解三角形专题练(3)：中线问题(Word含答案解析）

解三角形专题练（2）:中线问题
知识点
基本不等式：；
正弦定理：，余弦定理：等；
和差公式：；
二倍角公式：，，.
三角形面积公式:.
6. 三角形中线长定理：如图，设AD为△ABC一条中线，则
例题讲解
【例1】已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，c＝2，D为BC
的中点．
（Ⅰ）求cos∠BAC的值；
（Ⅱ）求AD的值．
【解答】：（I）法1：由正弦定理得，
又因为在△ABC中，b＞c，所以C＜B，所以，
所以，所以
,
法2：在△ABC中，由余弦定理得
所以，解得a＝3（a＝﹣1舍去），
所以.
（II）法1：因为,
所以,
所以．
法2：△ABC中，由余弦定理得,
所以BC＝3，所以,
在△ABD中，由余弦定理得
所以，
法3：设E为AC的中点，连结DE，则，,
在△ADE中，由余弦定理得,
所以．
巩固练习
1．△ABC的两边长分别为1，，第三边上的中线长为1，则其外接圆的直径为 .
2．如图，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若AC边上的中线BD的长为，且，求BC的长．
3．已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角的大小；
（2）若，为的中点，△ABC的面积为，求的长．
4.(2021 安徽宿州三模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求边BC的中线AD长度的最小值．
5．已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角C；
（2）设D为边AB的中点，△ABC的面积为2，求的最小值．
6．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求C的大小；
（2）△ABC的面积等于，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长．
7．△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，．
（1）求B的大小；
（2）若，且AC边上的中线长为，求△ABC的面积．
8．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c．已知，．
（Ⅰ）求证：△ABC为等腰三角形；
（Ⅱ）若△ABC面积为，D为AB中点，求线段CD的长．
9．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，若．
（1）求角B的值；
（2）若，且△ABC的面积为，求BC边上的中线AM的长．
10.(2021 河南焦作三模 理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC+asinA＝bsinB+csinC．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设D是线段BC的中点，若c＝2，，求a．
11．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，且BC边上的中线长为，求．
12．已知函数，
（1）求的单调递增区间．
（2）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若（A），，，求△ABC的中线AD的长．
13.已知△ABC的外接圆半径为R,a,b,c分别是角A,B,C的对边，且．
（1）求角A；
（2）若AD是BC边上的中线，求△ABC的面积．
14.(2021 河南许昌三模 文)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若BC边上的中线AD＝4，求三角形ABC面积的最大值．
15.(2021 贵州毕节三模)已知函数,在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）点D为AB边中点，且．给出以下条件：①a＝2；②．
从①②中仅选取一个条件，求b的值．
答案与解析
1.【解析】:，设，
在△ABD中，，即，①
在△ACD中，同理可得，②
因为，
所以①+②得，，所以，所以△ABD为等边三角形，
所以，△ABC的外接圆直径为 .
2.【解析】：（1）因为，所以由正弦定理可得：，
所以可得：，
所以,
因为，所以，
因为，所以.
在中，，，
因为D为AC的中点，所以AC=2AD=4，
在△ABC中，，
所以.
3.【解析】：（1）因为，所以，
又，
所以，可得：，
因为，所以，即，
因为，所以．
（2）因为，，△ABC的面积为，所以，
由余弦定理，可得，
可得，
因为，可得：，
解得，可得的长为．
4.【解析】:（Ⅰ）由正弦定理得，，
因为，所以，
因为sinB≠0，所以，所以，
即，所以，
又，所以，所以，即．
（Ⅱ）因为，
所以，化简得，
在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bc cosA，所以，
因为,当且仅当b＝c时，取等号，所以，所以b2+c2≥2，
所以，
所以AD长度的最小值为．
5.【解】：（1）因为A,B,C为三角形内角，所以
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.DSMT4
．
故角C为．
（2）由（1）知，△ABC的面积为，所以，
延长CD到E，使，连接AE，则，，
由余弦定理得，当时，等号成立．
于是，当时，等号成立．
故的最小值．
6.【解】：（1）由，得，
即，从而，
而，可得．
（2）因为，所以ab=16，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，
故．
7.【解】：（1）因为，
所以，可得，
所以，
因为，所以，可得，
因为，所以．
（2）由，可得，①
在中，取AC的中点D，连接BD，
因为，，所以在中，，
在△ABC中，，所以，②
把①代入②，化简可得，解得，或（舍去），
所以，所以△ABC的面积．
8.【解析】：(I)证明：由正弦定理及得，，所以，
因为，由余弦定理得，，
所以，即△ABC为等腰三角形；
(II)因为，则，
由题意得，，则，，
因为D为AB中点，所以，
故．
9.【解】：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
可得，
因为，可得，即，
由，可得．
（2）由已知，则△ABC是等腰三角形，，设，
可得，
由已知△ABC的面积为，得，，可得，
△ACM中，由余弦定理，，
所以．
10.【解析】:（I）因为bsinC+asinA＝bsinB+csinC，
由正弦定理得bc＝b2+c2﹣a2，由余弦定理得，由A为三角形内角得．
（II）因为D为BC的中点，所，则，
因为c＝2，，所以，
整理得b2+2b﹣48＝0，解得b＝6，b＝﹣8（舍），
由余弦定理得，故a＝2．
11.【解】：（1）因为，由正弦定理可得，
因为，
所以，
可得，因为，所以，可得，
又因为，可得．
（2）由余弦定理可得，①
又在△ABC中，，设BC的中点为D，
在△ABD中，，可得，可得，②
由①②可得，解得．
12.【解】：（1）．
由，．
所以的单调递增区间为，，．
（2）因为，所以．所以，解得．
因为，所以．
所以．
在△ABC中，由正弦定理可得：，解得a=14，所以BD=7．
在△ABD中，由余弦定理可得：，
所以．
13.【解】：（1）因为由正弦定理，可得，，
所以由已知可得：，
所以，即，
所以由余弦定理可得，
因为，所以．
（2）因为BC边上的中线，，
又，两边平方，可得：，
所以，解得，或（舍去），
所以．
14.【解析】:（1）因为，所以，
因为sinB≠0，所以，
所以，所以，
由A为三角形内角可得，，
（2）由题意,所以，
所以，当且仅当b＝c＝8时取等号，
15.【解析】：（Ⅰ）因为
，
所以，
因为，所以，
所以，，
（Ⅱ）若选①a＝2，
因为，所以，所以，
解得b＝4或b＝﹣6（舍去），所以b＝4；
若选②，（c＜b），
由c2＝b2+a2﹣2abcosC，得：12＝a2+b2﹣ab，由（1）得，
所以a2+b2＝20，ab＝8，解得：或，
由c＜b，得b＝4．