2013届高考数学二轮复习精品教学案专题08 直线和圆（教师版）

【2013考纲解读】
1.掌握直线斜率与倾斜角、直线方程、两条直线平行垂直、距离等.
2.掌握确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系;初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
【知识络构建】
【重点知识整合】
1．直线的斜率
直线与圆的位置关系有相交、相切和相离三种，解决问题的方法主要有点线距离法和判别式法．
(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr?直线与圆相离．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组消去y得x的一元二次方程判别式Δ，
①直线与圆相离?Δ<0；②直线与圆相切?Δ＝0；
③直线与圆相交?Δ>0.
7．圆与圆的位置关系
设r1，r2分别为两圆半径，d为两圆圆心距．
(1)d>r1＋r2?两圆外离；
(2)d＝r1＋r2?两圆外切；
(3)|r1－r2|(4)d＝|r1－r2|?两圆内切；
(5)d<|r1－r2|?两圆内含．
【高频考点突破】
考点一 直线方程
1．直线方程的五种形式：
(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)；
(2)斜截式：y＝kx＋b；
(3)截距式：＋＝1；
(4)两点式：＝；
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)．
2．直线与直线的位置关系的判定方法:
(1)给定两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，则有下列
结论：
l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.
(2)若给定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：
A2x＋B2y＋C2＝0，则有下列结论：
l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
例1、过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．
【方法技巧】
1．求直线方程主要是待定系数法．要注意方程的选择若与Ax＋By＋C＝0平行，则直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(C≠m)．
2．利用系数研究两直线平行、垂直时，要注意其充要性．
3．注意直线的倾斜角的范围[0, π).
考点二 圆的方程
1．标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r.
2．一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
圆心坐标为(－，－)，半径r＝.
例2、已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．
【方法技巧】求圆的方程一般有两类方法
(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；
(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．其一般步骤是：
①根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；
②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．
此外，根据条件，要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量.
考点三 直线与圆的关系
1．点与圆的位置关系转化为点与圆心的距离与r的关系．
2．直线与圆的位置关系：用圆心到直线的距离d与半径r来判断，比用方程判别式简洁．
3．圆与圆的位置关系．
设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，
则|O1O2|＞r1＋r2?两圆相离；
|O1O2|＝r1＋r2?两圆外切；
|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2?两圆相交；
|O1O2|＝|r1－r2|?两圆内切；
|O1O2|＜|r1－r2|?两圆内含．
例3、设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．
【方法技巧】
1．有关直线与圆的相交问题要注意灵活运用圆的几何性质，特别是弦心距、弦长一半和半径满足勾股定理．
2．与圆有关的最值、范围问题要注意数形结合思想的应用．
3．圆的切线问题一般是利用d＝r求解，但要注意切线的斜率不存在的情形．
4．圆与圆锥曲线相结合时要注意结合图形分析，抓住其结构特征进行求解．
【难点探究】
难点一　直线与方程
例1 过定点P(2,1)且与坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是________．
【答案】x＋2y－4＝0或(＋1)x－2(－1) y－4＝0或(－1)x－2(＋1)y＋4＝0　
【解析】 设所求的直线方程为＋＝1.
∵直线过点P(2,1)，∴＋＝1，即a＋2b＝ab.①
又由已知，可得|ab|＝4，即|ab|＝8.②
由①、②可得或
解得a＝4，b＝2或a＝4(－1)，b＝－2(＋1)或a＝－4(＋1)，b＝2(－1)，
故所求直线方程为x＋2y－4＝0或(＋1)x－2(－1)y－4＝0或(－1)x－2(＋1)y＋4＝0.
【变式探究】(1)过点P(－1,3)，且倾斜角比直线y＝(2－)x＋的倾斜角大45°的直线的方程是(　　)
A.x＋y＋3＋＝0
B．(3－2)x＋y＋3＋2＝0
C.x－y＋3＋＝0
D．(3＋2)x－y＋6＋2＝0
(2)已知三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4，这三条直线不能构成一个三角形时的m值的集合M＝________.
若l1∥l2，则＝≠，∴m＝4；
若l1∥l3，则＝－≠，∴m＝－；
若l2∥l3，显然m＝0时不平行，当m≠0时，＝≠，无解．
难点二 圆的方程的应用
例2已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝________.
【变式探究】已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
【规律技巧】
1．确定直线的几何要素，一个是它的方向，一个是直线过一个点．在解析几何里面用得最广泛的就是直线方程的点斜式．
2．求圆的方程要确定圆心的坐标(横坐标、纵坐标)和圆的半径，这实际上是三个独立的条件，只有根据已知把三个独立条件找出才可能通过解方程组的方法确定圆心坐标和圆的半径，其中列条件和解方程组都要注意其准确性．
3．直线被圆所截得的弦长是直线与圆相交时产生的问题，是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．解决的方法，一是根据平面几何知识结合坐标的方法，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即如果圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，则圆被直线所截得的弦长l＝2；二是根据求一般的直线被二次曲线所截得的弦长的方法解决．
【历届高考真题】
【2012年高考试题】
1.【2012高考真题重庆理3】任意的实数k，直线与圆的位置关系一定是
A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
【答案】C
【解析】直线恒过定点，定点到圆心的距离，即定点在圆内部，所以直线与圆相交但直线不过圆心，选C.
2.【2012高考真题浙江理3】设a∈R ，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的
A 充分不必要条件 　　　B 必要不充分条件
C 充分必要条件 　　　　　D 既不充分也不必要条件
4.【2012高考真题陕西理4】已知圆，过点的直线，则（ ）
A.与相交 B. 与相切 C.与相离 D. 以上三个选项均有可能
5.【2012高考真题天津理8】设，若直线与圆相切，则m+n的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【解析】圆心为，半径为1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足，即，设，即，解得或
6.【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 ▲ ．
8.【2012高考真题湖南理21】（本小题满分13分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.
【答案】（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为，由已知得
，
易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以
.
化简得曲线的方程为.
设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故
②
由得 ③
设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以
④
同理可得
⑤
【2011年高考试题】
1.(2011年高考重庆卷理科15)设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为
2. (2011年高考广东卷理科19)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.
（1）求C的圆心轨迹L的方程.
（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.
【解析】（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知

化简得L的方程为
（2）解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得
3．(2011年高考福建卷理科17)（本小题满分13分）
已知直线l：y=x+m，m∈R。
（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。
解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。
（I）依题意，点P的坐标为（0，m）
因为，所以，
解得m=2，即点P的坐标为（0，2）
从而圆的半径
故所求圆的方程为
4．(2011年高考上海卷理科23)（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。
（1）求点到线段的距离；
（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；
（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，
解析：是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②
6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
。
② 。
③ 。
解：⑴ 设是线段上一点，则
，当时，。
③ 选择。
【2010年高考试题】
1.（2010江西理数）8.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是
A. B. C. D.
2.（2010重庆理数）(8) 直线y=与圆心为D的圆交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为
A. B. C. D.
答案：C
解析：数形结合

由圆的性质可知
故
3. （2010安徽理数）9、动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是
A、 B、 C、 D、和
4.（2010全国卷2理数）（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离 ．
【答案】3
【解析】设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵，所以，∴，由球的截面性质，有，∵，所以与全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，
5.（2010四川理数）（14）直线与圆相交于A、B两点，则 .