2013届高考数学二轮复习精品教学案专题10 排列、组合、二项式定理（教师版）

【2013考纲解读】
1.理解并运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；
2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；
3.能用计数原理证明二项式定理； 会用 二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.?　　
【知识络构建】
【重点知识整合】
1．两个基本原理
(1)分类加法计数原理；
(2)分类乘法计数原理；
2．排列
(1)定义；
(2)排列数公式：A＝(n，m∈N，m≤n)；
3．组合
(1)定义；(2)组合数公式；(3)组合数的性质：C＝C(m，n∈N，且m≤n)；C＝C＋C(m，n∈N，且m≤n)．
4．二项式定理
(a＋b)n展开式共有n＋1项，其中r＋1项Tr＋1＝Can－rbr.
5．二项式系数的性质
二项式系数是指C，C，…，C这n＋1个组合数．
二项式系数具有如下几个性质：
(1)对称性、等距性、单调性、最值性；
(2)C＋C＋C＋…＋C＝C；
C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n；
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1；
C＋2C＋3C＋…＋nC＝n·2n－1等．
【高频考点突破】
考点一 两个计数原理的应用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
例1、给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种(结果用数值表示)．
解析：〈1〉以黑色正方形的个数分类，
①若有3个黑色正方形，则有C＝4种；②若有2个黑色正方形，则有C＝10(种)；③若有1个黑色正方形，则有C＝6(种)；④若无黑色正方形，则有1种．
∴共4＋10＋6＋1＝21(种)．
〈2〉法一：至少有2个黑色正方形相邻包括有2个黑色正方形相邻，有3个黑色正方形相邻，有4个黑色正方形相邻，有5个黑色正方形相邻，有6个黑色正方形相邻．
①只有2个黑色正方形相邻，有A＋A＋C＝23(种)；
②只有3个黑色正方形相邻，有C＋A＋C＝12(种)；
③只有4个黑色正方形相邻，有C＋C＝5(种)；
④只有5个黑色正方形相邻，有C＝2(种)；
⑤有6个黑色正方形相邻，有1(种)．
共23＋12＋5＋2＋1＝43(种)．
法二：所求事件的对立事件为“黑色正方形互不相邻”，由〈1〉知共有21种，而给6个相连正方形着黑色、白色的方案共有26种，故所求事件的种数为：26－21＝43.
答案：21　43
【变式探究】正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在 任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 (　　)
A．20　　　　　B．15
C．12 D．10
【方法技巧】
1．在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步．每一步当中又可能用到分类计数原理．
2．对于较复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.
考点二 排列组合
1．排列数公式：
A＝n(n－1)…(n－m＋1)＝.
2．组合数公式：
C＝＝＝.
3．组合数的性质：
①C＝C；②C＋C＝C.
例2、由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 (　　)
A．72 B．96
C．108 D．144
【变式探究】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为________．
考点三 二项式定理
1．二项式定理：
(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn.
2．通项与二项式系数：
Tr＋1＝Can－rbr，其中C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．
3．各二项式系数之和：
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.
4．二项式系数的性质：
(1)二项式系数首末两端“等距离”相等，即C＝C.
(2)二项式系数最值问题
当n为偶数时，中间一项即第＋1项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项即第，项的二项式系数，相等且最大．
例3、(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 (　　)
A．－40 B．－20
C．20 D．40
【变式探究】设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21， 则a10＋a11＝__________.
【方法技巧】在应用通项公式时，要注意以下几点
(1)它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定．
(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项而不是第r项．
(3)二项式系数与项的系数不同，项的系数除包含二项式系数外，还与a、b中的系数有关．
【难点探究】
难点一　计数原理
例1、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图18－1所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有(　　)
A．22种 B．24种
C．25种 D．36种
难点二　排列与组合
例2、在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且女医生不安排在同一乡医院工作，则不同的分配方法总数为(　　)
A．78 B．114 C．108 D．120
【分析】 先分组后分配，然后减去两名女医生在一个医院的情况．
【答案】B　
【解析】 五人分组有(1,1,3)，(1,2,2)两种分组方案，方法数是＋＝25，故分配方案的总数是25A＝150种．当仅仅两名女医生一组时，分组数是C，当两名女医生中还有一名男医生时，分组方法也是C，故两名女医生在一个医院的分配方案是6A＝36.符合要求的分配方法总数是150－36＝114.
难点三　二项式定理
例3、 若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．
1.【2012高考真题重庆理4】的展开式中常数项为
A. B. C. D.105
2.【2012高考真题浙江理6】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A.60种 　　　B.63种 　　　C.65种 　　D.66种
【答案】D
【解析】从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第一类是取四个偶数，即种方法；第一类是取两个奇数，两个偶数，即种方法；第三类是取四个奇数，即故有5+60+1=66种方法。故选D。
3.【2012高考真题新课标理2】将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
种 种 种 种
4.【2012高考真题四川理1】的展开式中的系数是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】由二项式定理得，所以的系数为21，选D.
5.【2012高考真题四川理11】方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、60条 B、62条 C、71条 D、80条
6.【2012高考真题陕西理8】两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）
A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种
【答案】C.
【解析】首先分类计算假如甲赢，比分3：0是1种情况；比分3：1共有3种情况，分别是前3局中（因为第四局肯定要赢），第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是3：2共有6种情况，就是说前4局2：2，最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2局获胜，有6种情况.甲一共就1+3+6=10种情况获胜.所以加上乙获胜情况，共有10+10=20种情况.故选C.
7.【2012高考真题山东理11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为
（A）232 (B)252 (C)472 (D)484
8.【2012高考真题辽宁理5】一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！
9.【2012高考真题湖北理5】设，且，若能被13整除，则
A．0 B．1
C．11 D．12
【答案】D
【解析】由于
51=52-1，,
又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12选D.
10.【2012高考真题北京理6】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
11.【2012高考真题安徽理7】的展开式的常数项是（ ）
[
【答案】D
【解析】第一个因式取，第二个因式取 得：，
第一个因式取，第二个因式取得： 展开式的常数项是．
12.【2012高考真题安徽理10】6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为（ ）
或 或 或 或
13.【2012高考真题天津理5】在的二项展开式中，的系数为
（A）10 （B）-10
（C）40 （D）-40
【答案】D
【解析】二项展开式的通项为，令，解得，所以，所以的系数为，选D.
14.【2012高考真题全国卷理11】将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种
15【2012高考真题重庆理15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.
16.【2012高考真题浙江理14】若将函数表示为， 其中，，，…，为实数，则＝______________．
【答案】10
【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．
即：．
法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即．
18.【2012高考真题上海理5】在的二项展开式中，常数项等于 。
【答案】
【解析】二项展开式的通项为，令，得，所以常数项为。
19.【2012高考真题广东理10】的展开式中x3的系数为______．（用数字作答）
【答案】20

【解析】，令得，所以．
21.【2012高考真题福建理11】（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________.
【答案】2．
【解析】根据公式得，含有的项为，所以.
22.【2012高考真题全国卷理15】若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.
【2011年高考试题】
1．(2011年高考天津卷理科5)在的二项展开式中，的系数为（ ）
A． 　　　B． 　　　C． 　　　　D．
【答案】C
【解析】因为,所以容易得C正确.
3. (2011年高考湖北卷理科11)的展开式中含的项的系数为 （结果用数值表示）
答案：17
解析：由 令，解得r=2，故其系数为
4.(2011年高考全国卷理科13) (1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 .
5．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）
设整数，是平面直角坐标系中的点，其中
（1）记为满足的点的个数，求；
（2）记为满足是整数的点的个数，求
【2010年高考试题】
1.（2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
【答案】B
【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.
2.（2010江西理数）6. 展开式中不含项的系数的和为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.（2010重庆理数）(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
4.（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144
解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法w_w_wu.c om
①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3＝24个
②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3＝12个
算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个
答案：C
5.（2010天津理数）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
（A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种
【答案】D
【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。
B,D,E,F用四种颜色，则有种涂色方法；
B,D,E,F用三种颜色，则有种涂色方法；
B,D,E,F用两种颜色，则有种涂色方法；
所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。
6.（2010湖北理数）8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152 B.126 C.90 D.54
7.（2010全国卷2理数）（14）若的展开式中的系数是，则 ．
【答案】1
【解析】展开式中的系数是.
9.（2010江西理数）14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。
【答案】 1080
【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先分组，考虑到有2个是平均分组，得，再全排列得：
11.（2010天津理数）（11）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。
12.（2010湖北理数）11、在（x+ ）的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。
【答案】6
【解析】二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.