专题五：不等式
第一课时：不等式的性质与解法
目标：了解不等式的基本性质，会运用不等式的性质解决相关的简单问题；掌握一元二次不等式的解法以及三个二次的关系．
一、考点整合
1．一元二次不等式的解法：系数化正，解一元二次方程再结合二次函数的图象写出解集．
2．分式不等式的解法：常通过移项通分将不等式化为，等价于，写解集；若是高次不等式，利用序轴标根法写解集．
3．指对数不等式的解法：化同底利用指对数函数的单调性或换元转化为整式不等式求解，需要注意对数中真数大于零．
4．含参数不等式：涉及解含参数不等式、证明，确定满足不等关系的参数范围等．
5．在求函数的定义域、值域（最值）、函数的单调性中常用到解不等式．
6．方程的实根情形也常涉及解不等式．
二、高考真题
1.（2012年，湖南文）不等式x2-5x+6≤0的解集为______.
【解析】（x-3）（x-2）≤0, 2≤x≤3.
【答案】
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力.
2．（2012年高考（重庆理））不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【答案】A
【考点定位】本题主要考查了分式不等式的解法,解题的关键是灵活运用不等式的性质,属于基础试题,属基本题.
3．（2012年高考（浙江理））设aR,若x>0时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则a=______________.
【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况:
(1), 无解;
(2), 无解.
因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x>0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图)
我们知道:函数y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1都过定点P(0,—1).
考查函数y1=(a-1)x-1:令y=0,得M(,0),还可分析得:a>1;
考查函数y2=x 2-ax-1:显然过点M(,0),代入得:,解之得:,舍去,得答案:.
【答案】
4．（2012年高考（江苏））已知函数的值域为,若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为____.
【解析】由值域为,当时有,即,
∴.
∴解得,.
∵不等式的解集为,∴,解得.
【答案】9.
【考点】函数的值域,不等式的解集.
二、典例解析
例1.（2011年，全国大纲卷改编）下面四个条件（1），（2），（3），（4）中，使成立的充分而不必要的条件是________．（填序号）
【答案】（1）
【解析】（1）中，因为，所以；反之由推不出．所以是的充分不必要条件．（2）是必要不充分条件；（3）是既不充分也不必要条件；（4）是充分必要条件．所以填写（1）．
【点评】（1）本题要填空的是哪个是使成立的充分而不必要条件；（2）需要注意与的关系．
例2.（2011年，江西卷改编）若，则的定义域为________．
【答案】
【解析】由得解得，故，定义域为．
【点评】求具体函数的定义域常从以下几方面考虑：分母不为零；偶次方根的被开方数不小于零；零次幂的底数不为零；对数中的真数大于零、底数大于零且不为1等．本题在利用对数函数单调性去掉对数符号后一定要注意真数大于零．
例3.设，则、、从小到大排列为________．
【答案】c
【解析】a=2=, b=ln2=,而,所以ac==,而,所以c【点评】指对数值的大小比较常常化同底结合函数的单调性比较；不同类型的两数大小比较又常考虑介值法．
例4．不等式的解集为________．
【答案】
【解析】，利用序轴标根法得-2＜x＜1或x＞3．所以原不等式的解集为．
【点评】分式不等式一般先化为（或<0），再转化为，进而写出相应的解集；解高次不等式常用序轴标根法，也可转化为几个不等式组求解．
例5．（2011年，辽宁理卷改编）设函数，则满足的x的取值范围是________．
【答案】[0，+）
【解析】不等式转化为或，解得或，所以满足的x的取值范围是．
【点评】与分段函数有关的不等式问题要分段求解，最后取并集．
例6．[2010·山东理卷]若对任意，恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为，所以（当且仅当时取等号），所以，即的最大值为，所以．
【点评】由不等式恒成立求参数范围问题常通过分离变量，引入函数，将问题转化为变量与函数最值之间的不等关系求解．
例7．设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈，f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)
恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】∪
【解析】∵f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)，∴－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)，即－4m2x2≤x2－2x－3．∵x∈，∴－4m2≤1－－恒成立．
令g(x)＝1－－＝－32＋，
因为x∈，∈，
g(x)min＝g＝－，
∴－4m2≤－，即12m4－5m2－3≥0，
∴(3m2＋1)(4m2－3)≥0?4m2－3≥0?m≥或m≤－，
∴m∈∪．
【点评】恒成立问题是一类常见问题．不等式在给定范围内恒成立问题常可利用分离变量法，引入函数求最值，得到所求参数的不等式后本题可转化为解二次不等式．
例8．已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12 = 0有两个实根为x1=3, x2 =4．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设k为实数，解关于x的不等式．
【解析】（1）由方程的根为3，4，解得，，
所以；
（2）由得，
等价于，即，
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式化为，解集为且；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式化为，解集为；
当时，原不等式的解集为或．
【点评】含参数的不等式求解需要分类讨论，分类讨论时要做到不重不漏．
四、达标测试
1．（2011年，福建卷改编）若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
2．设，a为常数．若存在，使得，则实数a的取值范围是________．
3．已知常数是负实数，则函数的定义域是________．
4．已知函数，若，则实数的取值范围是________．
5．对一切实数，不等式
恒成立，则实数的取值范围是________．
6．已知实数满足，
，则的取值范围是________．
7．命题实数满足，其中，命题实数满足或，且是的必要不充分条件，求的取值范围．
8．设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋的值域，集合C为不等式(ax－)(x＋4)≤0的解集．
(1)求A∩B；
(2)若C??RA，求a的取值范围．
参考答案：
1．【答案】（－∞，－2）∪（2，＋∞）
【解析】，所以或．
2．【答案】
【解析】依题意得，即，即，
解得或．
3．【答案】
【解析】由题知，由于为负数，于是可解得.
4．【答案】
【解析】函数是偶函数，且，在上单调增，所以不等式可化为，又，
所以原不等式等价于，所以．
5．【答案】
【解析】令，则原不等式等价于对恒成立，
时，取一切实数均成立；
不等式对恒成立，因为（当且仅当时取等号），所以．综上：．
6．【答案】
【解析】将代入，并化简整理得关于的一元二次方程，因为该方程有解，
所以，解得．
7．【解析】设，
=
因为是的必要不充分条件，所以，且推不出
而，，
所以，则
即．
8．【解析】(1)由－x2－2x＋8>0，解得A＝(－4,2)，
又y＝x＋＝(x＋1)＋－1，
所以B＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
所以A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)．
(2)因为?RA＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)．
由(x＋4)≤0，知a≠0．
①当a>0时，由(x＋4)≤0，得C＝，不满足C??RA；
②当a<0时，由(x＋4)≥0，得C＝(－∞，－4)∪，欲使C??RA，则≥2，解得－≤a<0或0又a<0，所以－≤a<0．
综上所述，所求a的取值范围是．
专题五：不等式
第三课时：不等式的综合应用
目标：了解简单的线性规划；理解不等式在函数、方程、数列、几何中的应用以及利用不等式解决实际问题等．
一、考点整合
1．线性规划问题的解题步骤：
(1)结合已知条件设出变量，列出线性约束条件；(2)建立目标函数；(3)作出可行域；
(4)平移法确定最优解；(5)作答．
2．不等式的应用主要有三个方面：
（1）建立函数关系，利用均值不等式求最值；
（2）建立不等式求参数的范围；
（3）利用不等式解决实际应用问题．
二、高考真题
1．（2012年高考（山东理））已知变量满足约束条件,则目标函数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】做出不等式所表示的区域如图,由得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最大为,当直线经过点时,直线截距最大,此时最小,由,解得,此时,所以的取值范围是,选A.
【答案】A
2．（2012年高考（重庆理））设平面点集,
，则所表示的平面图形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点定位】本小题主要考查二元一次不等式(组)与平面区域,圆的方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,属于基础题.
3．（2012年高考（四川理））某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 （ ）
A．1800元 B．2400元 C．2800元 D．3100元
【解析】设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得 利润为Z元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y
且
画可行域如图所示,
目标函数Z=300X+400Y可变形为
Y= 这是随Z变化的一族平行直线
解方程组 即A(4,4)
【答案】C
【点评】解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).
4．（2012年高考（江苏））已知正数满足:则的取值范围是____.
【解析】条件可化为:.
设,则题目转化为:
已知满足,求的取值范围.
作出()所在平面区域(如图).求出的切线的斜率,设过切点的切线为
,
则,要使它最小,须.
∴的最小值在处,为.此时,点在上之间.
当()对应点时, ,
∴的最大值在处,为7.
∴的取值范围为,即的取值范围是.
【答案】.
【考点】可行域.
三、典例解析
例1．（2011年，福建卷改编）已知O是坐标原点，点A（-1,1），若点M（x,y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是___________．
【答案】[0，2]
【解析】，可行域为以为顶点的三角形，
则的取值范围是[0，2]．
【点评】将向量的数量积用坐标表示，求向量的数量积的取值范围，实质上就是求目标函数的最值，也就是线性规划问题．
例2．（2011年，浙江卷改编）设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是___________．
【解析】可行域如图所示
联立，解之得，又∵边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为，∴当过点（4，1）时，有最小值16.
【答案】16
【点评】本题需要注意的是为整数，求解的是整点问题，还需要注意边界是否在可行域内．
例3．（2011年，辽宁卷改编）函数的定义域为，，对任意，，
则的解集为___________．
【解析】记，，所以是单调增函数，
又，所以的解集就是的解集，所以．
【答案】（，+）
【点评】本题引入一个新的函数，通过研究新函数的单调性以及利用单调性求解．
例4．（2011年，四川卷改编）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=___________元
【解析】由题意设派甲、乙两类卡车分别辆，则利润，得约束条件，画出可行域（如图），由得，代入目标函数．
【答案】4900
【点评】认真审清题意，设出变量列出约束条件及目标函数，本题是求解线性规划问题的最值．
例5．设满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为________．
【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是
，易见目标函数在取最大值8，
所以，所以，在时是等号成立．所以的最小值为4.
【答案】 4
【点评】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域），则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得，再利用基本不等式求的最小值.
例6．（2011年，天津卷改编）设函数，若，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】若，则，即，所以，
若则，即，所以，．
所以实数的取值范围是或，即．
【点评】本题中的函数是分段函数，所以分段讨论求解对数不等式，需要注意对数中的真数大于零．
例7（2011年，湖北卷改编）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式;
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
【解析】（Ⅰ）由题意：当；当
再由已知得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当时，
当且仅当，即时，等号成立．
所以，当在区间[20，200]上取得最大值
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
【点评】正确写出函数表达式，利用函数单调性和基本不等式求函数最值．
例8（2011年江苏高考预测卷）已知函数．
（1）求函数的单调区间与最值；
（2）若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围；（其中e为自然对数的底数）
（3）如果函数的图像与x轴交于两点，且，求证：（其中，是的导函数，正常数p,q满足）
【解析】（1）∵，，
∴当时，，单调递增；当时，，单调递减．
∴当x=1时，有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值．
故的单调递增区间为，单调递减区间为；最大值为-1，但无最小值．
（2）方程化为，由（1）知，在区间上的最大值为-1，，，．
∴在区间上的最小值为．
故在区间上有两个不等实根需满足，
∴，∴实数m的取值范围为．
（3）∵，又有两个实根，
∴两式相减，得
∴
于是
=.
∵,∴,∵,∴．
要证：，只需证：.
只需证：. (＊)
令，∴(＊)化为 ，
只需用证即可.
因为=
=
∴.
∴,∴在上单调递增，∴
∴，∴.
即.
∴.
【点评】本题通过导数及解不等式得到函数的单调区间进而得到最值；通过引入函数，利用导数结合不等式研究函数的性质进而研究方程实根问题．本题充分体现了函数、方程、不等式三者之间的联系．
四．达标测试
1.设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为
___________．
2．[2011·湖南卷改编]，理设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为___________．
3．(2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)设等差数列的前项和为,若≤≤，≤≤，则的取值范围是 ；
4.已知向量a，b，且a⊥b.若满足不等式，则的取值范围为___________．
5.设函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是 .
6.已知函数, 数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是____ ___．
7．已知函数，
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
8．设、．
（1）若在上不单调，求的取值范围；
（2）若对一切恒成立，求证：；
（3）若对一切，有，且的最大值为1，求、满足的条件．
参考答案：
1．【答案】6
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示
当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6．2．【答案】
【解析】画出可行域，可知在点取最大值，由解得．
3．【答案】
【解析】由题知
则由不等式性质知的取值范围为或由线性规划知识可得，令，同样得的取值范围为.
4.【答案】[-3，3]
【解析】因为a⊥b，，
则，满足不等式，
则点的可行域如图所示,
当经过点时，取得最大值3
当经过点时，取得最小值-3．
所以的取值范围为[-3，3]. 5.【答案】(－∞，1)
【解析】是奇函数，又因为，所以单调增函数，
原不等式等价于对恒成立，即对恒成立，因为时，所以．
6.【答案】
【解析】依题意得，解得．
7．【解析】（1）当时，．
（2）由题意，时，恒成立，即恒成立，
，即恒成立，
若；若，则恒成立，故，
而，当且仅当时取等号，故，
所以．
综上：．
8．【解析】（1）由题意，所以；
（2）依题意有与同时成立，即，；
（3）因为，依题意，对一切满足的实数，有．
①当有实根时，的实根在区间内，考察函数，所以，即，又，于是，的最大值为，即，从而．故，即，解得．
②当无实根时，，由二次函数性质知，在上的最大值只能在区间的端点处取得，所以，当时，无最大值．于是，存在最大值的充要条件是，即，所以，．又的最大值为，即，从而．由，得，即．所以、满足的条件为且．综上：且
专题五：不等式
第二课时：基本不等式及其应用
目标：掌握基本不等式，能用基本不等式解决一些简单的最值问题，如在求函数最值、证明不等式、求含参数等问题中的应用．
一、考点整合
1．基本不等式：．
2．几个重要不等式：
(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)；(2)a2＋b2≥2ab(a∈R)；(3)≥(a，b∈R＋)．
(4)ab≤2(a，b∈R)；(5)≥≥≥(a，b∈R＋)．
3．应用基本不等式求最值时要注意一正二定三相等，积定和有最小值，和定积有最大值．
4．基本不等式常用于证明不等式、求最值、解决实际应用问题．
二、高考真题
1．（2012年，福建理）下列不等式一定成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
【解析】由基本不等式得,答案C正确.
【答案】C
【考点定位】此题主要考查基本不等式和均值不等式成立的条件和运用,考查综合运用能力,掌握基本不等式的相关内容是解本题的关键.
2.（2012年，浙江文）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）
A. B. C.5 D.6
【解析】x+3y=5xy，，
.
【答案】C
【命题意图】本题考查了基本不等式证明中的方法技巧．
3．（2011年，湖南理）设,则的最小值为 ．
【解析】
，当且仅当时取等号．
【答案】9
4．（2011年，重庆理）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是 ．
A． B．4 C． D．5
【解析】
，当且仅当即，时取等号．
【答案】C
三、典例解析
例1.若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是___________(写出所有正确命题的编号)．
①； ②； ③ ；
④； ⑤
【解析】令，排除②④；由，命题①正确；
，命题③正确；，命题⑤正确．
【答案】①，③，⑤
【点评】说不等式成立，可通过基本不等式及其变形证明；要说不等式不成立只需举一反例．
例2.设若是与的等比中项，则的最小值为___________．
【解析】因为，所以，
，当且仅当即时“=”成立，的最小值为1．
【答案】1
【点评】由条件转化得到，利用1的代换将写成可利用基本不等式快捷求最值．
例3.已知，则的最小值是___________．
【解析】因为当且仅当，
且，即时，取“=”号．
【答案】4
【点评】两次或两次以上使用基本不等式求最值时，一定要注意等号是否同时取到．
例4. （2011年，浙江）设x,y为实数，若，则2x+y的最大值是 ．
【解析】，
又（当且仅当时取等号），
所以，
所以，所以．
【答案】
【点评】（1）本题要实施两数和、积、平方和之间的转换，这三者之间除了有不等关系外还有等量关系如．（2）重要不等式中、为实数，有时又会写成，对公式与结论要会灵活运用．
例5.设，则的最小值是___________．
【解析】
＝
＝
≥0＋2＋2＝4
当且仅当a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立，
如取a＝,b＝,c＝满足条件.
【答案】4
【点评】根据式子的特点考虑配方成完全平方、配凑成能用基本不等式等变形手段，需要注意取等条件是否满足．
例6．函数y＝的最小值为___________．
【解析】设t＝x2＋1，则t≥1，且x2＝t－1，
∴y＝＝
＝＝t＋＋1．
∵t≥1，∴t＋≥2＝2，
当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．
∴当x＝0时，函数取得最小值3．
【答案】3
【点评】(1)利用基本不等式求最值，关键是把握基本不等式成立的三个条件(正、定、等)，在利用基本不等式求某些函数最值时，需注意函数的解析式或变形式能够符合基本不等式使用的前提条件和实际问题的要求．
例7．已知均为正数，求证：
【解析】因为x，y，z均为正数，
所以
同理可得
当且仅当时，以上三式等号都成立，
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，
得
【点评】本题是用综合法结合基本不等式来证明的．几个同向不等式可以相加，如果等号都能取得，那么相加后也能取到等号．
例8．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：m)．
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【解析】（Ⅰ）如图，设矩形的另一边长为a m
则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
(Ⅱ)
.当且仅当225x=时，等号成立.
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
【点评】在实际应用问题中常涉及最优化问题，常通过建立函数，利用基本不等式求函数最值；需要注意的是只有满足使用基本不等式的条件才能利用基本不等式来求最值，如果本题旧墙的长度不足24m，那么利用函数的单调性来求最值．
四．达标测试
1．（2011年，上海卷改编）若，且，则下列四个不等式：（1），（2），（3），（4），其中恒成立的序号是 .
2.若，则的最小值为 .
3．（苏北四市2011届高三年级第三次调研）已知二次函数的值域为，则的最小值为 .
4.（2011年，重庆卷改编）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是 .
5．（江苏省苏州市2011届迎二模六校联考）若a,b,c>0,且a2+ab+ac+bc=4，则2a+b+c的最小值为 .
6.(江苏省泰州市2011届高三年级第一次模拟)已知正实数满足，则的最小值为 ．
7.(江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)已知，若实数满足，则的最小值是 .
8．(江苏省宿豫中学2011年3月高考第二次模拟)为了降低能源损耗，最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
参考答案：
1．【答案】（4）
【解析】时（1）（3）不正确；且时，（2）不正确；由基本不等式可得（4）是正确的．
2.【答案】
【解析】，当且仅当时取等号.
3．【答案】10
【解析】由题意得且，，
又（当且仅当时取等号）．
4.【答案】
【解】y=
，当且仅当时取等号．
5．【答案】4
【解析】因为，所以，，当且仅当时取等号．
6.【答案】
【解析】由题知即，
，当且仅当时取等号．7.【答案】7
【解析】由，得，则，所以，（当且仅当“”时，取等号），故的最小值为7．
8．【解析】（1）当时，，，
， ．
（2），
设，，
当且仅当这时，因此．
所以，隔热层修建厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．
自我测试
一、填空题
1．不等式的解集为_________。
2．若，有下面四个不等式：①；②；③，④，不正确的不等式的个数是_________。
3．已知满足约束条件 则的最大值为_________。
4．（2012年高考（上海春））若不等式对恒成立,则实数的取值范围是______.
5．若, , , ，则从大到小排列为________．
6．已知向量，若⊥，则16x＋4y的最小值为________．
7．已知集合，且，，则实数的取值范围是________．
8．已知，
，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是________．
9．已知奇函数在
为减函数，且，则不等式的解集________．
10．函数满足，且均大于，， 则的最小值为________．
二、解答题
11．已知二次函数的图像过点，且得解集为．
（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）求函数在上的最值．
12．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.
（1）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
13．定义在上的函数同时满足以下条件：①在上是减函数，在上是增函数；②是偶函数；
③在处的切线与直线垂直。
（1）求函数的解析式；
（2）设，若存在，使，求实数的取值范围。
14．设 ．
（1）若是函数的极大值点，求的取值范围；
（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围．
参考答案：
1．【答案】
【解析】由条件得，所以，所以，解集为。
2．【答案】2
【解析】由知，且，所以，正确的有③④。
3．【答案】
【解析】如图求出可行域，则的最大值
为
4．【答案】
【解析】不等式对恒成立，所以对恒成立，所以。5．【答案】
【解析】，，，所以。
6．【答案】8
【解析】由⊥得，即，
，当且仅当时取等号。7．【答案】
【解析】依题意且或，解得或。
8．【答案】
【解析】在上的最小值为或，
在上的最小值为1，
依题意得：或，
所以或，所以的取值范围是。9．【答案】
【解析】函数在上为减函数，或，
所以或，解集为。
10．【答案】
【解析】，由均大于及得，所以，
所以。
11．【解析】由已知设二次函数，其中．将点代入，解得．
∴．
（1），要使在区间上单调递增，
只须，解得；
（2）由，得．
∵，∴．∴．
∴函数在上的最大值为0，最小值为．12．【解析】（1）当时，该项目获利为S，则
，
因为，所以S<0，因此该项目不会获利。
当时，S取得最大值，所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损。
由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
，
①当时，，
所以时，取得最小值240；
②当时，，
当且仅当，即时取得最小值200。
所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低。13．【解析】（1） ∵ 在上是减函数，在上是增函
数，∴ ……①
由是偶函数得： ②
又在处的切线与直线垂直， ③
由①②③得：，即
（2）由已知得：存在，使
即存在，使
设，则
设，则
，即在递减
于是，，即，即
在上递减，
于是有为所求．
14．【解析】 (1)
当时，f(x)在（0，1）递减，在（1，+）递增，故f(x)在x=1处取到极小值，不合舍去。
当时，f(x)在（0，a-1）递增，在（a-1，1）递减，在（1，+）递增，故f(x)在x=1处取到极小值，不合舍去。
当时，f(x)在（0，1）和（1，+）均递增，故f(x)在x=1处没有极值，不合舍去。
当时，f(x)在（0，1）递增，在（1，a-1）递减，在（a-1，+）递增，故f(x)在x=1处取到极大值，符合题意。
综上所述，当，即时，是函数的极大值点．
（2）在上至少存在一点，使成立，等价于
当时,
由（1）知，①当，即时，
函数在上递减，在上递增，
．
由，解得．
由，解得
，；
②当，即时，函数在上递增，在上递减，
．
综上所述，当时，在上至少存在一点，使成立．
