辽宁省沈阳市四校协作体2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题

高 一 数 学 试 题
时间：120分钟 分值：150分
一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合，，则 ( )
A. B. C. D.
2.在给定的映射：的条件下，象3的原象是 （ ）
A.8 B.2或-2 C.4 D.-4
3.函数的值域是 （ ）
A. B. C. D.
4.若函数的定义域是，则函数的定义域是 （ ）
A B. C. D.
5.设，则在下列区间中使函数有零点的区间是 （ ）
A. B. C. D.
6.已知，则 （ ）
A. B. C. D.
7.若函数的定义域为，则实数的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
8.若函数与函数在区间上都是减函数，则实数的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
9.下面有四个结论：①偶函数的图像一定与轴相交。②奇函数的图像不一定过原点。③偶函数若在上是减函数，则在上一定是增函数。④有且只有一个函数既是奇函数又是偶函数。其中正确结论的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知定义域为的偶函数在上是减函数，且，则不等式
（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数是奇函数，则的值为 （ ）
A.2013 B.2012 C.2011 D.2010
12.已知函数是上的增函数，那么实数的范围（ ）
A. B. C. D.
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13.设是定义在上的奇函数，当时，则_________.
14.函数的单调递增区间为_______________.
15.二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为，则
16.设方程的根为，方程的根为，则
三．解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）
已知全集,、、，
求: ; ;
18.（本小题12分）
已知函数是定义在上的偶函数，当时，
（1）求函数的解析式，并画出函数的 图像。
（2）根据图像写出的单调区间和值域。
19.（本小题12分）
已知函数，其中。
求函数的最大值和最小值；
若实数满足：恒成立，求的取值范围。
20.（本小题12分）已知函数是幂函数且在上为减函数，函数在区间上的最大值为2，试求实数的值。
21.（本小题满分12分）
有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是（万元）和（万元），它们与投入资金（万元）的关系有经验公式：。今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品
的资金投入分别应为多少？能获得最大利润是多少？
22.（本小题12分）
已知奇函数对任意，总有，且当时，.
（1）求证：是上的减函数.
（2）求在上的最大值和最小值.
（3）若，求实数的取值范围。
高 一 数 学 试 题（答案）
选择题：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
B
A
D
A
C
D
C
A
A
D
二．填空题：
13.-4 14. 15. -6 , 6 16. 4
三．解答题
17.解：由于，可得，
，———————————4’
所以，，
——————————————————10’
18.解：（1）由，当，
又函数为偶函数， —————————————3’
故函数的解析式为 —————————————4’
函数图像略。 ——————————————7’
（2）由函数的图像可知，函数的单调递增区间为
单调递减区间为，函数的值域为——————12’
19. 解：（1）∵
∴ —————————————2’
令，∵，∴。
令（）—————————————4’
当时，是减函数；当时，是增函数。
∴———————————————8’
（2）∵恒成立，即恒成立。∴恒成立。
由（1）知，∴。
故的取值范围为 ————————————————12’
20.解：因为函数是幂函数且在上为减函数，所以有
，解得，
——————————5’
①当是的单调递减区间， ————————7’
②当，
解得 ——————————9’
③
，解得———————— 11’
综合①②③可知 ———————— 12’
21解：设对乙种商品投资万元，则对甲种商品投资万元，总利润为万元， —————————— 1’
根据题意得（ —————————— 6’
令，则，。
所以（）————————— 9’
当时，，此时 ————————— 11’
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品投资分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元。 —————————12’
22.解：（1）证明：令令———2’
在上任意取
——————4’
，
，有定义可知函数在上为单调递减函数。——6’
（2）

由可得
故上最大值为2，最小值为-2. ——————10’
（3），由（1）、（2）可得
，故实数的取值范围为.——————12’