2013届高三数学二轮复习专题讲座5——三角函数二轮复习建议（玄武高级中学）

三角函数二轮复习建议
梅园 陈正蓉
在江苏高考考试说明中，三角函数部分涵盖了八个知识点，其中两角和（差）的正弦、余弦和正切为C级点，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质及几个三角恒等式为A级点，其余均为B级点，高考中一般以基础题为主，难度基本为容易题或中档题，涉及到的问题主要有三个方面——三角函数的图象与性质、三角变换和解三角形．二轮复习应紧紧抓住这三个方面，对于典型问题应从解题策略上讲清讲透，使学生对典型问题的解题思路和方法做到心中有数，让学生练到位，力争拿高分．
本单元二轮专题和课时建议：
专题
内容说明（核心）
第一、二课时
三角函数的图象与性质
周期、值域、单调性、奇偶性、图象变换
第三、四课时
三角变换
和差倍角公式、求值、证明
第五、六课时
解三角形
正、余弦定理
第一、二课时 三角函数的图象与性质
教学目标
充分运用数形结合的思想，把三角函数的图象（正、余弦曲线或单位圆）和性质两者紧密结合起来，既利用图象的直观性描述其性质，又能利用函数的性质细化其图象；
能运用三角公式将所给函数解析式正确转化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，进而研究函数的单调性，周期性，奇偶性，及函数在某给定区间上的值域问题；
3．掌握简单的函数图象变换问题．
专题回顾
1．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)（ω＞0）的最小正周期为π，则ω＝_________，它的对称中心是________________________，对称轴方程是_______________________，单调增区间为___________________________，若x∈[0，]，则函数f(x)的值域为_____________．
2．当函数f(x)＝sinx－cos(x＋)取得最大值时，x＝_______________．
3．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是____________________．
4．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)（ω＞0）的图象如右图所示，
则ω＝_________，若φ∈(－π，0)，则φ＝___________．
5． 已知函数f(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)（0＜φ＜π）是偶函数，则φ的值为_________．
6．已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是__________．
典型例题
基本题型一：研究函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的周期性，单调性及该函数在某指定区间上的值域．
例1．已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)＋2cos2x－1，x∈R．
（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（2）求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
说明：对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的相关性质的考查是三角函数部分的重要内容之一，这类问题经常以齐次式的形式出现，需要学生经过两角和与差的正余弦、降幂、辅助角等变形，进而转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．教学中应加强对此类题型的训练，不轻易放弃任何一个学生，这不仅是考高分的基础，更是提高均分的一个关键点．
基本题型二：通过对函数图象的研究函数的性质，或经过简单的函数图象变换，研究变换后的函数的相关性质．
例2．已知向量m＝(sinx，1)，n＝(Acosx，cos2x)（A＞0），函数f(x)＝m·n的最大值为6．
（1）求A；
（2）将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，]上的值域．
说明：以平面向量为载体，通过平面向量的共线或垂直，转化为与三角函数有关的问题．在处理与三角有关的问题时，除需掌握例1中解决问题的基本方法外，还需注意与图象变换有关的问题，正确处理图象的平移和伸缩变换与解析式之间的关系．第（2）题中也可将两种变换交换一下变换的次序，进而使学生能真正把握住平移变换和伸缩变换．
基本题型三：给出函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的某种性质（周期性、单调性或最值），求待定字母系数的取值（或范围）．
例3．设f(x)＝4cos(ωx－)sinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0．
（1）若f(x)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点间的距离为，求ω的值；
（2）若f(x)在区间[－，]上为增函数，求ω的最大值．
说明：对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的性质的研究，有时也会反过来研究，即先给出它的某种性质，通过对这些性质的识别得出函数的解析式，如该题中f(x)图象与x轴的交点中相邻两交点间的距离就是该函数的半个周期，对于这类性质的刻画还可以通过两邻两对称轴间的距离，过最高或最低点的曲线的切线两邻两切点间的距离等来体现．本题的第（2）问也可以改成：若，且f(x)在(，)上的有最小值而没有最大值，求ω的值．
基本题型四：与三角函数有关的应用问题．
例4．有一个圆心角为120°，半径为R的扇形铁片，要在其中截下一矩形铁片，有两种截法：如图（a），矩形的一边在半径OA上：如图（b），矩形的一边平行于弦AB．请问：哪一种截法截下的矩形面积最大？并求这个矩形的最大面积．
说明：与三角函数有关的应用问题是热点之一，在08年和10年都曾涉及到，在列出函数解析式后，根据解析式的特点，选择求最值的方法，有时可直接利用求三角函数的最值的方法，有时可能需转化成其它的基本函数类型，还有时需要利用导数来解决问题．在讲解时，不妨可以把江苏08年和10年的高考题拿出来一并处理．
课后检测
一、填空题
1．函数y＝2cos2(x－)－1是最小正周期为________的________函数（奇偶性）．
2．函数f(x)＝(1＋tanx)cosx，当0≤x＜时，f(x)的最大值为_________，最小值为_________．
3．函数f(x)＝(sinx－cosx)2的单调递增区间为________________________．
4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的_________________条件．
（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件或既不充分也不必要条件）
5．已知函数f (x)＝sin(ωx＋)( x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数f(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象向________平移________个单位长度．6．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx( ω＞0)，y＝f(x)的图像与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是____________________．7．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点(，0)中心对称，那么|φ|的最小值为_____________．
8．已知函数f (x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f()＝－，则f(0)＝__________．9．设函数f(x)＝2sin(2x＋)，则下列结论正确的是________．
①f(x)的图像关于直线x＝对称；
②f(x)的图像关于点(，0)对称；
③把f(x)的图像向左平移个单位，得到一个偶函数的图像；
④f(x)的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数．
10．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)，f()＝f()，且f(x)在区间(，)有最大值，无最小值，则ω＝________．
二、解答题
11．已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx，2cosωx)，设函数
f(x)＝a·b＋λ（x∈R）的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(，1)．
（1）求函数f(x)的最小正周期;
（2）若y＝f(x)的图象经过点(，0)，求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围．
12．设函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx＋a（其中a∈R，ω＞0）且f(x)的图像在y轴右侧的第一个高点的横坐标为．
（1）求ω的值及函数f(x)的单调增区间；
（2）如果f(x)在区间[－，]上的最大值为，求a的值．
13．若函数f(x)＝sinωx(sinωx－cosωx)（ω＞0）的图像与直线y＝m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，公差为．
（1）求m的值；
（2）若点A(x0，y0)是y＝f(x)图像的对称中心，且x0∈[0，]，求点A的坐标．
14．设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x．
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋)＝g(x)，且当x∈[0，]时， g(x)＝－f(x)，求函数g(x)在[－π，0]上的解析式．
第三、四课时　三角变换
教学目标
1. 熟练掌握同角三角函数间的基本关系、正余弦的诱导公式、两角和与两角差的正余弦和正切公式、二倍角的正余弦和正切公式．
2. 掌握三角变换的基本解题规律：寻找联系，尤其是角与角之间的联系，能够用已知角表示未知角，缩小已知条件和所求结论之间的差异，并最终消除差异．要注意积累各种变换方法与技巧，不断提高分析和解决问题的能力．

专题回顾
1. 已知sinα＝，则sin4α－cos4α＝_____________．
2．已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝______________．
3．已知x∈(－，－)，cos(x＋)＝，则sinx＝_________________．
4．已知sinα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，则α＋β的值为__________．
5．tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝__________________．
6．设α为锐角，若sin(α－)＝－，则cos(2α－)的值为__________．
典型例题
基本题型一：已知一个角的三角函数值，求三角表达式的值．
例1．已知tan＝2， 求:
（1）tan(α＋)的值；
（2）的值．
说明：三角函数式的求值问题是一类重要的三角问题，不仅可以在小题中进行考查，也可以在解答题中进行考查．解决这类问题的基本方法和策略就是研究已知和所求之间的差异，这种差异可以角，可以函数名称，也可以函数表达形式，解决问题的目标就是消除这种差异，一般情况上，首先考虑消除的是角的差异，其次是函数名称的差异，最后是表达形式上的差异．此题是一种较为典型的三角求值问题，其中不仅有角的差异，也有函数名的差异，在消除函数名的差异时，除可以利用同角间的三角函数间的关系，根据正切分别求出正余弦外，也可以利用正余弦的齐次分式直接转化为切的分式．解题时，既要讲切化弦，也得讲一讲弦化切的解题方法．如（2）中可改求一个关于角α的正余弦的二次齐次式的值．
基本题型二：与三角函数的图象与性质有关的综合问题．
例2．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋) (其中ω＞0，x∈)的最小正周期为10π.
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈[0，]，f(5α＋)＝－， f(5β－)＝，求cos(α＋β)的值．
说明：三角求值问题中，研究已知角和所求角之间的关系，较常见的方法是用已知角去表示所求角，从而将问题转化为两角和与差的三角函数的求值问题或二倍角的计算问题，但有时用已知角表示所求角不太方便求解，也需学会将已知角用所求角去表示，从而将问题转化为方程或方程组问题．如可在此补充：已知0＜α＜，0＜β＜，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan ，求α＋β的值．此题中，若能将条件3sinβ＝sin(2α＋β)中的β表示成(α＋β)－α，并把2α＋β表示成(α＋β)＋α，那么问题的解决将会易如反掌．
例3．函数f(x)＝Asin(ωx－)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设α∈(0，)，且f()＝2，求α的值．
说明：三角求值问题中常遇到的另一类问题就是求一个角的大小，这时只需求出该角的某一三角函数值即可，具体选择哪种三角函数值时应根据题目中的条件，尤其是角的范围来决定．
例4．函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）求ω的值及函数f(x)的值域；
（2）若f(x0＋1)＝，且x0∈(－，)，求f(x0)的值．
课后检测
一、填空题
1．已知x为锐角，若cosx＝，则tan(x＋)＝___________，tan2x＝_____________．
2．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝___________．
3．cos(α＋β)＝，sin(β－)＝，α，β∈(0，)，则cos(α＋)的值为___________．
4．已知x∈(－，0)，sinx＋cosx＝－，则sinx－cosx的值为___________．
5．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝ ___________．
6．若θ∈[，]，sin2θ＝，则sinθ＝___________．
7．已知tan(α－)＝，则＝___________．
8．已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是___________．
9．若sin(α＋)＝，则cos(－2α)的值为___________．
10．△ABC中，3sinA＋4cosB＝6，3cosA＋4sinB＝1，则角C的大小为___________．
二、解答题
11．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2)．
（1）若a∥b，求tanθ的值；
（2）若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值．
12．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b |＝．
（1）求cos(α－β)的值；
（2）若0＜α＜，－＜β＜0，且sinβ＝－，求cosα的值．
13．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)，A＞0，x∈(－∞，＋∞)，0＜φ＜π在x＝时取得最大值4．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若α∈(0，)，且f(－)＝，求sinα的值．
14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)°cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)°cos55°．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广三角恒等式，并证明你的结论．
第五、六课时　解斜三角形
教学目标：
1. 掌握正弦定理，余弦定理的运用；
2．掌握解三角形的一般思路与方法——化边或化角．
专题回顾
1．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则角A的度数是_____________．
2．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝__________．
3．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为________．
4．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的取值范围为______________．
5．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，则b＝__________．
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝________．
典型例题
基本题型一：利用正、余弦定理求解三角形．
例1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA＝，sinB＝cosC．
（1）求tanC的值；
（2）若a＝，求△ABC的面积．
例2．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，A＝，(1＋)c＝2b．
（1）求C；
（2）若·＝1＋，求a，b，c．
说明：根据已知条件解三角形的基本方法主要有两个：一是化边；二是化角．化边后，一般就是将问题转化为代数的计算问题，而且这种转化后的变形相对较为单一，故教学中常被作为首选方法，但由于这种转化后的变形往往需要一定的运算基础和运算能力，包括分解因式的能力，所以在一定程度上制约了学生解题的成功率，尤其是数学基础相对较弱的学生．化角后，运算虽相对较少，但却需要一定的三角变换能力．进行此类问题的解题教学时，应将两种方法都讲解到位，让学生在比较中去感受两种解法的差异，进而寻找到适合自己的解法．以此题为例，由于第（1）题求的是角C，故只需求出角C的某一三角函数值即可，结合此题的条件，若选择化角，则应将(1＋)c＝2b转化为(1＋)sinC＝2sinB，再根据A＋B＋C＝π，以及A＝，即可得到(1＋)sinC＝2sin(C＋)，从而得到一个关于角C的三角方程，展开化简后可求得tanC＝1，再根据C∈(0，π)，即可求得C＝．若选择化边，即通过余弦定理先求出cosC，再求角C，那么就应利用A＝，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝b2＋c2－bc，再结合(1＋)c＝2b，可得到a＝c，代入cosC＝中求得cosC＝．讲解完此题之后，不妨再把江苏12年高考第15题让学生去想一想，做一做，边与角两条路都去走一走，试一试．在△ABC中，已知·＝3·．（1）求证：tanB＝3tanA；（2）若cosC＝，求A的值．
基本题型二：在三角形中研究取值范围的问题．
例3．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b， c，且A，B，C成等差数列．
（1）若·＝－，b＝，求a＋c的值；
（2）求2sinA－sinC的取值范围．
基本题型三：和正、余弦定理有关的应用问题．
例4．如图，某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔船在方位角为30°，距离为10海里的C处，并测得该渔船正沿方位角为90°的方向，以30海里/时的速度向小岛P靠拢．我海军舰艇立即以30海里/时的速度前去营救．
求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．（注：方位角是从指北方向
顺时针转到目标方向线的角）
课后检测
一、填空题
1．在△ABC中，a＝7，b＝10，c＝6，则最大角的余弦值为____________．
2．若三角形的三个内角之比为1:2:3，则所对边长之比是____________．
3．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝________．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝_____．
5．已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________．
6．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，则角C＝_____．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cos(A－C)＋cosB＝，b2＝ac，则角B＝________．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，B＝，cosA＝，b＝，则S△ABC＝________．
9．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B的度数为 ．
10．下列命题中是真命题的有_______________．（填写真命题的序号）
①若f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，θ∈(，)，则f(sinθ)＞f(cosθ)；
②若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α＋β＜；
③在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要条件；
④要得到函数y＝cos(－)的图象, 只需将y＝sin的图象向左平移个单位．
二、解答题
11．设函数f(x)＝2sinxcos2＋cosxsinφ－sinx(0＜φ＜π)在x＝π处取最小值．
（1）求φ的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f(A)＝，求角C．
12．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，已知3acosA＝ccosB＋bcosC．
（1）求cosA的值；
（2）若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值．
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知＝．
（1） 求的值；
（2）若cosB＝，求tanC的值．
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，bsin(＋C)－csin(＋B)＝a．
（1）求证：B－C＝；
（2）若a＝，求△ABC的面积．
参考答案：
第一、二课时
专题回顾：
1．2；(－，0)，k∈Z；x＝＋，k∈Z；[kπ－，kπ＋]，k∈Z；[－，1]．
2．2kπ＋，k∈Z． 3．y＝cos2x＋1． 4．；－． 5．． 6．[，]．
典型例题：
例1．（1）由题意可得f(x)＝sin(2x＋)，所以f(x)的最小正周期为π；单调增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z；（2）函数f(x)在区间[－，]上的最大值为，最小值为－1．
例2．由题意可得f(x)＝Asin(2x＋)．（1）A＝6；（2）由题意可得g(x)＝6sin(4x＋)，所以g(x)在[0，]上的值域为[－3，6]．
例3．（1）由题意可得f(x)＝sin2ωx＋1，所以ω＝1；（2）因为f(x)在区间[－，]上为增函数，且ω＞0，所以－≤－3ωπ＜ωπ≤．解得0＜ω≤．所以ω的最大值为．
例4．图（a）：连接OD，设∠DOC＝θ(0＜θ＜)，则OC＝Rcosθ，CD＝Rsinθ．所以S矩形OCDE＝OC·CD＝Rcosθ·Rsinθ＝R2sin2θ．所以当θ＝时，S矩形OCDE取最大值为R2．
图（b）：过点O作AB的垂线，交QM、PN分别与点E，F，设∠POF＝θ(0＜θ＜)，则PF＝Rsinθ，EF＝OF－OE＝Rcosθ－＝Rcosθ－．所以S矩形MNPQ＝2PF·EF＝2Rsinθ(Rcosθ－)＝[2sin(2θ＋)－1]．所以当θ＝时，S矩形MNPQ取最大值为．
因为R2＜，所以用图（b）那种截法截出的矩形面积最大，最大面积为．
课后检测：
1．π；奇． 2．2；1． 3．[kπ＋，kπ＋]，k∈Z． 4．充分不必要． 5．左；．
6．[kπ－，kπ＋]，k∈Z．
7．． 8．． 9．③． 10．或．
11．（1）由题意可得f(x)＝2sin(x－)＋λ，所以T＝；（2）将点(，0)代入f(x)的解析式中可得λ＝－，所以函数f(x)在区间[0，]上的取值范围为[－1－，2－]．
12．（1）ω＝1，函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z；（2）．
13．（1）m＝；（2）点A的坐标为(，)或(，)．
14．（1）T＝π；（2）g(x)＝
第三、四课时
专题回顾：
1．－．2．－1．3．－． 4．． 5．． 6．．
典型例题：
例1．（1）－；（2）．
例2．（1）ω＝；（2）－．
例3．（1）f(x)＝2sin(2x－)＋1；（2）．
例4．（1）ω＝，f(x)的值域为[－2，2]；（2）f(x0)＝．
课后检测：
1．7；． 2．． 3．． 4．－． 5．－． 6．． 7．－．
8．－． 9．－．10．．
11．（1）；（2）或． 12．（1）；（2）． 13．（1）f(x)＝4sin(2x＋)；（2）．
14．（1）；（2）sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝，证明略．
第五、六课时
专题回顾：
1．． 2．4． 3．． 4．(，)． 5．4． 6．．
典型例题：
例1．（1）；（2）． 例2．（1）；（2）a＝，b＝1＋，c＝2．
例3．（1）2；（2）(－，)．
例4．设我海军舰艇经过t小时在B处与渔船相遇，则△ABC中，AC＝10，
AB＝30t，BC＝30t，∠ACB＝120°．
根据余弦定理有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB．
即2700t2＝100＋900t2＋300t．解得t＝或t＝－（舍去）．AB＝10，BC＝10，∠CAB＝30°．
所以舰艇沿方位角为60°的方向航行，20分钟可与渔船相遇．
课后检测：
1．－． 2．1::2． 3．2． 4．． 5．－． 6．． 7．． 8．．
9．30°． 10．②③．
11．（1）；（2）15°或105°． 12．（1）；（2）． 13．（1）2；（2）4．
14．（1）略；（2）．