圆锥曲线复习讲义2

圆锥曲线复习讲义2
二、直线与椭圆位置关系问题（存在性和恒成立问题）
对于解决存在性的问题一个首要的观点是：先做判断，再进行推理论证。
解决直线与椭圆位置关系的问题中我们常用以下的公式：
（1）韦达定理，注意先要判断判别式的符号；
（2）弦长公式，要注意两种形式可以根据题目的要求灵活选取；（3）中点弦公式；
常用的解题技巧有：
（1）由于椭圆具有完美的对称性，有时候可以充分挖掘这一性质，可以简化运算的过程；
（2）由于椭圆的标准方程为分式方程，计算化简比较繁琐，所以通常将其化为整式方程，然后再代入消元；
例1椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）当离心率取最小值时，点到椭圆上的点的最远距离为
①求此时椭圆的方程；
②设斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，为的中点，问两点能否关于过、的直线对称？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由。
【解析】（1）设，由，得，将代入得 ， ，所以，此即，即，即，所以。
（2）①时，设椭圆方程为，是椭圆上任一点，
则
若，则时，，∴，此时椭圆方程为；
若，则时， ∴，矛盾。
综合得椭圆方程为。
②由得。
根据题意，，得。
根据韦达定理得，由求得，
代入解得。
例题2.(本题满分14分)
已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上的一点，且在轴的上方，是上一点，若，（其中为坐标原点）.
(Ⅰ)求椭圆离心率的最大值;
(Ⅱ)如果离心率取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知，点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求直线的方程.
解析:(Ⅰ)由题意知
则有与相似
所以……………2分
设,
则有,解得
所以
根据椭圆的定义得: ……………4分
,即
所以……………6分
显然在上是单调减函数
当时,取最大值
所以椭圆离心率的最大值是……………8分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,解得
所以此时椭圆的方程为……………10分
由题意知直线的斜率存在,故设其斜率为,
则其方程为
设,由于,所以有
……………12分
又是椭圆上的一点,则
解得
所以直线的方程为或……………14分
例题3（2011济宁模拟，本小题满分12分）已知椭圆的长轴的一个端点是抛物线
（I）求椭圆的方程；
（II）过点C（—1，0），斜率为的动直线与椭圆相交于、两点，请问轴上是否存在点，使恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（I）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且

即 ． …………………………………………………3分
（II）假设存在点M符合题意，设AB：
代入得：
…………………………4分
则
………………………………6分
要使上式与K无关，则有
存在点满足题意． …………………………12分
练习：
1.设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在 使线段的中垂线过点，求椭圆离心率的取值范围．
2. 设分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3.（2011济南模拟21，本小题满分12分）
已知椭圆：的右焦点为F，离心率，椭圆C上的点到F的距离的最大值为，直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A、B.
（1） 求椭圆C的方程；
21. （1） 由题意知，,所以，从而，
故椭圆C的方程为………………………………………………………………5分
（2） 容易验证直线l的斜率不为0,故可设直线l的方程为,代入中，
得…………………………………………………………………7分
设
则由根与系数的关系，得
………………………………………………………………9分
,
解得m=±2 …………………………………………………………………11分
所以，直线l的方程为，即或………12分
（2） 若，求直线l的方程.
4. （济宁模拟22．本小题满分14分）
已知椭圆C1的中心在坐标原点O，焦点在轴上，离心率为，P为椭圆上一动点。F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且面积的最大值为
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆短轴的上端点为A，M为动点，且及成等差数列，求动点M的轨迹C2的方程；
（3）作C2的切线交C1于O、R两点，求证：
解析：（1）设椭圆C1的方程为，
由椭圆的几何笥质知，当点P为椭圆的短轴端点时，的面积最大。
，由 解得
故椭圆C1的方程为 5分
（2）由（1）知A（0，1），，
设则
7分
整理得M的轨迹C2的方程为
3）①当切线的斜率存在时，设，代入椭圆方程得：
，
设则 11分
，则

又与C2相切，
即，故 13分
②当切线的斜率不存在时，直线
或
此时
综合①②得， 14分