图象与性质（第三课时）
知识回顾应用
1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1) y=2(x－3)2 －5
(2)y= －0.5(x+1)2
(3) y = 3(x+4)2+2
2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到。
函数y=ax +bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样的平移呢？
y=3x2-6x+5
y=3(x-1)2+2
只要将表达式右边进行配方就可以知道了。
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式
函数y=ax +bx+c的顶点式
这个结果通常称为求顶点坐标公式.
顶点坐标公式
因此,二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物线.
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x +0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
Y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴交流.
可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
Y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流.
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗
Y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
⑶你还有其它方法吗？与同伴交流.
直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．
Y/m
x/m
桥面 -5 0 5
10
由此可知钢缆的最低点
到桥面的距离是1m。
请你总结函数
函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和0.
3.联系: y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位,再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
小结 拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax 的关系
练习
确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.(共11张PPT)
北师大版九年级下册第二章《二次函数》
(1) 设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
M
40m
30m
A
B
C
D
┐
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
A
B
C
D
┐
M
N
40m
30m
xm
bm
(1)如果设矩形的一边AD=xcm,那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
40cm
30cm
bcm
xcm
A
B
C
D
┐
M
N
(1)设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大 最大值是多少
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
A
B
C
D
┐
M
N
P
40m
30m
xm
bm
H
G
┛
┛
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
x
x
y
1.理解问题;
“二次函数应用” 的思路
回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.运用数学知识求解;
5.检验结果的合理性, 给出问题的解答.
用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养
鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大 最大面积是多少
2m
ym2
xm
xm
正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR中,PQ=PR=5cm,
QR=8cm,点D、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两
点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向
左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形
重合部分面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值；
(2)当t=3s时，求S的值；
(3)当5s≤t≤8s时，求S
与t的函数关系式，并求
S的最大值。
M
A
B
C
D
P
Q
R
l
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决 最大面积问题，增强了应用数学知识的意识， 获得了利用数学方法解决实际问题的经验， 并进一步感受了数学建模思想和数学知识的 应用价值．
通过前面活动，这节课你学到了什么？(共9张PPT)
1 一元二次方程-5t2+40t=0的根为： 。
2 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。
当△﹥0方程根的情况是： ；当△=0时，方
程 ； 当△﹤0时，方程 。
b2-4ac
有两个不等实数根
有两个相等实数根
没有实数根
t1=0，t2=8
3 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条 ，它与x轴的交点有几种可能的情况？
抛物线
三种可能：①两个交点 ②一个交点 ③没有交点。
复习提问
(1).h和t的关系式是什么？
(2).小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流.
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
活动探究1
0
t
2
4
6
8
h
20
40
60
80
100
活动探究2
驶向胜利的彼岸
3 抛物线y=x2-4x+4与轴有 个交点，坐标是 。
1 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数
y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 。
2 抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）
A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明
（-2，0）和（3，0）
c
1
（2，0）
课堂练习
4 不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。
解：∵解方程x2-3x-4=0得：
x1=-1，x2=4
∴抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是：
(-1，0)和(4，0)
1
0
1
x
y
M
N
2
3
2
y=x2-4x+4
5 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。
课堂练习
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程 它们的关系如何
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m 你是如何知道的
知识升华
∴抛出去后第2秒和第6秒时，离地面60米
课堂寄语
二次函数与一元二次方程的关系，体现了“数形结合”这一重要的数学思想方法。也启示我们只要善于观察和思考，就能发现事物之间的各种联系，去探索科学的奥秘。
下课了!(共26张PPT)
函 数
函数知多少
变量之间的关系
一次函数y=kx+b (k≠0)
反比例函数
二次函数
正比例函数y=kx(k≠0)
温故知新
回顾与思考
二次函数素描述的关系
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受
的阳光就会减少.
根据经验估计,每多
种一棵树,平均每棵
树就会少结5个橙子.
想一想
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变
量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少
棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y
与x之间的关系式.
源于生活的数学
想一想
生活问题数学化
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量
你能根据表格中的数据作出猜想吗
y=(100+x)(600-5x)=-5x +100x+60000
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Y/个
想一想
在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
x …… 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ……
y …… ……
60420
60455
60480
60495
60500
60495
60480
60455
60420
y=-5x +100x+60000
想一想
行家看“门道”
60375
60455
60480
60495
60500
60495
60480
60455
60420
60375
60420
你发现了吗？
例题欣赏
数学真奇妙
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1) =100x +200x+100
想一想
亲历知识的发生和发展
二次函数
y=-5x +100x+60000
y=100x +200x+100
思索归纳
有何特点
y是x的函数吗？
y是x的一次函数？是反比例函数？
定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
二次函数
y=-5x +100x+60000
y=100x +200x+100
思索归纳
定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且
a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项
和常数项,但不能没有二次项.
1.下列函数中,哪些是二次函数？
怎么判断
(1）y=3(x-1) +1
(3) s=3-2t
(5)y=(x+3) -x
(6) v=10πr
随堂练习
在实践中感悟
（是）
（是）
（不是）
（是）
（不是）
（不是）
知道就做别客气
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
是二次函数关系式.
随堂练习
解：S=a( - a)=a(30-a)
=30a-a
= -a +30a .
2
60
如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
0
如果函数y= +kx+1是二次函数,
则k的值一定是______
0或3
小试牛刀
心动不如行动
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,
b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
的几种不同表示形式:
(1)y=ax --------- (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax +c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax +bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
回味无穷
小结 拓展
2.定义的实质是：ax +bx+c是整
式,自变量x的最高次数是二次
回味无穷
小结 拓展(共26张PPT)
北师大版九年级下册第二章《二次函数》
2.2二次函数的图象与性质（第二课时）
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形式吗
二次函数y=ax +bx+c的图象
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状 它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系
想一想
驶向胜利的彼岸
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数y=3(x-1)2的图象．
比较函数 与 的图象
想一想
驶向胜利的彼岸
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关系
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
27 12 3 0 3 12 27 48
27 12 3 0 3 12 27 48
48 27 12 3 0 3 12 27
做一做
驶向胜利的彼岸
观察图象,回答问题
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
顶点坐标
是点(1,0).
二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴
向右平移了1 个单位
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置
在对称轴(直线:x=1)左侧
(即x<1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而减少,.
顶点是最低点,函数
有最小值.当x=1时,
最小值是0..
二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的增减性类似.
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
在对称轴(直线:x=1)左侧
(即x>1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而增大,.
想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样
议一议
驶向胜利的彼岸
真知 从实践走来
1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象．
做一做
完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系
驶向胜利的彼岸
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
图象是轴对称图形.
对称轴是平行于
y轴的直线:x= -1.
顶点坐标
是点(-1,0).
二次函数y=3(x+1)2
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴
向左平移了1 个单位.
1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样
在对称轴(直线:x=-1)左侧
(即x<-1时),函数y=3(x+1)2
的值随x的增大而减少,.
顶点是最低点,函数
有最小值.当x=-1时,
最小值是0..
二次函数y=3(x+1)2
与y=3x2的增减性类似.
2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大 x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
在对称轴(直线:x=-1)右侧
(即x>-1时),函数y=3(x+1)2
的值随x的增大而增大,.
猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象的位置和形状.
请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
y
3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x<1时, y随着x的增大而增大;在对称轴(x=1)右侧,当x>1时, y随着x的增大而减小.当x=1时,函数y的值最大(是0);
抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(x=-1)的左侧,当x<-1时, y随着x的增大而增大;在对称轴(x=-1)右侧,当x>-1时, y随着x的增大而减小.当x=-1时,函数y的值最大(是0).
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.
X=-1
X=1
1.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线:x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线:x=-1.
1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h.
3.当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).
当a<0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).
二次函数y=a(x-h)2的性质
2.当a>0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;
当a<0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
X=h
X=h
4. 越大,开口越小,
越小,开口越大.
二次函数y=a(x-h)2
与y=ax2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=ax2整体沿x轴
平移了 个单位(当h>0时,向右移 个单位;当h<0时,向左移 个单位)得到的.
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
开口大小
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
（h，0）
直线x=h
直线x=h
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
越小,开口越大.
越大,开口越小.
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=3x ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
做一做
驶向胜利的彼岸
二次函数y=3x ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么 作图看一看．
在同一坐标系中作出函数y=3x ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
做一做
完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系
驶向胜利的彼岸
函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
27 12 3 0 3 12 27
29 14 5 2 5 14 29
对称轴仍是平行于y轴的直
线(x=1);增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,2).
二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x ,y=3(x-1)2有什么关系 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么
开口向上,当
X=1时有最小
值:且最小值=2.
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,-2).
二次函数y=3(x-1)2-2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
下平移2个单位后得到的.
二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
开口向上,
当x=1时y有
最小值:且
最小值= -2.
想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么 再作图看一看．
X=1
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x 和y=-3(x-1)2的图象
议一义
驶向胜利的彼岸
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系 它们是轴对称图形吗 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y= -3x2类似.
顶点分别是
(1,2)和(1,-2).
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2+2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x ,y=-3(x-1)2有什么关系 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么
开口向下,
当x=1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值=-2).
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x ,y=-3(x+1)2
y
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y= -3x2类似.
顶点分别是
(-1,2)和(-1,-2)..
二次函数y=-3(x+1)2+2与
y=-3(x+1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
单位,再沿直线x=-1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x ,y=-3(x-1)2有什么关系 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么
开口向下,
当x=-1时y有
最大值:且
最大值= 2
(或最大值=-2).
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
X=1
二次函数y=a(x-h) +k与=ax 的关系
一般地,由y=ax 的图象便可得到二次函数y=a(x-h) +k的图象:y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h) +k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（-h，k）
（-h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
悟出真谛,练出本事
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系
对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小 二次函数y=3(x+1)2+4呢
随堂练习
驶向胜利的彼岸
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= -h和y轴.
(2)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h) +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
驶向胜利的彼岸
小结 拓展
回味无穷
二次函数y=a(x-h) +k与=ax 的关系
独立
作业
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
2.填写下表:
y=a(x-h) +k 开口方向 对称轴 顶点坐标
a>0
a<0
