2013届高考数学二轮复习精品教学案专题04 三角函数和解三角形（教师版）

【2013考纲解读】
1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出,的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,.
3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-,)内的单调性.
4.了解函数的物理意义；能画出的图象，了解对函数图象变化的影响.
5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.
6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换
【知识络构建】

【重点知识整合】
一、三角恒等变换与三角函数
1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:
(1)方程思想:, ,三者中,知一可求二;
2.函数的问题:
(1)“五点法”画图:分别令、、、、，求出五个特殊点；
(2)给出的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是,一般从“五点法”中取靠近轴较近的已知点代入突破;
二、解三角形
1．正弦定理
已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．
2．余弦定理
已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝，另外两个同样．
3．面积公式
已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则
(1)三角形的面积等于底乘以高的；
(2)S＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝(其中R为该三角形外接圆的半径)；
(3)若三角形内切圆的半径是r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r；
(4)若p＝，则三角形的面积S＝.
【高频考点突破】
考点一 三角函数的概念、诱导公式
1．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．对于形如2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，2π－α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个将角α看成锐角时，原函数值的符号；对于形如±α，±α的三角函数值，等于角α的余名三角函数值，前面加上一个将角α看成锐角时，原函数值的符号．
例1、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝_______.
【方法技巧】1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；
2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件.
考点二 三角函数的性质
三角函数的单调区间：
y＝sinx的递增区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)；
y＝cosx的递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，
递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
y＝tanx的递增区间是(kπ－，kπ＋)(k∈Z)．
例2、已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b＋.
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．
【变式探究】已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是 (　　)
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z)
C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z)
解析：因为当x∈R时，f(x)≤|f()|恒成立，所以f()＝sin(＋φ)＝±1，可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－.因为f()＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ，故sinφ<0，所以φ＝2kπ－，所以f(x)＝sin(2x－)，函数的单调递增区间为－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
所以x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
答案：C
【方法技巧】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．
(2)求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间常用换元法：将ωx＋φ作为一个整体，若求单调增区间，令ωx＋φ∈(k∈Z)；若求单调减区间，则令ωx＋φ∈(k∈Z)．值得注意的是，若ω<0，则需要利用诱导公式将其转换为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再用换元法求单调区间.
例3、已知函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图像经过点(0,1)，如图所示．
(1)求f1(x)的表达式；
(2)将函数f1(x)的图像向右平移个单位长度得到函数f2(x)的图像，求y＝f1(x)＋f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．
解： (1)由题图知，函数f1(x)的周期T＝－(－)＝π，∴|ω|＝＝2.
又ω>0，故ω＝2.
又点(－，0)为函数f1(x)图像一个周期内五点的起点．
∴2·(－)＋φ＝0.从而φ＝，
故f1(x)＝Asin(2x＋)，
又f1(x)的图像过点(0,1)．
∴1＝Asin(2×0＋)，得A＝2，
由此可得到f1(x)的表达式为f1(x)＝2sin(2x＋)．
【变式探究】已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图像如图，则f()＝ (　　)
A．2＋　　　　B. C. D．2－
考点四 三角变换及求值
三角函数求值有以下类型：
(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变
换求三角函数式的值；
(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的
其他三角函数式的值；
(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角．
例1、已知函数f(x)＝2sin(x－)，x∈R.
(1)求f (0)的值；
(2)设α，β∈[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝.
求sin(α＋β)的值．
解：(1)∵f(x)＝2sin(x－)，
∴f(0)＝2sin(－)＝－1.
(2)∵α，β∈[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝.
∴2sinα＝，2sin(β＋)＝.
即sinα＝，cosβ＝.
∴cosα＝，sinβ＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.
【变式探究】已知：cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，则α＋β的值为________．
考点五 正、余弦定理的应用
解三角形的一般方法是：
(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，
由正弦定理求a、b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦
定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用
正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．
(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
例5、△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且lga－lgb＝lgcosB－lgcosA≠0.
(1)判断△ABC的形状；
(2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(－m＋n)＝14，求a，b，c.
解：(1)由题lga＋lgcosA＝lgb＋lgcosB，故acosA＝bcosB，
由正弦定理sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.
又cosA>0，cosB>0，故A，B∈(0，)，2A,2B∈(0，π)．
因a≠b?A≠B，故2A＝π－2B.
即A＋B＝，故△ABC为直角三角形．
(2)由于m⊥n，所以2a2－3b2＝0， ①
且(m＋n)·(－m＋n)＝n2－m2＝14，
即8b2－3a2＝14. ②
联立①②解得a2＝6，b2＝4，
故在直角△ABC中，a＝，b＝2，c＝.
考点 六 解三角形与实际应用问题
在实际生活中，测量底部不可到达的建筑物的高度、不可到达的两点的距离及航行中的方位角等问题，都可通过解三角形解决．
例6、如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
解：由题意知AB＝5(3＋)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30)°＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得＝，
∴DB＝＝
＝
＝＝10(海里)，
【方法技巧】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步
(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；
(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．
【难点探究】
难点一　简单的三角恒等变换
例1 、(1)若0<α<，－<β<0，cos（＋α）＝，cos（－）＝，则cos（α＋）＝(　　)
A. B．－ C. D．－
(2)已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________．
【答案】(1)C　(2)－　
【解析】 (1)∵cos＝，0<α<，
∴sin＝.又∵cos＝，－<β<0，
∴sin＝，
【点评】 在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，把＋2α变换成2，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝
(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等；在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂，则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已知条件．
难点二　三角函数的图象
例2 (1)已知函数f(x)＝Atan(ωx+φ)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f ＝________.

(2)要得到函数y＝cos（2x＋）的图象，只需将函数y＝sin2x＋cos2x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【点评】 (1)根据函数图象求函数的解析式，主要是根据函数的图象发现函数的性质，如周期性、对称性、特殊点等，然后根据这些性质求出函数解析式中的未知数，在本题中的函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期是，注意这是近几年来考查的为数不多的一个正切型函数；(2)在进行三角函数的图象变换时，要把需要变换的两个函数化为同一种类型的函数，再根据两个函数解析式的差别确定变换方法．
　　难点三　三角函数的性质　
例3、已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f >f(π)，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【答案】C　
【规律方法】1．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．
2．进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，特别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函数y＝sin的图象向左平移个单位时，得到的是函数y＝sin＝sin2x＋的图象．
3．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．
难点四　正余弦定理的应用
例4、 (1)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sinA＝，则a＝________.
(2)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是(　　)
A B. C. D.
【答案】(1)　(2)C　
【解析】 (1)由正弦定理有：＝，即＝，得a＝.　
(2)根据正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，即有cosA≥，所以角A的取值范围为，选择C.
【点评】 解三角形依靠的就是正弦定理和余弦定理．正弦定理解决的是已知三角形两边和一边的对角、三角两内角和其中一边两类问题，余弦定理解决的是已知三角形两边及其夹角、已知三角形三边的两类问题．在解题中只要分析清楚了三角形中的已知元素，就可以选用这两个定理中的一个求解三角形中的未知元素．本例的第二小题中的不等式看上去是角的正弦的一个不等式，实际上给出的是边的不等式，正弦定理在三角形的边角关系互化中起关键作用．
难点五　函数的图象的分析判断
例5 、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.
【点评】 本题的难点是变换＝时，变换方向的选取，即是把角的函数转化为边的关系，还是把边转化为角的三角函数，从已知式的结构上看，把其中三个内角的余弦转化为边的关系是较为复杂的，而根据正弦定理把其中边的关系转化为角的正弦，则是较为简单的，在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．
难点六　解三角形的实际应用
例6、如图6－1，渔政船甲、乙同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30 km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B、D两处相距42 km，问渔政船乙要航行多少千米才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救？
【分析】 即求线段BC的长度．根据题意，在△BCD中，已知BD，DC，因此只要求出∠BDC的余弦值，即可根据余弦定理求出BC.根据三角形的外角定理，∠BDC＝∠ABD＋60°，只要在△ABD中根据正弦定理求出∠ABD的正弦值，然后根据同角三角函数关系求出其余弦值，再根据和角的余弦公式即可求出∠BDC的余弦值．
【变式探究】如图6－2，某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船？并指出巡逻艇航行方向．
【规律技巧】1．使用正弦定理能够解的三角形有两类，一类是已知两边及其中一边的对角，一类已知一边和两个内角(实际就是已知三个内角)，其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出第三边，再求内角．在使用正弦定理求三角形内角时，要注意解的可能情况，判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角．
2．当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理、也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角．
3．正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．
【历届高考真题】
【2012年高考试题】
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理5】设是方程的两个根，则的值为
（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3
2.【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是
3.【2012高考真题新课标理9】已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ）

【答案】A
【解析】函数的导数为，要使函数在上单调递减，则有恒成立，
则，即，所以
，当时，，又，所以有
，解得，即，选A.
4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）
A、 B、 C、 D、
5.【2012高考真题陕西理9】在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由余弦定理知
，故选Ｃ．
6.【2012高考真题山东理7】若，，则
（A） （B） （C） （D）
7.【2012高考真题辽宁理7】已知，(0，π)，则=
(A) 1 (B) (C) (D) 1
8.【2012高考真题江西理4】若tan+ =4,则sin2=
A． B. C. D.
【答案】D
【解析】由得， ，即，所以，选D.
9.【2012高考真题湖南理6】函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为
A． [ -2 ,2] B.[-,] C.[-1,1 ] D.[- , ]
10.【2012高考真题上海理16】在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C
【解析】根据正弦定理可知由,可知，在三角形中，所以为钝角，三角形为钝角三角形，选C.
11.【2012高考真题天津理2】设则“”是“为偶函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件
12.【2012高考真题天津理6】在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知8b=5c，C=2B，则cosC=
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】因为,所以,根据正弦定理有，所以，所以。又，所以，选A.
13.【2012高考真题全国卷理7】已知α为第二象限角，，则cos2α=
(A) （B） (C) (D)
二、填空题
14.【2012高考真题湖南理15】函数f（x）=sin ()的导函数的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.
（1）若，点P的坐标为（0，），则 ;
（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 .
【答案】（1）3；（2）
15.【2012高考真题湖北理11】设△的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角 ．
【答案】
【解析】

16.【2012高考真题北京理11】在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，则b=_______。
【答案】4
【解析】在△ABC中，利用余弦定理 ，化简得：，与题目条件联立，可解得.
17.【2012高考真题安徽理15】设的内角所对的边为；则下列命题正确的是
①若；则 ②若；则
③若；则 ④若；则
⑤若；则
18.【2012高考真题福建理13】已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.
【答案】．
【解析】设最小边长为，则另两边为.所以最大角余弦
19.【2012高考真题重庆理13】设的内角的对边分别为，且，,则
20.【2012高考真题上海理4】若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
【答案】
【解析】设倾斜角为，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则，
∴=。
22.【2012高考江苏11】（5分）设为锐角，若，则的值为 ▲ ．
【答案】。
【解析】∵为锐角，即，∴。
∵，∴
∴。
∴。
∴
。
三、解答题
23.【2012高考真题新课标理17】（本小题满分12分）
已知分别为三个内角的对边，
（1）求 （2）若，的面积为；求.
24.【2012高考真题湖北理17】（本小题满分12分）
已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.
【答案】（Ⅰ）因为
.
由直线是图象的一条对称轴，可得，
所以，即．
又，，所以，故.
所以的最小正周期是.
【2011年高考试题】
一、选择题:
1.(2011年高考安徽卷理科9)已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
（A） （B）
（C） （D）
2.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=则（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案： D
解析：由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA，
故sinB=sinA，所以；
3.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案： A
解析：
4.(2011年高考浙江卷理科6)若，，，，则
（A） （B） （C） （D）二、填空题:
1.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f（x）=Atan（x+）（＞0，），y=f（x）的部分图像如下图，则f（）=____________.
答案：
解析：函数f(x)的周期是，故，由得.所以，故.
2.(2011年高考安徽卷理科14)已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________
6.(2011年高考安徽卷江苏7)已知 则的值为__________
【答案】
【解析】因为,而=-cot2x,所以,又因为,所以解得,所以的值为.
三、解答题:
1. (2011年高考山东卷理科17)（本小题满分12分）
在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
求的值；
若cosB=，,求的面积.
3. (2011年高考天津卷理科15)（本小题满分13分）
已知函数，
（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）设，若求的大小．
（Ⅱ）由得即
,
整理得: ,因为,所以可得,解得,由得,所以
,.
4. (2011年高考江西卷理科17)（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin
（1）求sinC的值
（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求边c的值
5. (2011年高考湖南卷理科17) （本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.
求角的大小；
求的最大值，并求取得最大值时角的大小.
解：由正弦定理得
因为，所以.从而.又，所以，
则
由知，，于是=
==
因为，所以.从而当，即时，
取最大值2.
综上所述，的最大值2，此时，.
6. (2011年高考广东卷理科16)（本小题满分12分）
已知函数
（1）求的值；
（2）设求的值.
故
7. (2011年高考湖北卷理科16)（本小题满分10分）
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为，已知.
(Ⅰ) 求△ABC的周长；
(Ⅱ)求cos(A—C.)
8．(2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理
【解析】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积。或，，
证法一 ，如图
即
同理可证，
证法二：已知
建立直角坐标系，则

同理可证
9.(2011年高考重庆卷理科16)（本小题满分13分）
设满足，求函数 在上的最大值和最小值
10. (2011年高考四川卷理科17)（本小题共12分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知，，求证：.
解析：（Ⅰ）∵
，
∴的最小正周期是，当，
即时，函数取得最小值-2.
11.(2011年高考全国卷理科17) (本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=b，求C.
【解析】：由正弦定理得，
由，即
A+B+C=1800 ，，
即，由A-C=900 得A=900+C

即


12.(2011年高考安徽卷江苏15)在△ABC中，角A、B、C所对应的边为
（1）若 求A的值；
（2）若，求的值.
13．(2011年高考北京卷理科15)（本小题共13分）
已知函数。
（Ⅰ）求的最小正周期：
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。
解：（Ⅰ）因为




【2010年高考试题】
（2010浙江理数）（9）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是
（A） （B） （C） （D）
解析：将的零点转化为函数的交点，数形结合可知答案选A。
答案：A
（2010浙江理数）（4）设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像
（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位
（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位
【答案】B
【解析】=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.
（2010辽宁理数）（5）设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是
（A） (B) (C) (D)3
（2010江西理数）17.（本小题满分12分）
已知函数。
(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；
(2) 当时，，求m的值。
（2）
化简得：
当，得：，，
代入上式，m=-2.
（2010北京理数）已知函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值。
（2010四川理数）（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；
由推导两角和的正弦公式.
（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.
解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.
则P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))
由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2
展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分
②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]
＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分
（2010天津理数）（17）（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
【解析】
（1）解：由，得
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又
，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1
（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
解析：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2010江苏卷）23.（本小题满分10分）
已知△ABC的三边长都是有理数。
求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
解析：本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，
是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴必为有理数，∴cosA是有理数。
（2）①当时，显然cosA是有理数；
当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；
②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。
当时，，
，
，
解得：
∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，
∴是有理数。
即当时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。
　

【2013考纲解读】
1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出,的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,.
3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-,)内的单调性.
4.了解函数的物理意义；能画出的图象，了解对函数图象变化的影响.
5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.
6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换
【知识络构建】

【重点知识整合】
一、三角恒等变换与三角函数
1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:
(1)方程思想:, ,三者中,知一可求二;
2.函数的问题:
(1)“五点法”画图:分别令、、、、，求出五个特殊点；
(2)给出的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是,一般从“五点法”中取靠近轴较近的已知点代入突破;
二、解三角形
1．正弦定理
已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．
2．余弦定理
已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝，另外两个同样．
3．面积公式
已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则
(1)三角形的面积等于底乘以高的；
(2)S＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝(其中R为该三角形外接圆的半径)；
(3)若三角形内切圆的半径是r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r；
(4)若p＝，则三角形的面积S＝.
【高频考点突破】
考点一 三角函数的概念、诱导公式
1．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．对于形如2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，2π－α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个将角α看成锐角时，原函数值的符号；对于形如±α，±α的三角函数值，等于角α的余名三角函数值，前面加上一个将角α看成锐角时，原函数值的符号．
例1、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝_______.
【方法技巧】1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；
2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件.
考点二 三角函数的性质
三角函数的单调区间：
y＝sinx的递增区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)；
y＝cosx的递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，
递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
y＝tanx的递增区间是(kπ－，kπ＋)(k∈Z)．
例2、已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b＋.
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．
【变式探究】已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是 (　　)
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z)
C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z)
解析：因为当x∈R时，f(x)≤|f()|恒成立，所以f()＝sin(＋φ)＝±1，可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－.因为f()＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ，故sinφ<0，所以φ＝2kπ－，所以f(x)＝sin(2x－)，函数的单调递增区间为－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
所以x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
答案：C
【方法技巧】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．
(2)求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间常用换元法：将ωx＋φ作为一个整体，若求单调增区间，令ωx＋φ∈(k∈Z)；若求单调减区间，则令ωx＋φ∈(k∈Z)．值得注意的是，若ω<0，则需要利用诱导公式将其转换为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再用换元法求单调区间.
例3、已知函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图像经过点(0,1)，如图所示．
(1)求f1(x)的表达式；
(2)将函数f1(x)的图像向右平移个单位长度得到函数f2(x)的图像，求y＝f1(x)＋f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．
解： (1)由题图知，函数f1(x)的周期T＝－(－)＝π，∴|ω|＝＝2.
又ω>0，故ω＝2.
又点(－，0)为函数f1(x)图像一个周期内五点的起点．
∴2·(－)＋φ＝0.从而φ＝，
故f1(x)＝Asin(2x＋)，
又f1(x)的图像过点(0,1)．
∴1＝Asin(2×0＋)，得A＝2，
由此可得到f1(x)的表达式为f1(x)＝2sin(2x＋)．
【变式探究】已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图像如图，则f()＝ (　　)
A．2＋　　　　B. C. D．2－
考点四 三角变换及求值
三角函数求值有以下类型：
(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变
换求三角函数式的值；
(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的
其他三角函数式的值；
(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角．
例1、已知函数f(x)＝2sin(x－)，x∈R.
(1)求f (0)的值；
(2)设α，β∈[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝.
求sin(α＋β)的值．
解：(1)∵f(x)＝2sin(x－)，
∴f(0)＝2sin(－)＝－1.
(2)∵α，β∈[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝.
∴2sinα＝，2sin(β＋)＝.
即sinα＝，cosβ＝.
∴cosα＝，sinβ＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.
【变式探究】已知：cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，则α＋β的值为________．
考点五 正、余弦定理的应用
解三角形的一般方法是：
(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，
由正弦定理求a、b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦
定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用
正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．
(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
例5、△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且lga－lgb＝lgcosB－lgcosA≠0.
(1)判断△ABC的形状；
(2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(－m＋n)＝14，求a，b，c.
解：(1)由题lga＋lgcosA＝lgb＋lgcosB，故acosA＝bcosB，
由正弦定理sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.
又cosA>0，cosB>0，故A，B∈(0，)，2A,2B∈(0，π)．
因a≠b?A≠B，故2A＝π－2B.
即A＋B＝，故△ABC为直角三角形．
(2)由于m⊥n，所以2a2－3b2＝0， ①
且(m＋n)·(－m＋n)＝n2－m2＝14，
即8b2－3a2＝14. ②
联立①②解得a2＝6，b2＝4，
故在直角△ABC中，a＝，b＝2，c＝.
考点 六 解三角形与实际应用问题
在实际生活中，测量底部不可到达的建筑物的高度、不可到达的两点的距离及航行中的方位角等问题，都可通过解三角形解决．
例6、如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
解：由题意知AB＝5(3＋)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30)°＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得＝，
∴DB＝＝
＝
＝＝10(海里)，
【方法技巧】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步
(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；
(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．
【难点探究】
难点一　简单的三角恒等变换
例1 、(1)若0<α<，－<β<0，cos（＋α）＝，cos（－）＝，则cos（α＋）＝(　　)
A. B．－ C. D．－
(2)已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________．
【答案】(1)C　(2)－　
【解析】 (1)∵cos＝，0<α<，
∴sin＝.又∵cos＝，－<β<0，
∴sin＝，
【点评】 在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，把＋2α变换成2，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝
(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等；在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂，则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已知条件．
难点二　三角函数的图象
例2 (1)已知函数f(x)＝Atan(ωx+φ)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f ＝________.

(2)要得到函数y＝cos（2x＋）的图象，只需将函数y＝sin2x＋cos2x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【点评】 (1)根据函数图象求函数的解析式，主要是根据函数的图象发现函数的性质，如周期性、对称性、特殊点等，然后根据这些性质求出函数解析式中的未知数，在本题中的函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期是，注意这是近几年来考查的为数不多的一个正切型函数；(2)在进行三角函数的图象变换时，要把需要变换的两个函数化为同一种类型的函数，再根据两个函数解析式的差别确定变换方法．
　　难点三　三角函数的性质　
例3、已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f >f(π)，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【答案】C　
【规律方法】1．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．
2．进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，特别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函数y＝sin的图象向左平移个单位时，得到的是函数y＝sin＝sin2x＋的图象．
3．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．
难点四　正余弦定理的应用
例4、 (1)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sinA＝，则a＝________.
(2)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是(　　)
A B. C. D.
【答案】(1)　(2)C　
【解析】 (1)由正弦定理有：＝，即＝，得a＝.　
(2)根据正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，即有cosA≥，所以角A的取值范围为，选择C.
【点评】 解三角形依靠的就是正弦定理和余弦定理．正弦定理解决的是已知三角形两边和一边的对角、三角两内角和其中一边两类问题，余弦定理解决的是已知三角形两边及其夹角、已知三角形三边的两类问题．在解题中只要分析清楚了三角形中的已知元素，就可以选用这两个定理中的一个求解三角形中的未知元素．本例的第二小题中的不等式看上去是角的正弦的一个不等式，实际上给出的是边的不等式，正弦定理在三角形的边角关系互化中起关键作用．
难点五　函数的图象的分析判断
例5 、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.
【点评】 本题的难点是变换＝时，变换方向的选取，即是把角的函数转化为边的关系，还是把边转化为角的三角函数，从已知式的结构上看，把其中三个内角的余弦转化为边的关系是较为复杂的，而根据正弦定理把其中边的关系转化为角的正弦，则是较为简单的，在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．
难点六　解三角形的实际应用
例6、如图6－1，渔政船甲、乙同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30 km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B、D两处相距42 km，问渔政船乙要航行多少千米才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救？
【分析】 即求线段BC的长度．根据题意，在△BCD中，已知BD，DC，因此只要求出∠BDC的余弦值，即可根据余弦定理求出BC.根据三角形的外角定理，∠BDC＝∠ABD＋60°，只要在△ABD中根据正弦定理求出∠ABD的正弦值，然后根据同角三角函数关系求出其余弦值，再根据和角的余弦公式即可求出∠BDC的余弦值．
【变式探究】如图6－2，某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船？并指出巡逻艇航行方向．
【规律技巧】1．使用正弦定理能够解的三角形有两类，一类是已知两边及其中一边的对角，一类已知一边和两个内角(实际就是已知三个内角)，其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出第三边，再求内角．在使用正弦定理求三角形内角时，要注意解的可能情况，判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角．
2．当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理、也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角．
3．正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．
【历届高考真题】
【2012年高考试题】
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理5】设是方程的两个根，则的值为
（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3
2.【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是
3.【2012高考真题新课标理9】已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ）

【答案】A
【解析】函数的导数为，要使函数在上单调递减，则有恒成立，
则，即，所以
，当时，，又，所以有
，解得，即，选A.
4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）
A、 B、 C、 D、
5.【2012高考真题陕西理9】在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由余弦定理知
，故选Ｃ．
6.【2012高考真题山东理7】若，，则
（A） （B） （C） （D）
7.【2012高考真题辽宁理7】已知，(0，π)，则=
(A) 1 (B) (C) (D) 1
8.【2012高考真题江西理4】若tan+ =4,则sin2=
A． B. C. D.
【答案】D
【解析】由得， ，即，所以，选D.
9.【2012高考真题湖南理6】函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为
A． [ -2 ,2] B.[-,] C.[-1,1 ] D.[- , ]
10.【2012高考真题上海理16】在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C
【解析】根据正弦定理可知由,可知，在三角形中，所以为钝角，三角形为钝角三角形，选C.
11.【2012高考真题天津理2】设则“”是“为偶函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件
12.【2012高考真题天津理6】在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知8b=5c，C=2B，则cosC=
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】因为,所以,根据正弦定理有，所以，所以。又，所以，选A.
13.【2012高考真题全国卷理7】已知α为第二象限角，，则cos2α=
(A) （B） (C) (D)
二、填空题
14.【2012高考真题湖南理15】函数f（x）=sin ()的导函数的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.
（1）若，点P的坐标为（0，），则 ;
（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 .
【答案】（1）3；（2）
15.【2012高考真题湖北理11】设△的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角 ．
【答案】
【解析】

16.【2012高考真题北京理11】在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，则b=_______。
【答案】4
【解析】在△ABC中，利用余弦定理 ，化简得：，与题目条件联立，可解得.
17.【2012高考真题安徽理15】设的内角所对的边为；则下列命题正确的是
①若；则 ②若；则
③若；则 ④若；则
⑤若；则
18.【2012高考真题福建理13】已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.
【答案】．
【解析】设最小边长为，则另两边为.所以最大角余弦
19.【2012高考真题重庆理13】设的内角的对边分别为，且，,则
20.【2012高考真题上海理4】若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
【答案】
【解析】设倾斜角为，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则，
∴=。
22.【2012高考江苏11】（5分）设为锐角，若，则的值为 ▲ ．
【答案】。
【解析】∵为锐角，即，∴。
∵，∴
∴。
∴。
∴
。
三、解答题
23.【2012高考真题新课标理17】（本小题满分12分）
已知分别为三个内角的对边，
（1）求 （2）若，的面积为；求.
24.【2012高考真题湖北理17】（本小题满分12分）
已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.
【答案】（Ⅰ）因为
.
由直线是图象的一条对称轴，可得，
所以，即．
又，，所以，故.
所以的最小正周期是.
【2011年高考试题】
一、选择题:
1.(2011年高考安徽卷理科9)已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
（A） （B）
（C） （D）
2.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=则（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案： D
解析：由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA，
故sinB=sinA，所以；
3.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案： A
解析：
4.(2011年高考浙江卷理科6)若，，，，则
（A） （B） （C） （D）二、填空题:
1.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f（x）=Atan（x+）（＞0，），y=f（x）的部分图像如下图，则f（）=____________.
答案：
解析：函数f(x)的周期是，故，由得.所以，故.
2.(2011年高考安徽卷理科14)已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________
6.(2011年高考安徽卷江苏7)已知 则的值为__________
【答案】
【解析】因为,而=-cot2x,所以,又因为,所以解得,所以的值为.
三、解答题:
1. (2011年高考山东卷理科17)（本小题满分12分）
在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
求的值；
若cosB=，,求的面积.
3. (2011年高考天津卷理科15)（本小题满分13分）
已知函数，
（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）设，若求的大小．
（Ⅱ）由得即
,
整理得: ,因为,所以可得,解得,由得,所以
,.
4. (2011年高考江西卷理科17)（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin
（1）求sinC的值
（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求边c的值
5. (2011年高考湖南卷理科17) （本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.
求角的大小；
求的最大值，并求取得最大值时角的大小.
解：由正弦定理得
因为，所以.从而.又，所以，
则
由知，，于是=
==
因为，所以.从而当，即时，
取最大值2.
综上所述，的最大值2，此时，.
6. (2011年高考广东卷理科16)（本小题满分12分）
已知函数
（1）求的值；
（2）设求的值.
故
7. (2011年高考湖北卷理科16)（本小题满分10分）
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为，已知.
(Ⅰ) 求△ABC的周长；
(Ⅱ)求cos(A—C.)
8．(2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理
【解析】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积。或，，
证法一 ，如图
即
同理可证，
证法二：已知
建立直角坐标系，则

同理可证
9.(2011年高考重庆卷理科16)（本小题满分13分）
设满足，求函数 在上的最大值和最小值
10. (2011年高考四川卷理科17)（本小题共12分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知，，求证：.
解析：（Ⅰ）∵
，
∴的最小正周期是，当，
即时，函数取得最小值-2.
11.(2011年高考全国卷理科17) (本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=b，求C.
【解析】：由正弦定理得，
由，即
A+B+C=1800 ，，
即，由A-C=900 得A=900+C

即


12.(2011年高考安徽卷江苏15)在△ABC中，角A、B、C所对应的边为
（1）若 求A的值；
（2）若，求的值.
13．(2011年高考北京卷理科15)（本小题共13分）
已知函数。
（Ⅰ）求的最小正周期：
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。
解：（Ⅰ）因为




【2010年高考试题】
（2010浙江理数）（9）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是
（A） （B） （C） （D）
解析：将的零点转化为函数的交点，数形结合可知答案选A。
答案：A
（2010浙江理数）（4）设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像
（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位
（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位
【答案】B
【解析】=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.
（2010辽宁理数）（5）设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是
（A） (B) (C) (D)3
（2010江西理数）17.（本小题满分12分）
已知函数。
(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；
(2) 当时，，求m的值。
（2）
化简得：
当，得：，，
代入上式，m=-2.
（2010北京理数）已知函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值。
（2010四川理数）（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；
由推导两角和的正弦公式.
（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.
解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.
则P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))
由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2
展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分
②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]
＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分
（2010天津理数）（17）（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
【解析】
（1）解：由，得
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又
，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1
（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
解析：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2010江苏卷）23.（本小题满分10分）
已知△ABC的三边长都是有理数。
求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
解析：本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，
是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴必为有理数，∴cosA是有理数。
（2）①当时，显然cosA是有理数；
当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；
②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。
当时，，
，
，
解得：
∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，
∴是有理数。
即当时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。