2022届高三专题复习：构造辅助函数求解导数问题(PDF版含答案解析)

构造辅助函数求解导数问题专题讲座
1.“作差（商）法”构造函数
当试题中给出简单的基本初等函数，例如f(x)=×,g(x)=n×,要证明在某个取值范围内不等式f(x)≥g()
成立时，可以构造函数h(x)=f(x)-g(x)或p(x)=g(x)-fx),证明h(x)mm≥0或p(x)mm≤0即可，在求最值的过程中，
可以利用导数.此外，在能够说明g>0(f>0)的前提下，也可以构造函数hW)-偶(()=》)，证明
h(X)mim≥1(0典例1已知函数f(x)=e-axa为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=fx)在点A处的切线斜率为-1.
(1)求ā的值及函数fx)的极值：
(2)证明：当x>0时x2(3)证明：对任意给定的正数c,总存在Xa,使得当x∈(X,+0)时恒有X解析(1)由fx)=e-ax得f'(x)=e-a,则f'(0)=1-a=-1,得a=2.
所以fx)=e-2x,f'(x)=e-2,令f'(x)=0.得x=ln2
所以，当xln2时，f'(x)>0,fx)单调递增
故当x=ln2时，fx)有极小值且极小值为fn2)=e"2-2In2=2-ln4,fx)无极大值
(2)证明：令gx)=e-×,则g'x)=e-2x,由(1)得g'x)≥f0n2)>0,
所以g(x)为增函数，因此，当×>0时.g(x)>g(0)=1>0,即×(3)证明首先证明当×∈(0，+0)时，恒有x证明如下：令h(x刈x2-ex∈(0，+m》则h'x)=x2-e,由(2)知，当x>0时，x从而h'x)<0,h(x)在(0，+o)上单调递减所以h(x)取x0=当x>x%时有x点拨在本例第(2)问中，发现“×，e”具有基本初等函数的基因，故选择对要证明的“×gx)=e-×第(3)问中，必须结合第(2)问的结论证明“X对点练
函数fx)=lnx+X2+axa∈R),g(x刈=e+X2,若对于任意的x∈(0，+o),总有fx)≤gx)成立.求实数a的取值范
围
解析f似≤gX→e-nx+x>ax,因为X>0,所以a≤+n对于任意的x>0恒成立.