广东省深圳市宝安区潜龙中学2021-2022学年九年级下学期第一次质检数学试卷(word解析版)

2021-2022学年广东省深圳市宝安区潜龙中学九年级（下）第一次质检数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
为顺利完成第七次人口普查，切实保证数据质量，有条不紊地推进普查各项工作，陇西县统计局打算采购普查手持移动终端设备，预算金额为元．将数据用科学记数法表示为
A. B. C. D.
已知，下列变形错误的是
A. B. C. D.
二次函数的图象的顶点坐标是
A. B. C. D.
在中，，，，则的值是
A. B. C. D.
如图，将菱形纸片折叠，使点恰好落在菱形的对称中心处，折痕为，若菱形的边长为，，则的长为
A. B. C. D.
如图，在中，，，则的度数是
A. B. C. D.
在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象大致是
A. B.
C. D.
若点、都是反比例函数图象上的点，则的值是
A. B. C. D.
九个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这九个正方形分成面积相等的两部分，则的正切值为
A. B. C. D.
二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，系列结论：
；；；若点，点，点在该函数图象上，则；
其中正确的结论有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
把多项式分解因式的结果是______．
已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为______．
如图，和是直立在地面上的两根立柱，，在阳光下的影长，在同一时刻阳光下的影长，则的长为______米．
如图，过轴上任意点作轴的平行线，分别与反比例函数，的图象交于点和点，若为轴任意一点．连接、，则的面积为______．
如图，在矩形中，，，点为线段上的动点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，下列结论正确的是______写出所有正确结论的序号．
当为线段中点时，；当为线段中点时，；
当、、三点共线时，；当、、三点共线时，≌．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
计算：．
先化简，再求值：，其中．
已知二次函数图象的顶点为，还过，求该抛物线的解析式．
如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作交于点，交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，且，求线段的长．
某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同，若购买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元．
求购买一个足球、一个篮球各需多少元．
学校买来若干球分给九年级，若每个班分个球，则多余个球；若每班分个球，则最后一个班分不到个，该校九年级共有多少个班，学校买来多少个球？
在的基础上，学校购买的篮球数量不得低于足球数量的倍且希望尽可能节约购买经费，请你提供最合适的购买方案．
如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
求证：矩形是正方形；
探究：与有怎样的位置关系？请说明理由．
的值为______．
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点．
求抛物线的表达式；
点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，当时，求点的坐标；
点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，设直线与矩形的两边分别交于点、，直线运动的时间为秒．
点坐标是______，点坐标是______；当______秒或______秒时，；
为线段上的点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，______；
设的面积为，与的函数关系式：______；函数的最大值为：______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：将数据用科学记数法表示为，
故选：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．
本题主要考查了科学记数法，科学记数法中的要求和的指数的表示规律为关键，由于的指数比原来的整数位数少；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出的指数．
2.【答案】
【解析】解：由得，，
A、由等式性质可得：，正确；
B、由等式性质可得，错误；
C、由等式性质可得：，正确；
D、由等式性质可得：，正确；
故选：．
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
3.【答案】
【解析】解：二次函数为顶点坐标是，
二次函数的图象的顶点坐标是．
故选：．
由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标．
此题考查了二次函数的性质，二次函数为顶点坐标是．
4.【答案】
【解析】解：在中，，，，
．
故选：．
根据三角函数的定义解答即可．
本题考查了在三角形中角的正弦值等于对边比斜边的概念．
5.【答案】
【解析】解：如图所示：连接、．
四边形是菱形，
，平分，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
沿折叠与重合，
，平分，
，
，
为的中位线，
，
故选C．
根据菱形的性质得出，平分，求出，求出，、，根据折叠得出，平分，推出，推出为的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．
本题考查了折叠性质，菱形性质，含度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
6.【答案】
【解析】解：连接，如图：
由，得
，．
．
．
，
在中，，
，
故选：．
根据垂径定理，可得，，根据圆周角定理，可得，根据直角三角形的性质，可得答案．
本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出，是解题关键，又利用了圆周角定理．
7.【答案】
【解析】解：、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于轴的右侧，则、异号，即所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线开口方向向上，则，对称轴位于轴的左侧，则、同号，即所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧，则、异号，即所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧，则、异号，即所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选：．
直接利用二次函数图象经过的象限得出，的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
此题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．
8.【答案】
【解析】解：点是反比例函数图象上的点，
，
反比例函数解析式：，
点是反比例函数的图象上的点，
，
故选：．
用待定系数法确定反比例函数的比例系数，求出函数解析式，再把点代入可求的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，直线与小正方形的边交于点，
经过原点的一条直线将这九个正方形分成面积相等的两部分，
直线与轴之间的面积为．
．
正方形的边长为，
．
三角形面积是，
．
．
的正切值．
故选：．
设直线和小正方形边的交点为，取在轴上小正方形的顶点为，易知，利用已知条件可得到夹在直线与轴间的的部分为九个正方形面积之和的一半，可求的面积两个小正方形的面积，利用三角形的面积公式可求线段的值，从而的正切值可求．
此题考查了面积相等问题以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是利用已知和三角形的面积公式求得线段的长．
10.【答案】
【解析】解：由对称轴为直线，得到，即，
，正确；
当时，，即，错误；
当时，，
，
，
，
，
抛物线的开口向下
，
，
；正确；
图象过点，对称轴为直线，
点，点，点，
由图象知抛物线的开口向下，对称轴为，
离对称轴水平距离越远，函数值越小，
，故错误；
故选：．
根据对称轴可判断；根据当时可判断；由图象过点知，即，从而得，再结合开口方向可判断；根据二次函数的增减性可判断．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交点个数是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：；
故答案为：．
用完全平方公式分解因式．
本题考查了公式法分解因式，熟练掌握用完全平方公式分解因式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：一个菱形的两条对角线长分别为和，
这个菱形的面积
故答案为：．
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．
本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解答此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：在阳光下的投影是如图所示；
∽，，，，
，
，
．
故答案是：．
根据平行投影的性质可先连接，再过点作交地面与点，即为所求；根据平行的性质可知∽，利用相似三角形对应边成比例即可求出的长．
本题通过投影的知识结合图形相似的性质巧妙地求出点离地面的距离，是平行投影性质在实际生活中的应用．
14.【答案】
【解析】解：设点坐标为
则点坐标为，点坐标为
．
故答案为：．
设出点坐标，分别表示点、坐标，表示面积．
本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
根据翻折变换，勾股定理，相似三角形等性质逐个分析即可．
【解答】
解：如图中，当时，
，
，
，，
，
，故正确；
作，则，
在中，，
，，
∽，
，
，
，
，故正确；
如图中，当、、共线时，设．
则，，
在中，，
，
，
，故正确；
如果，≌，则，显然不符合题意，故错误，
故答案为．
16.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而利用实数的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
17.【答案】解：
．
当时，原式；
设抛物线为，
代入得，
解得，
这个函数的解析式为：．
【解析】分式化简后，代入求值；
设抛物线为，代入求得的值，即可求得抛物线的解析式．
主要考查了分式化简求值，用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：在中，，
设，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，，
，
线段的长为．
【解析】连接，根据等腰三角形的性质可证，从而可得，即可解答；
在中，根据题意设，，从而求出，再在中，求出，然后根据，进行计算求出，，最后在中利用勾股定理求出，即可解答．
本题考查了解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19.【答案】解：设购买一个足球需要元，一个篮球需要元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一个足球需要元，一个篮球需要元．
设该校九年级共有个班，则学校买来个球，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
，
．
答：该校九年级共有个班，学校买来个球．
设买了个篮球，则买了个足球，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
的最小值为．
设购买经费为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值．
答：最合适的购买方案为：购买个篮球，个足球．
【解析】设购买一个足球需要元，一个篮球需要元，根据“购买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该校九年级共有个班，则学校买来个球，根据“若每班分个球，则最后一个班分不到个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论；
设买了个篮球，则买了个足球，根据学校购买的篮球数量不得低于足球数量的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设购买经费为元，根据总价单价数量，即可得出关于函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；利用一次函数的性质，解决最值问题．
20.【答案】
【解析】解：如图，作于，于，
，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
，理由如下：
正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
；
由知，≌，
，
，
故答案为：．
作于，于，得到，然后证得，得到≌，则有，根据正方形的判定即可证得矩形是正方形；
根据正方形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据垂直的定义即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得的结论．
此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，正方形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得≌．
21.【答案】解：抛物线过点和点，
，解得，
抛物线解析式为：；
当时，，
，
直线解析式为：，
，
，
过点作轴，交轴于点，交于点，
设，
，
，
，
即，
，，
，；
，，，
为等腰直角三角形，
抛物线的对称轴为，
点的横坐标为，
又点在直线上，
点的纵坐标为，
，
设，
当，，
当时，则，
解得或舍去，
此时点的坐标为，
当，当时，
则，解得：或舍去，
此时点的坐标为；
当，时，
连接，故当为关于对称轴的对称点时，，
此时四边形为正方形，
，
，，，
，
，
解得：，舍去，
此时点的坐标为；
故在射线上存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为：，或．
【解析】直接将和点代入，解出，的值即可得出答案；
先求出点的坐标及直线的解析式，再根据图及题意得出三角形的面积；过点作轴，交轴于点，交于点，设，根据三角形的面积列关于的方程，解出的值，即可得出点的坐标；
由题意得出三角形为等腰直角三角形，然后分，，三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．
本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．
22.【答案】 或
【解析】解：点的坐标为，
点的坐标是，点的坐标是，
当是的中位线时，，
是的中点，
，
，
当是的中位线时，，
如图，
，
，
又，
∽，
，
，
的坐标是，即平移了个单位长度，
，
故答案是：或或或；
当点在线段上时，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
，
，
∽，
，
，
以、、、为顶点的四边形为菱形，
，
，
，
当点在线段上时，如图，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
以、、、为顶点的四边形为菱形，
，
，
，
故答案为：或；
当时，，则，
则，
，
即当时，如图．
设直线的解析式是，根据题意得，
解得：，
则直线的解析式是．
设的解析式是，的坐标是，代入解析式得：，
则直线的解析式是
令，解得，即的坐标是．
令，解得：，则的坐标是．
则，
，
．
．
则，
即，
，
当时，
抛物线的开口向上，在对称轴的右边，随的增大而增大，
当时，可取到最大值；
当时，
抛物线的开口向下，它的顶点是，
，
综上，当时，有最大值．
故答案为：，．
分两种情况讨论，由三角形的中位线的性质可求解；
分两种情况讨论，由相似三角形的性质分别求出，的长，由菱形的性质，列出等式可求解；
求得的函数解析式，的坐标是，则直线的解析式即可求得，则和的坐标即可求得，然后根据即可求得．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．