解三角形专题练(9)：周长最值与范围问题（Word含答案解析）

解三角形专题练(3):周长最值或范围问题
求周长的最值或取值范围的问题，通常有两种途径，其一是运用余弦定理结合基本不等式求解，其二是运用正弦定理、辅助角公式结合三角函数求解.
一、知识点
基本不等式：；
正弦定理：，余弦定理：等；
和差公式：；
二倍角公式：，，.
辅助角公式：（其中）.
二、典型例题
【例1】: △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足a=2，．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC周长的范围．
【解析】:（1）解法一：由已知，得．
由正弦定理，得．即，
因为．所以．
因为，所以，
因为，所以．
解法二：结合余弦定理，即．
所以．
因为，所以．
（2）解法一：由余弦定理，得,即．
因为,
所以．即（当且仅当时等号成立）．
又因为，所以．
解法二：，且，，
所以，，
所以,
因为，所以,
【例2】: 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,.
(1)求A的大小；
(2)若a＝7,求△ABC的周长的取值范围．
【解析】:(1)由已知及正弦定理得：,
即,
化简得，所以，
所以，解得；
(2)由已知：,,,
由余弦定理，
当且仅当b＝c＝7时等号成立,所以,
又因为b＋c＞a,所以7＜b＋c≤14,
从而△ABC的周长的取值范围是(14,21]．
三、巩固练习
1.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=2,求△ABC周长的取值范围．
2．已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．
3．锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC周长的取值范围．
4．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，b=4，．
（1）求角B；
（2）求△ABC周长的最大值．
5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且.
(1)求△ABC的周长的取值范围；
(2)求的取值范围.
6．如图，在四边形ABCD中，，，．
（1）求；
（2）若，求△ABD周长的最大值．
7.(2020·理2)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
8．已知a，b，c分别为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝2，且，
求△ABC的周长的取值范围．
9．在△ABC中，，，分别是角，，的对边，已知向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，请在①；②中选择一个作为已知条件，解答下列问题. 我选择__________.
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC周长的取值范围．
11．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为,且满足.
（1） 求角A的大小；
（2）若,求△ABC周长的最大值.
12．已知在△ABC中，．
（1）求角C的大小；
（2）若与的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．
13.(2021 上海浦东新区三模)已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，a＝2，求△ABC周长的取值范围．
答案与解析
1.【解析】:（1）由正弦定理，
由,
整理得,即,所以,
因为,所以;
由正弦定理得，
所以
，
因为，所以,
，即，
所以周长.
2.【解析】:（1）由，得，
代入已知条件得：，
因为，由此得，
因为，所以．
（2）由上可知：，所以．
由正弦定理得：，
所以，
因为由得：，
所以，且，
故△ABC周长的取值范围为，．
3.【解析】:（1）因为锐角△ABC中，
所以由正弦定理可得，所以，
所以，
所以，即，
约掉变形可得，；
（2）因为，，所以，
所以由正弦定理可得，，
所以△ABC周长为
，
因为，
所以，
所以△ABC周长的取值范围为，.
4.【解析】:（1）由正弦定理知，，
因为，所以，整理得，
由余弦定理知，，
因为，所以．
（2）由（1）知，，所以，
由正弦定理知，，所以，，
所以
，
因为，所以，
当，即时，取得最大值8，所以，
故△ABC周长的最大值为12．
5.【解析】:（1）由正弦定理得，,
易得：，所以
由, 得，则有：
又，则
（2）
由，得，则,
所以
又，则
6.【解析】:（1）在中，，所以，
由正弦定理得，所以，
又因为为钝角，所以为锐角，
故；
（2）在中，由余弦定理得，
解得或（舍去），
在△ABD中，，设，，
由余弦定理得，
又，，
利用基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为8，所以的最大值为，
所以△ABD周长的最大值为12．
7.【解析】：（1）由正弦定理可得：，所以，
因为，所以.
（2）由余弦定理得：，
即.
因为（当且仅当时取等号），
所以，
解得：（当且仅当时取等号），
所以△ABC周长，所以△ABC周长的最大值为.
8.【解析】:因为a＝2，且，所以由正弦定理可得b2＝a2+ac，
由余弦定理可得，
同理可得：，即，消去c，可得，
由正弦定理可得，即，可得B＝2A，
由正弦定理，可得，可得，
因为△ABC为锐角三角形，且，
所以．
又因为a＝2，即b2＝4+2c，
所以△ABC的周长为，
由二次函数性质可得，△ABC的周长的取值范围为：（）．
9.【解析】:（1）由得，
由正弦定理，得，
即，
因为在三角形中，则，
又，故；
（2）解法一：在△ABC中，因为，，
由余弦定理得，即，当且仅当时取等号，
解得，
又由三角形性质得，故，则，
即的周长的取值范围为.
解法二：由正弦定理知：，则，
因为，则，故
因此.
10.【解析】:（1）若选①，已知．则：，
整理得：，解得：，
又，所以．
若选②，因为．所以，
所以，所以，
所以，
又，所以.
（2）解法一：因为，，
所以由余弦定理知，，
当且仅当时，等号成立，所以，
又因为，所以.
解法二：因为，所以，，
则△ABC的周长
，
因为，，
所以，即，
所以△ABC周长的取值范围是，．
11.【解析】:（1）依正弦定理可将化为
又因为在△ABC中,,所以,即,因为，所以.
因为△ABC的周长,
所以当最大时,△ABC的周长最大．
解法一：因为，所以，
所以，所以，所以 （当且仅当时等号成立）
所以△ABC周长的最大值12.
解法二:因为,
所以,
故当且仅当时, 取到最大值8
所以△ABC周长的最大值12
12.【解析】:（1）因为，且，
所以，即．
因为，即．
（2）因为△ABC的外接圆半径为2，
所以由正弦定理知，，所以，
因为，所以，
因为与的内角平分线交于点Ⅰ，所以，所以，
设，则，且，
在△ABI中，由正弦定理得，，
所以，，
所以△ABI的周长为
，
因为，所以，
所以当，即时，△ABI的周长取得最大值为，
故△ABI的周长的最大值为．
13.【解析】:（1）根据函数的图象，函数的周期,故ω＝2．
由于点满足函数的图象，所以，
由于，所以．
由于点（0，1）在函数的图象上，所以A＝2．
故函数．
（2）由于，所以．
由正弦定理：，整理得,
同理，由于，
所以，
由于．
所以：l△ABC∈（4，6]．