三角函数的应用
一、高考真题回顾
1.（2011上海理6）在相距2千米的．两点处测量目标，若，则．两点之间的距离是_________千米。
【答案】
2．（2012年高考（上海理））海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线
;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救
援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时
两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
【解析】 (1)时,P的横坐标xP=,代入抛物线方程
中,得P的纵坐标yP=3
由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时
由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向
为北偏东arctan弧度。
(2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为.
由,整理得
因为,当且仅当=1时等号成立,
所以,即.
因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。
二、例题讲解：
【例1】 (1)方程的实根个数是 （ ）
A . 1 B. 2 C. 3 D. 4
（2）已知满足方程，则的最大值为 （ ）
A 3 B 4 C 5 D 7
（3）若实数满足且不等式恒成立，则的
取值范围是 .
【解析】(1)方程转化为，考察函数与的图象，共有3个交点．
(2)方程化为，令，则，所以最大值为5．
(3)令，恒成立，所以的取值范围是．
【例2】（1）求函数，的值域；
（2）设，求的最小值.
【解析】（1）原函数可化为，令，易知，
且，再令，则，且，易知.
（2）设，，，则
，当，即或
时，有.
【例3】如图,ABCD是一块边长为100米的正方形土地，其中ATPS是一半径为80米的扇形草地，P是弧TS上一点，其余部分都是空白土地，现一爱心人士想在空地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形儿童乐园PQCR，求长方形儿童乐园的最大面积与最小面积．（取，精确到1米）
【解析】如图，连结AP，设，延长RP交AB于M，
则，
，故矩形PQCR的面积
设，
所以，当时，
当时，．
答：长方形儿童乐园的最大面积约为1888平方米，最小值面积为1800平方米．
【例4】设，已知不论为何实数，恒有和成立.（1）求证：；（2）；（3）若函数的最大值为8，求的值.
【解析】（1）由已知可得：且，故；
（2）由,因时即恒成立，结合 的图象易得；
（3），因为，由二次函数的单调性可知，当时，，又因为
，两式联立，解得：.
三、达标测试：
1．2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形面积是1，小正方形的面积是，则的值是 （ ）
A、1 B、 C、 D、
2．已知满足方程，则的最大值为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
3．已知实数x、y、m、n满足m2+n2=a,x2+y2=b(a≠b),则mx+ny的最大值为( )
A. B. C. D.
4．已知实数满足，，则的最小值是 ；最大值是 ．
5．是否存在实数使方程的两根成为一个直角三角形两锐角的正弦？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
6．将一块圆心角为1200，半径为20㎝的扇形铁片裁成一块矩形，有如图(1)、(2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪 种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值．
7．如图所示，某化工厂反应塔MQ上有温度计AB,
已知｜AM｜=a,｜BM｜=b, 形QMNP的边MN上建
观察点C较安全，观察温度计AB时视角越大越清晰,
问C在线段MN上何处时，对温度计AB观察得最清晰？
8．如图,某工厂的主控制表盘高1米,表盘底边距地面2米,问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时,眼睛距地面1.2米)
剖析:欲使表盘看得最清楚,人眼A距表盘的水平距离AD应使视角φ最大.
参考答案：
1．D
2．C 提示：方程化为，令，则，所以最大值为5．
3．解析:设m=sinα,n=cosα,x=cosβ,y=sinβ,
则mx+ny=sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β).
答案:B
4．-3，3 提示：令，，则
，所以最小值与最大值分别为-3，3．
5．解：假设存在实数，使方程的两根是一个直角三角形的两锐角Ａ，Ｂ的正弦，
则
，
当时，原方程为，，不合题意．
当时，原方程为，，不合题意．
综上知，不存在实数适合题意．
6．解：按图(1)的裁法：矩形的一边OP在OA上，顶点M在圆弧上，设，则
，所以矩形OPMN的面积
即当时，
按图(2)的裁法：矩形一边PQ与弦AB平行，设，在△MOQ中，
，则正弦定理得：
又
当时，
由于，所以用第二种裁法得面积最大的矩形，最大面积为．
7．解：要使体温计AB观察的最清晰，只要视角∠ACB最大即可，
以NN，NQ所在直线为x轴，y轴，以N为坐标原点建立直角
坐标系.设C(x,0),∠ACB=θ,
则tanθ= ∵a＞b,∴tanθ≤ 等号当且仅当x=，即x=时成立. 又θ∈(0,),θ取最大值arctan.
故C点应在NN上距N为处．
8．解:CD=2-1.2=0.8,
设AD=x,
则tanα===,tanβ==.
因为tanφ=tan(α-β)=,
所以tanφ==
≤=,
所以当x=,即x=1.2时,tanφ达到最大值
因为φ是锐角,所以tanφ最大,φ也最大．
所以值班人员看表盘最清楚的位置为AD=1.2 m.．
三角恒等变换
一、高考真题再现
1．（2012年高考（江苏））设为锐角,若,则的值为____.
【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数.
【解析】∵为锐角,即,∴.
∵,∴.
∴.
∴.
∴
.
【答案】.
2．（2012年高考（重庆理））设是方程的两个根,则的值为 （ ）
A． B． C．1 D．3
【解析】
【答案】A
【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值.
3．（2012年高考（山东理））若,,则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为,所以,,所以,又,所以,,选D.
4．（2012年高考（辽宁理））已知,(0,π),则= （ ）
A．1 B． C． D．1
【解析一】
,故选A
【答案】A
5．（2012年高考（江西理））若tan+ =4,则sin2= （ ）
A． B． C． D．
【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.
因为,所以..
【答案】D
【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式转化;另外,在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等.
6．（2012年高考（大纲理））已知为第二象限角,,则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】,两边平方可得
是第二象限角,因此,
所以
法二:单位圆中函数线+估算,因为是第二象限的角,又
所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故的“余弦线”应选.
【答案】A
【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题.
7.【2012高考重庆文改编】=
（A）（B）（C）（D）
【解析】：
【答案】
【考点定位】本题考查三角恒等变化，其关键是利用。
8．（2012年高考（江苏））在中,已知.
(1)求证:;
(2)若求A的值.
【解析】(1)∵,∴,即.
由正弦定理,得,∴.
又∵,∴.∴即.
(2)∵ ,∴.∴.
∴,即.∴.
由 (1) ,得,解得.
∵,∴.∴.
【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形.
【点评】(1)先将表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明.
(2)由可求,由三角形三角关系,得到,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值.
二、例题讲解：
【例1】（1）=（ ）
A. B. C. 2 D.
（2） （ ）
A. B. C. D.
（3）已知为第三象限角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】（1）．
（2）
．
（3）由得，因为为第三象限角，所以，是二、四象限角，所以．
【例2】（无锡一中2011—2012学年度高三第一学期期中）已知，，且，则β= ．
【解析】由条件得，所以，，所以，所以．
【例3】已知=2，求 的值．
【解析】∵=2, ∴ ;
所以原式=
=．
【例4】（2011年，湖南高考题改编）角A,B,C是锐角△ABC的三个内角，又与共线．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．
【解析】（I）由两向量共线得，即，
又角C是锐角，所以，所以．
（II）由（I）知，
于是sinA-cos（B+），
因为角A、B都是锐角，所以，
从而当，即时，取最大值2，此时．
综上：sinA-cos（B+）的最大值为2，此时，．
三、达标练习：
1．下列各式中，结果为0.5的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知，则的值是（ ）
A． B. - C. D. -
3．将函数的图象按向量平移，得到函数y=的图象，那么函数可以是（ ）
A．2sin2x B．2cos2x C． sin2x-1 D．sin2x+1
4．设向量=，=，若t是实数，且=+t，则||的最小值为 ( )
A． B．1 C． D．
5．（2012年朝阳区高三期末）已知函数，设，
，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6.（2012 浙江瑞安期末质检理5）设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2012年东城区高三期末）已知，那么的值为 ．
8．若，则 ．
9．（2012年丰台区高三期末）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和值域；
（2）若为第二象限角，且，求的值．
10．（南京师大附中2011~2012学年度第一学期高三年级期中）
已知函数f(x）=2sinxcosx+cos2x,x∈R.
（1）当x取何值时，f(x)取得最大值，并求其最大值．
（2）若θ为锐角，且，求tanθ的值．
参考答案：
1．B提示：．
2．C提示：，即，即．
3．D 由题知，按照平移得到，即．
4．C 提示： ，所求的最小值为．
5．B 提示：，，，，所以．
6. A 提示：令平方得，所以．
7． 提示：，所以．
8. 提示：由条件得：，所以，所以．
也可由条件得：，即，所以
．
9．解析：（1）因为 ，
所以函数的周期为，值域为．
（2）因为 ，
所以 ，即．
因为
，
又因为为第二象限角， 所以 ．
所以原式．
10．解：
．
∴当,即Z时,函数取得最大值,其值为．
(2)∵，∴，∴，
∵为锐角，即, ∴，∴，
∴，∴， ∴，
∴，∴ 或(不合题意,舍去)．
任意角的三角函数，三角函数的图象与性质
一、高考真题回顾
1．（2012·安徽改编）要得到函数的图象，只要将函数的图象向 平移 单位
【提示】．
【答案】左
2．（2012年高考（湖南理）改编）函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为 ．
【解析】f(x)=sinx-cos(x+),
,值域为[-,].
【答案】[-,]
【点评】利用三角恒等变换把化成的形式,利用,求得的值域.
3．（2012年高考（大纲理））当函数取得最大值时,_______________.
【解析】由
由可知
当且仅当即时取得最小值,时即取得最大值.
【答案】
【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.
4．（2011·全国）已知，则 .
【解析】由又所以
【答案】
5．（2011·江西）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y= .
【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角.=，所以.
【答案】
6．（2011，江苏）函数是常数，的部分图象如图所示，则．
【解析】由图可知：
又函数图象经过点,所以，则.
故函数的提示式为,
所以.
【答案】
7．（2011，山东改编）若函数(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω= ．
【解析】由题意知,函数在处取得最大值1,所以1=sin,所以，．
【答案】
【点评】本题考查三角函数的单调性！
8．（南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在区间上的函数值的取值范围．
【解】(1)因为
，故的最小正周期为；
(2)当时,，故所求的值域为．
9．（南京师大附中2011~2012学年度第一学期高三期中）已知函数f(x）=2sinxcosx+cos2x,x∈R.
（1）当x取何值时，f(x)取得最大值，并求其最大值．
（2）若θ为锐角，且，求tanθ的值．
【解】(1)
.
∴当,即Z时,函数取得最大值,其值为．
(2)∵，∴，∴．
∵为锐角，即，∴，∴， ∴， ∴，
∴， ∴，
∴ 或(不合题意,舍去)．
10．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)
设,其中
(Ⅰ)求函数 的值域
(Ⅱ)若在区间上为增函数,求 的最大值.
【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列,从而解得的取值范围,即可得的最在值.
【解析】 (1)
因,所以函数的值域为
(2)因在每个闭区间上为增函数,故在每个闭区间上为增函数.
依题意知对某个成立,此时必有,于是
,解得,故的最大值为.
二、例题讲解：
【例1】已知角的终边过点，则的值是（ ）
A． B．或 C． D．
（2）的值为 ．
（3）若且，则是第 象限角（ ）．
【解析】由知，则，，所求值为．
（2）．
（3）由得，又，所以是第三象限角．
【例2】（1）右图是函数在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为
A． B．
C． D．
（2）下列函数中，周期是，又是偶函数的是（ ）
A．y=sinx B．y=cosx
C．y=sin2x D．y=cos2x
（3）（2012唐山市高三上学期期末统一考试文）函数 （ ）
A．在单调递减 B．在单调递增
C．在单调递减 D． 在单调递增
【解析】（1）由于最大值为2，所以A=2;又
∴，将代入得，
结合点的位置，知，∴函数的解析式为可为，
答案为B．
（2）本题主要考查三角函数的周期性和奇偶性判断和计算. 属于基础知识、基本运算的考查. 周期是的函数是y=sin2x 和y=cos2x，其中y=cos2x是偶函数
（3）本题主要考查两角和的正弦公式和的图像与性质. 属于基础知识、基本方法的考查.
由，增区间为
∴在单调递增．选D．
【例3】化简：．
【解析】原式
．
【例4】已知函数.
（1）求的周期和单调递增区间；
（2）说明的图象可由的图象经过怎样变化得到．
【解析】（1）
=,
最小正周期为
由，
可得，
所以,函数的单调递增区间为
(2)将的图象纵坐标不变, 横坐标综短为原来倍, 将所得图象向左平稳个单位, 再将所得的图象横坐标不变, 纵坐标为原来的倍得的图象.
三、达标测试：
1． 的值为 （ ）
A． B．
C． D．2
2．已知函数，则下列命题正确的是 （ ）
A．是周期为1的奇函数 B．是周期为2的偶函数
C．是周期为1的偶函数 D．是周期为2的奇函数
3．若方程在时有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数f(x)＝Asin()(A>0，0<<)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(2，A)，点R的坐标为(2，0)．若∠PRQ＝，则y＝f(x) 的最大值及的值分别是（ ）
A.2, B.,
C., D. 2,
5．给出以下4个命题：
①函数的最小正周期是；
②终边在y轴上的角的集合是；
③把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象；
④函数在区间上是减函数．
其中真命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)的值为 ．
7．要得到函数()的图象，只要将函数的图象向 平移 个单位．
8．已知，那么= ．
D．
9．已知函数,．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值．
10．已知，
（1）若，求函数的单调减区间；
（2）请用五点法作出的一个周期的简图；
（3）说明如何由函数的图象变换得到函数的图象．
1．B 提示：＝
．
2．D 提示：，最小正周期为，是偶函数．
3．C 提示：，
其中在时的取值范围为，所以的取值范围为．
4．A 提示：由题意，，y＝f(x) 的最大值为A，∴sin()＝1 又0<<，∴
若∠PRQ＝，则∠xRQ＝，而周期为，故
∴, y＝f(x) 的最大值及的值分别是2,
5．B 提示：＝，周期为，①正确；时，②中，终边不在y轴上，②错误；把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象正确； ＝在区间上是增函数．④错误．所以真命题的个数是2．
6． 提示：由图象可知，f(x)=2sinx的周期为6，又f(1)+f(2)+f(3)+…+ f(6)=0，
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012) =．
7．右 提示：由到()，实质是将由变到了，所以需向右平行移动个单位．
8． － 提示：由条件得，所以，则．
9．解：（1）．
因此函数的最小正周期为．
（2）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
10．解：（1）∵
∴，
解得：
∴的单调减区间为 ；
（2）列表如下：
0
1
0
0
1
3
1
1
3
图象如图：
（3）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的得到函数的图象；最后将函数的图象向上平移1个单位即可．
