甘肃省兰州十一中2021-2022学年九年级（下）3月月考数学试卷 (word解析版)

甘肃省兰州十一中2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一．选择题（本题共12小题，共36分）
在下列各数中是无理数的有
，，，，，，，相邻两个之间有个．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A. B. C. D.
下列说法正确的有个．
对角线相等的四边形一定是矩形
顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形
已知点为线段的黄金分割点，，则
有一个角是的两个等腰三角形相似
A. B. C. D.
一个多边形的每个外角都等于，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
“是有理数，”这一事件是
A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件
下列分式是最简分式的是
A. B. C. D.
如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有
A. 对
B. 对
C. 对
D. 对
新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是
A. B.
C. D.
如图，在长为，宽为，高为的长方体中，一只蚂蚁从顶点出发沿着长方体的表面爬行到顶点，那么它爬行的最短路程是
A. B. C. D.
如图所示，边长为的正方形网格中，，，，，是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为
A.
B.
C.
D.
如图，在的正方形网格中有个格点，已经取定点和，在余下的个点中任取一点，使为直角三角形的概率是
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，，动点从点出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点从点出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是
A. B.
C. D.
二．填空题（本题共4小题，共12分）
分解因式：______．
在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为______．
已知光速为千米秒，光经过秒传播的距离用科学记数法表示为千米，则可能为______ ．
若数关于的不等式组恰有两个整数解，且使关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和是______．
三．解答题（本题共12小题，共72分）
计算：．
先化简，再求值，其中．
解方程：．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，．
求该反比例函数和一次函数的解析式．
是轴上的点，且的面积与的面积相等，求点的坐标．
“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近，才有可能形成群体免疫本着自愿的原则，至周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 新冠病毒灭活疫苗
重组新冠病毒疫苗细胞
社区卫生服务中心 新冠病毒灭活疫苗
重组新冠病毒疫苗细胞
若居民甲、乙均在、、、中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等提示：用、、、表示选取结果
求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
如图为一种翻盖式圆柱形茶杯，底面直径为，高为．
如图，小明通过按压点打开杯盖注入热水点，为对应点若，求点的运动路径长．
如图，将茶杯支在桌子上，当杯底倾斜到与桌面呈时，恰好将热水倒出，求此时杯子最高点距离桌面的距离．参考数据，
财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量．近年来，各级政府注重民生问题，加大了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投人某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障和就业交通运输方面财政支出的情况，该组成员通过查阅资料，将这三个领域财政支出的数据进行收集、整理描述，下面给出部分信息：
信息一：年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图
信息二：年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表：
统计量
类别 平均数 中位数 极差
教育支出
社会保障和就业支出
交通运输支出
以上数据来源于中国统计年鉴
根据以上信息解决下列问题：
年期间甘肃省政府在教育、社会保障和就业、交通运输这三个领域，对于______的投入最多，你的理由是______；
根据以上信息，判断下列结论正确的是______；只填序号
与年相比年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长；
年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长；
年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的倍还多．
该数学兴趣小组成员又计算了连续年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中年的平均数大，你认为该小组去掉的年份是______年．
嵊州大桥桥面上有两个完全相同的拱形钢梁，每一个拱形钢梁可看作抛物线的一部分，如图是大桥的侧面示意图，桥面长米．点是桥面的中点，钢梁最高点，离桥面的高度均为米．以桥面所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系．
求过点，，三点的抛物线表达式．
“嵊州大桥”四个字标注在离桥面高度为米的拱形钢梁的点处点在点的左侧，小明从点出发在桥面上匀速前行，半分钟后到达点正下方的点处，则小明通过桥面需多少分钟？
如图，是的直径，是上一点，连接，过外点作于点，交于点，连接，，且．
求证：是的切线；
若，的半径为，求的长．
如图，点是上的动点，以为旋转中心，将线段绕点顺时针旋转，使得点落在弦上得到点，作直线，若，点是上一定点，过点作于点．
小李尝试结合学习函数的经验，对线段，，的长度之间的关系进行探究．
请将以下小李的探究过程补充完整．
列表：如表的数据是根据点在上的不同位置进行画图，通过测量线段，，的长度，分别得到了几组对应值：
位置
线段
在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，另外两条线段的长度都是这个自变量的函数；
描点，连线：在同一平面直角坐标系中，画出中所确定的两个函数的图象；
解决问题：结合图象，当时．的长度大约是______保留两位小数．
如图，菱形与菱形的顶点重合，，已知菱形绕点旋转的角度为．
如图，当点在对角线上时，______；
如图，当菱形按顺时针方向旋转的角度为，线段与之间的数量关系为______，并证明你的结论；
如图，在菱形旋转的过程中，当点，，在同一条直线上时，连接并延长，交于点，若，，求的长．
已知如图，二次函数的图象与轴相交于点、两点，与轴相交于点，连接、，，抛物线的顶点为．
求抛物线的解析式；
抛物线的对称轴上有一动点，当取得最小值时，点坐标为______；此时与的位置关系是______，______；
抛物线对称轴右侧的函数图象上是否存在点，满足，若存在求点的横坐标；若不存在，请说明理由；
若抛物线上一动点，当时，直接写出点坐标______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
无理数有，，共有个，
故选：．
根据无理数的定义求解即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
2.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意．
B、，故B符合题意．
C、，故C不符合题意．
D、，故D不符合题意．
故选：．
先化简原数，然后根据同类二次根式的定义即可求出答案．
本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式，本题属于基础题型．
3.【答案】
【解析】解：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以说法错误；
顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，说法正确；
已知点为线段的黄金分割点，，则或；
当的角在一个三角形中是底角，在另一个三角形中是顶角时，两三角形不相似，所以说法错误．
故正确的有个，
故选：．
根据矩形的判定方法对进行判断；根据中点四边形对进行判断；根据黄金分割对进行判断；根据相似三角形的判定对进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4.【答案】
【解析】解：多边形的边数：，
从一个顶点出发可以引对角线的条数：条，
故选：．
首先计算出多边形的边数，再根据边形从一个顶点出发可引出条对角线可得答案．
此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握边形从一个顶点出发可引出条对角线．
5.【答案】
【解析】解：“是有理数，”是真命题，即“是有理数，”这一事件是必然事件．
故选A．
首先判断命题的真假，然后根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念即可求解．
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念的应用，解此题的关键是需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6.【答案】
【解析】解：、原式是最简分式，故此选项符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项不符合题意；
故选：．
利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可．
本题考查最简分式，理解最简分式即分子分母没有公因式的分式是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
≌；
，
，
，
，
≌；
，
，
，
≌；
，
≌；
，
，
，，
≌，≌．
故选：．
≌，≌，≌，≌，≌，≌，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、做题时要由易到难，不重不漏．
8.【答案】
【解析】设今年月份每辆车的销售价格为万元，则去年的销售价格为万元辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．
解：设今年月份每辆车的销售价格为万元，则去年的销售价格为万元辆，
根据题意，得：，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
展开前面右面由勾股定理得；
展开前面上面由勾股定理得；
展开左面上面由勾股定理得．
所以最短路径的长为．
故选：．
把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
同理，，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积
，
故选：．
根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，共有个点均可与点和组成直角三角形，
则使为直角三角形的概率是：．
故选：．
由取定点和，在余下的个点中任取一点，使为直角三角形的有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题主要考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
12.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
．
时，，图象为开口向上的抛物线；
当时，如下图所示，
，
，图象为开口向下的抛物线；
故选：．
当时，，当时，如下图所示，即可求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
13.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
先提公因式，再连续利用平方差公式即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
14.【答案】或
【解析】解：以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点的坐标为，
点的对应点的坐标为或，即或，
故答案为：或．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
15.【答案】或
【解析】解：当时，光传播的距离为千米，则；当时，光传播的距离为千米，则因为，所以可能为或，
故答案为：或．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
16.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组恰有两个整数解，
，
解得，
解分式方程得，
由题意知，
解得且，
则满足，且且的所有整数有、，
所以所有满足条件的整数的值之和是，
故选：．
解不等式组得，根据其有两个整数解得出，解之求得的范围；解分式方程求出，由解为正数且分式方程有解得出，解之求得的范围；综合以上的范围得出的整数值，从而得出答案．
本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握根据不等式组整数解的个数得出的范围，根据分式方程解的情况得出的另一个范围．
17.【答案】解：原式
．
【解析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用绝对值的性质和二次根式的乘法法则进行计算，最后计算加减即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握特殊角的三角函数值和绝对值的性质，注意计算顺序．
18.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19.【答案】解：整理为，
这里：，，，
，
，
解得：，．
【解析】方程利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
20.【答案】解：过作轴的垂线，垂足为，
的坐标为，
，
，
，
的坐标为．
把代入得：，
反比例函数为，
把代入得：，
，
把和代入得：
，
解得：，，
一次函数的解析式为：；
在中，令，得，
，
．
设点的坐标为，
则由得，
，
即，
解得：或，
即的坐标为或．
【解析】过作轴的垂线，垂足为，求出，根据求出，得出的坐标，把的坐标代入即可求出反比例函数的解析式，求出的坐标，把、的坐标代入一次函数的解析式，即可求出解析式；
首先求出，根据三角形面积公式求出的面积；设点的坐标为根据得出，求出即可．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，函数的图象的应用，解此题的关键是能综合运用知识点进行计算，数形结合思想的应用，难度适中．
21.【答案】解：居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为；
画树状图如图：
共有种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有种，
居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为．
【解析】直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法求概率，正确的画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：点的运动路径长为 ，
点的运动路径长为；
如图，过点作于，过点作于，
由题意可知，，
，，
，，
，，
，
此时杯子最高点距离桌面的距离为．
【解析】直接代入弧长公式即可得出答案；
过点作于，过点作于，由题意可知，，利用，，得，，从而得出答案．
本题主要考查了解直角三角形的应用，弧长公式的运用等知识，作辅助线构造合适的直角三角形是解题的关键．
23.【答案】教育 教育支出的平均数高于社会保障和就业支出的平均数，也高于交通运输支出的平均数
【解析】解：根据折线统计图可知，年期间甘肃省政府在教育、社会保障和就业、交通运输这三个领域，对于教育的投入最多，理由是：
教育支出的平均数高于社会保障和就业支出的平均数，也高于交通运输支出的平均数．
故答案为：教育，教育支出的平均数高于社会保障和就业支出的平均数，也高于交通运输支出的平均数；
由折线图可知，
年与年甘肃省在交通运输方面的财政支出分别是亿元，亿元，所以与年相比年甘肃省在交通运输方面的财政支出下降了，故结论错误，不符合题意；
年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长，故结论正确，符合题意；
年甘肃省在社会保障和就业的支出为亿元，交通运输的的支出为亿元，所以年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的倍还多亿元，故结论错误，不符合题意．
故答案为：；
年这年中甘肃省在教育支出的平均数为亿元，高于与年的平均数，
又连续年教育支出的平均数大于亿元，
不是去掉的年的教育支出，
该小组去掉的年份是年．
故答案为：．
根据表格中平均数的大小即可解答；
根据折线统计图即可解答；
根据年教育支出的平均数大于亿元，可知该小组去掉的年份教育支出费用小于亿元，又因为计算的是连续年教育支出的平均数，即可得到该小组去掉的年份．
本题考查的是折线统计图与统计表的运用．读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数、极差与中位数．
24.【答案】解：根据题意得：点坐标为，
点是过点，，三点抛物线的顶点，点坐标为，
设抛物线的解析式为：
，把点代入得：
，
解得：，
过点，，三点的抛物线表达式为；
把代入中解析式得：
，
解得：，，
点在点的左侧，
，
由题意知：小明通过桥面的速度为：米分，
小明通过桥面需要时间为：分钟．
答：小明通过桥面需分钟．
【解析】根据题意用待定系数法求函数解析式即可；
把代入中解析式，求得，然后求出小明行走的速度，再求出小明通过桥面的时间即可．
本题考查了二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
25.【答案】证明：，
．
．
，
．
．
，
．
，
．
．
即．
．
是的半径，
是的切线；
解：是的直径，
．
，
．
．
，
∽．
．
．
．
是的直径，
．
，
设，则，
，
．
解得：．
，
．
，．
．
由知：，
．
，
．
，
．
，
，
，
∽．
．
．
．
．
【解析】利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质，通过计算得到，根据圆的切线的判定定理即可得出结论；
通过证明∽，利用相似三角形的性质求得，利用勾股定理求得线段，，的长；再证明等腰∽，利用相似三角形的性质求得则，结论可求．
本题主要考查了圆的切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，利用相似三角形的性质得到比例式进而求得相应线段的长度是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：由图表观察，可看出随着的变化，和都在发生变化，且都有唯一确定的值和其对应，所以的长度是自变量，和的长度都是这个自变量的函数．
故答案为：；
由图象可推断：当时，线段的长度约为．
故答案为：．
由自变量的定义即可求解；
描点、连线绘制的图象即可；
从图象看，两个曲线相交时，，即可求解．
本题为圆的综合题，主要考查的是动点问的函数图象探究题，考查了函数图象的画法以及转化的数学思想．
27.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点．
四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案是：；
理由如下：
如图中，连接．
四边形、四边形都是菱形，，
，
．
∽，
，
．
，
∽，
，
．
故答案是：；
如图中，
，，，
，
，
∽，
，
．
，，
，
，
，
．
，
．
如图中，作于证明，推出，即可解决问题．
结论：如图中，连接证明∽，可得．
如图中，证明∽，推出，由此即可解决问题．
本题考查四边形综合题，考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
28.【答案】 或
【解析】解：二次函数，令，则，
点的坐标为，即，
，即，
，
点的坐标为，
把 代得，
解得：，
抛物线的解析式为；
，
抛物线的顶点的坐标为对称轴为，
解方程，得：，，
点的坐标为，
连接交对称轴于点，此时，，取得最小值，
，
的最小值为，
设直线的解析式为，
把 代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点坐标为；
，，，
，，
为等腰直角三角形，
与的位置关系是：，
，
，
故答案为：；；；
设对称轴与轴交于点，交于点，
，
，
由得，
，
，
，
点坐标为，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
由得，，，
点的横坐标为；
同理得直线的解析式为，
由得，，，
点的横坐标为；
综上，点的横坐标为或；
，，
，
同得点的坐标为，
直线的解析式为，
由得，，，
点的横坐标为；
同理得直线的解析式为，
由得，，，
点的横坐标为；
综上，点的横坐标为或
故答案为：或
求得点的坐标和点的坐标，利用待定系数法即可求解；
连接交对称轴于点，此时取得最小值，求得直线的解析式，即可求得点坐标，进一步计算即可求解；
分类求解，利用，求得点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，联立方程即可求解；
先求得，同的方法即可求解．
本题考的查是二次函数综合题，涉及到待定系数法求二次函数解析式，抛物线上点的坐标特点、二次函数的性质，锐角三角函数及勾股定理等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，综合性较强，有一定的难度．难度较大，在解答时要注意进行分类讨论．
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