湖南师大附中12-13学年高一上期期末考试数学

湖南师大附中高一年级数学必修2模块结业考试
试 题 卷
时量：120分钟
满 分：100 分（必考试卷Ⅰ） 50分（必考试卷Ⅱ）
命题人：高一备课组
必考试卷Ⅰ
一、选择题:本大题共7个小题,每小题5分,满分35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（ ）
A．正三角形的直观图仍然是正三角形.
B．平行四边形的直观图一定是平行四边形.
C．正方形的直观图是正方形.
D．圆的直观图是圆
答案：Ｂ.
2．已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为（ ）
A．.?????????????????????????????????????????????????B．
C． D．
答案：Ａ
3．已知直线 若，则的值为（ ）
A．.?????????????????????????????????????????????????B．
C． D．
答案：Ｃ
4．已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积等于（ ）
( )
A. B.
C. D.
答案：Ｄ
5．已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线的方程为（ ）
A．??????????????????????????????????????B．
C． D．
答案：Ｂ
6．若a、b表示两条不同直线，α、β表示两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
7．已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：Ａ
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
8. 若球的表面积为，则该球的体积等于 。
答案：
9．如图，直四棱柱的底面是边长为１的正方形，侧棱长，则异面直线与的夹角大小等于___________.
答案：
10. 与圆关于轴对称的圆的方程为______________.
答案：
11. 已知点到平面的距离分别为和，当线段ＡＢ与平面相交时，线段的中点到平面的距离等于_________________．
答案：1
12. 无论为何值，直线恒过一定点，则点的坐标为_________.
答案：(3,1)
13. 直线与以A(3,2)、B(2,3)为端点的线段有公共点，则k的取值范围是_________.
答案：
三、解答题:本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
14．（本小题满分11分）
如图示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆.试求这个几何体的侧面积与体积.
解析：根据几何体的三视图知，
原几何体是以半径为1的圆为底面且体高为的圆锥.………………3分
由于该圆锥的母线长为2，
则它的侧面积，……………7分
体积.……………11分
15．（本小题满分12分）
已知直线：，：.
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求直线与之间的距离.
解析：（1）由知，…………4分
解得；……………6分
（2）当时，有，…………8分
解得，…………9分
此时，的方程为：，
的方程为：即，
则它们之间的距离为.…………12分
16．（本小题满分12分）
如图示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC中点，且.
（1）求证：；
（2）求直线BD与面AＣＤ所成角的大小.
解析：（1）证明：∵BD是底面圆直径，
∴，……２分
又面，面，
∴，……４分
从而，面；…………5分
（2）连接ＤＥ，由（１）知，
又E是AC中点，，
则，所以，面.………７分
于是，直线BD与面AＣＤ所成角为，………９分
而面，则，即为直角三角形.
又，则
而，所以。…………12分
必考试卷Ⅱ
一、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
答案：Ｂ
二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
2、若圆柱的侧面展开图是边长为４的正方形，则它的体积等于　　　　　　　.
答案：
三、解答题:本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
3、（本小题满分13分）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，是的中点，是中点.
（1）求证：∥面；
（2）求直线EF与直线所成角的正切值；
（3）设二面角的平面角为，求的值.
解析：（1）证明：取AC中点G，连EG、FG，
∵，∴面面
而面，则∥面，
即∥面；…………4分
（2）.∵，所以直线EF与直线所成角为，…………6分
又是直角三角形，且，
则；…………8分
（3）取H为中点，连接、，
∵是中点，G是AC中点，∴，
又，则，于是，
而面，则，从而面，故，
则是二面角的平面角，所以，，…………11分
又是直角三角形，且，，，
则。…………13分
4、（本小题满分13分）
已知⊙C经过点、两点，且圆心C在直线上.
（1）求⊙C的方程；
（2）若直线与⊙C总有公共点，求实数的取值范围.
解析：（1）解法1：设圆的方程为，
则，…………5分
所以⊙C方程为.………6分
解法2：由于AB的中点为，，
则线段AB的垂直平分线方程为，
而圆心C必为直线与直线的交点，
由解得，即圆心，又半径为，
故⊙C的方程为.
（2）解法1：因为直线与⊙C总有公共点，
则圆心到直线的距离不超过圆的半径，即，………11分
将其变形得，
解得.………………13分
解法2：由，
因为直线与⊙C总有公共点，则，
解得.
注：如有学生按这里提供的解法2答题，请酌情记分。
5、(本小题满分14分）
如图所示，在一个特定时段内，以点E为中心的10海里以内海域被设为警戒水域.点E正北40海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距100海里的位置B，经过2小时又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距20海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解析：（1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位为10海里
则坐标平面中AB = 10，AC = 2 A(0,0)，E(0, －4)
再由方位角可求得：B(5,5)，C(3,)
………………4分
所以|BC| = = 2
……………6分
所以BC两地的距离为20海里
所以该船行驶的速度为10海里/小时
………………7分
（2）直线BC的斜率为 = 2
所以直线BC的方程为：y－ = 2(x－3)
即2x－y－5 =0………10分
所以E点到直线BC的距离为 =  < 1………12分
所以直线BC会与以E为圆心，以一个单位长为半径的圆相交，
所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。……………14分
答：该船行驶的速度为10海里/小时，若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。