广东省深圳市龙华区高峰学校2021-2022学年九年级（下）第一次测试数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年广东省深圳市龙华区高峰学校九年级（下）第一次测试数学试卷
副标题
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
若函数是关于的二次函数，且抛物线的开口向上，则的值为
A. B. C. D.
下列二次函数与轴没有交点的是
A. B.
C. D.
下列有关圆的一些结论：与半径长相等的弦所对的圆周角是或；圆是轴对称图形，对称轴是直径；垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是
A. B. C. D.
二次函数，自变量与函数的对应值如表：
下列说法正确的是
A. 抛物线的开口向下
B. 当时，随的增大而增大
C. 二次函数的最小值是
D. 抛物线的对称轴是直线
在一平面直角坐标系内，一次函数与次函数的象是
A. B.
C. D.
已知函数的图象与函数的图象如图所示，则下列结论：；；；方程有两个不相等的实数根．其中正确的有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
二次函数的对称轴是______．
将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线的函数表达式是______．
如图，是的直径，，是上的两点，若，则______
如图，在圆中，弦、所对的圆心角分别是、，若和互补，且，，则圆的半径是______．
如图，的半径为，是弦，于点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，则的长为______．
三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）
如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米．
求圆弧所在的圆的半径的长；
当洪水泛滥到跨度只有米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有米，即米时，是否要采取紧急措施？
某商店只销售某种商品，其标价为元，现在打折销售仍然获利，为扩大销量，商场决定在打折的基础上再降价，规定顾客在已买一件商品之后每再多买件，顾客购买的所有商品的单价再少元，设顾客购买商品件数为件，公司获得利润为元．
求该商品的进价是多少元？
求与的函数关系式；
当为何值时商店销售利润最大，并求出最大利润．
如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，且．
求的值；
若点位于第二象限且在抛物线上，过点作轴，交直线于当点运动到使线段最长时，求点坐标；
当时，的最大值是，则的值为______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的定义，二次函数的图象，熟知形如、、是常数，的函数，叫做二次函数；当时，二次函数的图象开口向上是解答此题的关键．
根据题意列出关于的不等式组，求出的值即可．
【解答】
解：函数是关于的二次函数，且抛物线的开口向上，
解得．
故选A．
2.【答案】
【解析】解：、，此抛物线与轴有个交点，所以选项不符合题意；
B、，此抛物线与轴没有交点，所以选项符合题意；
C、，此抛物线与轴有个交点，所以选项不符合题意；
D、，此抛物线与轴有个交点，所以选项不符合题意．
故选：．
分别计算四个选项中的判别式的值，然后根据判别式的意义确定抛物线与轴的交点个数，从而可对各选项进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．决定抛物线与轴的交点个数时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
3.【答案】
【解析】解：与半径长相等的弦所对的圆周角是或，故正确，符合题意；
圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线，故错误，不符合题意；
垂直于弦的直径平分这条弦，故正确，符合题意；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；
故选：．
利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了圆周角定理、垂径定理等知识，解题的关键是了解圆的有关性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大．
4.【答案】
【解析】解：将点、、代入到二次函数中，
得：，解得：，
二次函数的解析式为．
A、，抛物线开口向上，不正确；
B、，当时，随的增大而增大，不正确；
C、，二次函数的最小值是，不正确；
D、，抛物线的对称轴是直线，D正确．
故选：．
选出点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
5.【答案】
【解析】解：由抛物线可知，得，直线可，，，选项错误；
由抛物线可，，由直线可，，，且交轴同点，故本选项正确；
由抛物线知，，由直线可知，，，故选项误；
故C．
本题可先由一数图得字母系数的正负，再与次函数的相比较看是否一致．
本题考查抛物线和直线的性质，假法来搞这数结合题是一好的方法．
6.【答案】
【解析】解：抛物线开口朝上，
，
对称轴在轴的右侧，
，
，故错误；
抛物线与轴的交点在直线的上方，
，故正确；
当时，，即；故正确；
函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，
有两个不相等的实数根，故正确．
故选B．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据直线与抛物线的交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查二次函数和一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与系数的关系及函数性质是解题的关键．
7.【答案】直线
【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
故答案为：直线．
将二次函数解析式化为一般式，由对称轴为直线求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
8.【答案】
【解析】解：，
由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位所得直线的解析式为：；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移个单位所得抛物线的解析式为：．
故答案为：．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：是的直径，
，
，
，
由圆周角定理得，，
故答案为：．
根据直径所对的圆周角是直角得到，求出，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：延长，交于，连接，
是的直径，
，
和互补，，
，
，
，
由勾股定理得：，
的半径是，
故答案为：．
延长，交于，连接，根据圆周角定理求出，求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系求出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了圆周角定理．圆心角、弧、弦之间的关系，余角和补角，勾股定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：的半径为，将劣弧沿弦折叠交于的中点，
，，
，过圆心，
，，即，
连接，
由勾股定理得：，
即，
，
故答案为：．
根据翻折变换求出，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，翻折变换，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出是解此题的关键．
12.【答案】解：连结，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得，；
连结，
，
在中，由勾股定理得：，即：，
解得：．
．
，
不需要采取紧急措施．
【解析】连结，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可；
连结，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论．
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
13.【答案】解：设商品的进价为元，根据题意可得
，
解得．
答：该商品的进价是元；
根据题意可得，，
与的函数关系式为；
由知，，
，即，
当时，有最大值，最大值为，
答：当时商店销售利润最大，最大利润为元．
【解析】根据某公司销售某种商品，其标价为元，现在打折销售仍然获利，可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
根据题意可以得到与的函数关系式；
将与的函数关系式化为顶点式，即可求得最大值．
本题考查二次函数的应用、二次函数的最值，解题的关键能根据题意找出等量关系列出相应的二次函数，把二次函数可以转化为顶点式，然后找出所求问题需要的条件．
14.【答案】或
【解析】解：与轴交于，
，
，
，
将点的坐标代入，
；
由知，，，
，
设的解析式为，
，
，
，
设，
轴，
，
，
时，最长为，
此时；
，
当时，函数有最大值，
当时，函数的最大值为，
或，
；
当时，函数的最大值为，不符合题意；
当时，即，
函数的最大值为，
或，
；
综上所述：或，
故答案为：或．
求出点坐标，再将点坐标代入，即可求的值；
求出直线的解析式，设，则，得到，时，最长，求出点坐标即可；
分三种情况讨论：当时，函数的最大值为，求出；当时，函数的最大值为，不符合题意；当时，即，函数的最大值为，求出；即可求解．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键．
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