圆锥曲线复习讲义3
图片预览
文档简介
圆锥曲线复习讲义3
三、圆锥曲线与圆
由于考试大纲要求，对圆锥曲线的考查只限于直线与圆锥曲线的位置关系问题，对于两条圆锥曲线的位置关系问题则不会涉及，如果出现，也是仅限于以一个曲线为媒介，引出另一条圆锥曲线的方程。这样作为压轴题，要实现“拔高”的目的，就会选择与圆结合，这样借助圆的特殊性质，用以体现圆锥曲线的性质，就成为高考圆锥曲线命题的一条可行的途径。
在这一部分我们要充分认识圆的几何性质：
1.直径上的圆周角是直角（一般用两条直角边对应的向量数量积为0）；
2.垂径定理；
3.三角形外接圆圆心；
常用的公式和结论有：
点到直线的距离公式；
两点间距离公式；
直线与圆的位置关系判断方法（几何法）。
圆锥曲线与圆的位置关系问题，往往还是考查直线与圆锥曲线的位置关系，同时考查直线与圆锥曲线的位置关系问题，因而还会用到在前两个专题中用到的方法。
例1．如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．
（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，证明．
【解析】（1）由题设条件知，∽故，即，因此.
在，
所以直线的斜率.设直线的斜率为，则，直线的方程为，令得，所以直线与轴的交点为。
（2）由（1），得直线得方程为且 。设、，则它们的坐标满足方程组
由方程组消去，并整理得，
所以；
由方程组消去，并整理得，
所以。
综上，得到
注意到，得
。
例1．如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．
（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，证明．
例题2．（2011聊城模拟21，本小题满分12分）
已知椭圆过点，且长轴长等于4。
（I）求椭圆C的方程；
（II）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若的值。
例3.(2011青岛模拟22，本小题满分14分)已知圆：，点，，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；
(Ⅱ)设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若，为坐标原点，求直线的斜率；
(Ⅲ)过点，且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
解: (Ⅰ) 因为的垂直平分线交 于点. 所以
所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆……………2分
设椭圆的标准方程为
则，，则椭圆的标准方程为……4分
(Ⅱ) 设，则 ①
因为
则 ②
由①②解得……………7分
所以直线的斜率……………8分
(Ⅲ)过点，且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
(Ⅲ)直线方程为，联立直线和椭圆的方程得:
得…………9分
由题意知：点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，
设则
假设在轴上存在定点，满足题设，则
因为以为直径的圆恒过点,则，即: (*)因为
则(*)变为…………11分
由假设得对于任意的,恒成立，
即解得……13分
因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为.………………14分
例4.(2009山东卷理22)（本小题满分14分）
设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
,要使,需使,即,
所以
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为。
由得又,所以,所以,即或,此时圆的切线都满足或,
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以,
,
①当时
因为所以,
所以,
所以当且仅当时取”=”.
当时,.
当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,
综上, |AB |的取值范围为即:
【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.
三、圆锥曲线与圆
由于考试大纲要求，对圆锥曲线的考查只限于直线与圆锥曲线的位置关系问题，对于两条圆锥曲线的位置关系问题则不会涉及，如果出现，也是仅限于以一个曲线为媒介，引出另一条圆锥曲线的方程。这样作为压轴题，要实现“拔高”的目的，就会选择与圆结合，这样借助圆的特殊性质，用以体现圆锥曲线的性质，就成为高考圆锥曲线命题的一条可行的途径。
在这一部分我们要充分认识圆的几何性质：
1.直径上的圆周角是直角（一般用两条直角边对应的向量数量积为0）；
2.垂径定理；
3.三角形外接圆圆心；
常用的公式和结论有：
点到直线的距离公式；
两点间距离公式；
直线与圆的位置关系判断方法（几何法）。
圆锥曲线与圆的位置关系问题，往往还是考查直线与圆锥曲线的位置关系，同时考查直线与圆锥曲线的位置关系问题，因而还会用到在前两个专题中用到的方法。
例1．如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．
（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，证明．
【解析】（1）由题设条件知，∽故，即，因此.
在，
所以直线的斜率.设直线的斜率为，则，直线的方程为，令得，所以直线与轴的交点为。
（2）由（1），得直线得方程为且 。设、，则它们的坐标满足方程组
由方程组消去，并整理得，
所以；
由方程组消去，并整理得，
所以。
综上，得到
注意到，得
。
例1．如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．
（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，证明．
例题2．（2011聊城模拟21，本小题满分12分）
已知椭圆过点，且长轴长等于4。
（I）求椭圆C的方程；
（II）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若的值。
例3.(2011青岛模拟22，本小题满分14分)已知圆：，点，，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；
(Ⅱ)设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若，为坐标原点，求直线的斜率；
(Ⅲ)过点，且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
解: (Ⅰ) 因为的垂直平分线交 于点. 所以
所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆……………2分
设椭圆的标准方程为
则，，则椭圆的标准方程为……4分
(Ⅱ) 设，则 ①
因为
则 ②
由①②解得……………7分
所以直线的斜率……………8分
(Ⅲ)过点，且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
(Ⅲ)直线方程为，联立直线和椭圆的方程得:
得…………9分
由题意知：点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，
设则
假设在轴上存在定点，满足题设，则
因为以为直径的圆恒过点,则，即: (*)因为
则(*)变为…………11分
由假设得对于任意的,恒成立，
即解得……13分
因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为.………………14分
例4.(2009山东卷理22)（本小题满分14分）
设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
,要使,需使,即,
所以
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为。
由得又,所以,所以,即或,此时圆的切线都满足或,
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以,
,
①当时
因为所以,
所以,
所以当且仅当时取”=”.
当时,.
当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,
综上, |AB |的取值范围为即:
【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.
同课章节目录