2013届高三数学二轮复习专题复习（2）分类讨论思想

【专题二】分类讨论思想
【考情分析】
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
分类讨论是每年高考必考的内容，预测2013年高考对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由求等。
【知识归纳】
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
1．分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：
（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。再有：直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类；
（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。再有，圆锥曲线的统一定义中图形的分类等；
（3）由实际意义分类。如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论；
（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论。
2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究；
3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；
4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；
5．讨论的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。(4)归纳总结：将各类情况总结归纳；
6．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算。如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合。利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论。
【考点例析】
题型1：集合中分类讨论问题
例1．（2012高考真题全国卷理2）已知集合A＝{1.3. }，B＝{1，m} ,AB＝A, 则m=（ ）
A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3
解析：B；因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.
点评：该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性。
例2．（2012高考真题新课标理1）已知集合；则中所含元素的个数为（ ）

解析：D；要使,当时，可是1，2，3，4.当时，可是1，2，3.当时，可是1，2.当时，可是1，综上共有10个，选D.
点评：把握含参数问题参数的分类标准最为关键，像三角形的分类带来的参数标准的分类是解题的关键。
题型2：函数、方程中分类讨论问题
例3．（2012高考真题四川理5）函数的图象可能是（ ）
解析：D；当时单调递增，，故A不正确；因为恒不过点，所以B不正确；当时单调递减，，故C不正确 ；D正确.
点评：含有参数的函数的综合问题（本例是函数图像）历来就是高中数学的重点和难点之一。求解此类问题的关键一点就是紧扣对称轴，依此来展开有条理性的分类讨论。
例4．（2012高考真题安徽理19）设。
（I）求在上的最小值；
（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。
解析：（I）设；则，
①当时，在上是增函数，
得：当时，的最小值为。
②当时，，
当且仅当时，的最小值为。
（II），
由题意得：。
点评：本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。
题型3：解析几何中的分类讨论问题
例5．（2011山东理22）（山东理22） 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以
因为在椭圆上，因此 ①
又因为所以 ②
由①、②得此时
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知m，将其代入，得，
其中即 …………（*）
又
所以
因为点O到直线的距离为
所以
又整理得且符合（*）式，
此时
综上所述，结论成立。
（II）解法一：
（1）当直线的斜率不存在时，由（I）知因此
（2）当直线的斜率存在时，由（I）知
所以

所以，当且仅当时，等号成立.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二：
因为

所以
即当且仅当时等号成立。
因此 |OM|·|PQ|的最大值为
（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得
证明：假设存在，
由（I）得
因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G。
点评：处理直线与圆锥曲线的位置关系时，待定直线方程需要考虑斜率不存在这种情况，分类讨论。
例6．已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0）。求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。
?解析：如图，设直线MN切圆O于N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=λ|MQ|}(其中λ>0) ，
∵圆半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2－1，
设点M的坐标为（x，y），则，
整理得：，
经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程。
当λ=1时，方程化为 ，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点；
当λ≠1时，方程化为，它表示圆，该圆圆心的坐标为 ，半径为。
点评：本题在求出轨迹方程之后，在判定为何曲线时，因参数引起了分类讨论：一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数，从而需对参数分情况讨论，求得问题的结果。
题型4：不等式中分类讨论问题
例7．解不等式>0 (a为常数，a≠－)
分析：含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－解析：2a＋1>0时，a>－； －4a<6a时，a>0 。
所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x>0，解得：x≠0；
当－0，解得: x<6a或x>－4a；
当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－－4a；当a>－时，6a点评：本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。
例8．
解析：
，
，
，；
，
；
；
；
综上所述，得原不等式的解集为：
；；
；；
。
点评：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。
题型5：数列中分类讨论问题
例9．（2012高考真题湖北理18）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.
解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，
由题意得 解得或
所以由等差数列通项公式可得
，或.
故，或。
（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；
当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.
故
记数列的前项和为.
当时，；当时，；
当时，

. 当时，满足此式.
综上，
点评：数列中的含参问题是一个需要牢记的分类推理过程，书写格式相对严格、规范。
例10．（2010四川理数）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2
（Ⅰ）求a3，a5；（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn。
解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6，再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20。
(2)当n∈N *时，由已知(以n＋2代替m)可得：a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8。
于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8，
即 bn＋1－bn＝8。
所以{bn}是公差为8的等差数列
(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列
则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2
另由已知(令m＝1)可得：an＝-(n－1)2.
那么an＋1－an＝－2n＋1
＝－2n＋1＝2n
于是cn＝2nqn－1.
当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)
当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.
两边同乘以q，可得
qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.
上述两式相减得:
(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn＝2·－2nqn＝2·，
所以Sn＝2·
综上所述，Sn＝。
点评：等比数列的求和公式只适合于，特别公比中含参数时，需要分类讨论。
题型6：三角函数与三角形中分类讨论问题
例11．
解析： ，
，
；
；
这与三角形的内角和为180°相矛盾。
，

，
因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。
例12．（2012高考真题新课标理9）已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ）

解析：A；函数的导数为，
要使函数在上单调递减，则有恒成立；
则，即，
所以，
当时，，又，所以有，
解得，即，选A.
点评：含参数的三角函数问题，也需要对参数进行分类讨论。
题型7：实际问题中分类讨论问题
例13．某城市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和每户每定额排污费c元；若用水量超过am3时，除了付给同上的基本费和排污费外，超过部分每方米付b元的超额费．已知每户每月的排污费不超过4元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：
月份
用水量（m3）
水费（元）
1
8
9
2
15
19
3
13
15
解析：设每月用水量为xm3，支付费用为y元，?则
由题意知0＜c≤4，8+c≤12，故第2、3月份用水量15 am3,13 am3大于最低用水限量am3，将 分别代入 中，
得? ①
再分析1月份用水量是否超过最低限量am3 。
不妨设8＞a，将中，
得9=8+2（8–a）+c，得2a=c+15 ②，显然①、②矛盾，
∴1月份用水量不超过最低限量。
?又∵y=8+c ，∴9=8+c,c=1，∴a=10,b=2,c=1。
点评：本题为实际应用问题，在解题过程中，隐含着分类讨论：a>8,a=8,a<8，根据条件，逐一讨论，使问题得以解决．
【方法技巧】
分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它可以将整体化为局部，将复杂问题化为单一问题，以便于“各个击破”。但由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述较为烦琐，且极易在完备上造成失误，因此它并非一定是解决问题的上策或良策，我们提倡在熟悉和掌握分类思想的同时，要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论。下面结合一些实例，谈谈简化分类讨论的常用策略。消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解。
1．对于分类讨论题不要急于直接进行分类讨论，首先应认真审查题目的特点，考虑是否可以你用合适的公式、法则，能否进行某中变形，可否改变常规的思维方式和解题策略，即能否消除或掩盖“讨论基因”，若能，则可以避免进行繁杂的分类讨论；若不能，可否先作某些等价变换，使讨论推迟得来，这种延迟讨论有时也是一种简化和一种进步。当然，有些问题，你通过了一番试验，仍无法作到完全回避讨论或延迟讨论，这可能是“不可避免的直接讨论型”问题，这是我们就应遵循分类讨论的原则去攻克它。
2．实际应用题（排列组合）中分类讨论往往带有隐蔽性，理解题意，抓住限制条件，准确把握分类对象和标准是解决问题的关键。如果发现多种分类途径，则应加强比较，从中选择最为合理的分类途径。
3．分类的原则是不重复不遗漏，即将讨论的对象分为若干类时，其并集为全集，两两的交集为空集。
4．分类对象，即使问题变换不定的变动因素；分类的标准，即使变换不定的问题转化为相对稳定问题的分类界值，分类对象和分类标准的确定，应通过识别问题情景来完成。
5．应该注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题作深入的研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单。
【专题训练】
一、填空题
1．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，那么a的取值范围是____________．
2．过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB＝4，则这样的直线有________条．
3．设集合A＝{x|x2＋x－12＝0}，集合B＝{x|kx＋1＝0}，如果A∪B＝A，则由实数k组成的集合中所有元素的和与积分别为____________．
4．在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝8，则S△ABC＝__________.
5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x－y＝0,2x＋y＝0，则双曲线的离心率是________．
6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．
7．设常数a>0，椭圆x2－a2＋a2y2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a＝________.
8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝，S3＝，则a1的值为__________．
9．若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是__________．
10．函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．
11．若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围为________________．
12．若x∈(1,2)时，不等式(x－1)2二、解答题
13．如果函数y＝a2x＋2ax－1 (a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
14.已知函数f(x)＝2asin2x－2 asin xcos x＋a＋b(a≠0)的定义域是，值域是
[－5,1]，求常数a，b的值．
15．已知函数f(x)＝－2x2－x，求m、n的值，使f(x)在区间[m，n]上值域为[2m,2n] (m【参考答案】
1．(－2,2]　2. 3　3.－，0 4．32或16
5.或 6．4或 7.或2 8.或6
9. 10．[0,4] 11．a>0且b≤0 12．(1,2]
13．解　设t＝ax，则y＝t2＋2t－1.
(1)当a>1时，因为x∈[－1,1]，
所以t∈，
而y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，
故在t∈上，y单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，故a＝3.
(2)当0所以t∈，
而y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，
故在t∈上，y单调递增，
所以ymax＝2－2＝14，故a＝.综上知a＝3或a＝.
14．解　f(x)＝2a·(1－cos 2x)－ asin 2x＋a＋b
＝－2a＋2a＋b＝－2asin＋2a＋b，
又∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π，∴－≤sin≤1.
因此，由f(x)的值域为[－5,1]
可得或
解得或.
15．解　f(x)＝－22＋.
(1)若m解得或与m(2)若－≤m即
两式作差得m＋n＝，将其代入①式，得2m2－m＋1＝0，Δ＝－7<0，
∴方程无实根．
(3)若m<－又∵f＝f＝－，故
①当－≤m<－时，也有2m＝－.
∴m＝－，与m<－矛盾．
②当m<－时，有f(m)＝2m.
解得m＝－或m＝0(舍去)．综上可知，m＝－，n＝.

【专题二】分类讨论思想
【考情分析】
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
分类讨论是每年高考必考的内容，预测2013年高考对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由求等。
【知识归纳】
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
1．分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：
（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。再有：直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类；
（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。再有，圆锥曲线的统一定义中图形的分类等；
（3）由实际意义分类。如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论；
（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论。
2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究；
3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；
4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；
5．讨论的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。(4)归纳总结：将各类情况总结归纳；
6．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算。如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合。利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论。
【考点例析】
题型1：集合中分类讨论问题
例1．（2012高考真题全国卷理2）已知集合A＝{1.3. }，B＝{1，m} ,AB＝A, 则m=（ ）
A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3
解析：B；因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.
点评：该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性。
例2．（2012高考真题新课标理1）已知集合；则中所含元素的个数为（ ）

解析：D；要使,当时，可是1，2，3，4.当时，可是1，2，3.当时，可是1，2.当时，可是1，综上共有10个，选D.
点评：把握含参数问题参数的分类标准最为关键，像三角形的分类带来的参数标准的分类是解题的关键。
题型2：函数、方程中分类讨论问题
例3．（2012高考真题四川理5）函数的图象可能是（ ）
解析：D；当时单调递增，，故A不正确；因为恒不过点，所以B不正确；当时单调递减，，故C不正确 ；D正确.
点评：含有参数的函数的综合问题（本例是函数图像）历来就是高中数学的重点和难点之一。求解此类问题的关键一点就是紧扣对称轴，依此来展开有条理性的分类讨论。
例4．（2012高考真题安徽理19）设。
（I）求在上的最小值；
（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。
解析：（I）设；则，
①当时，在上是增函数，
得：当时，的最小值为。
②当时，，
当且仅当时，的最小值为。
（II），
由题意得：。
点评：本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。
题型3：解析几何中的分类讨论问题
例5．（2011山东理22）（山东理22） 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以
因为在椭圆上，因此 ①
又因为所以 ②
由①、②得此时
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知m，将其代入，得，
其中即 …………（*）
又
所以
因为点O到直线的距离为
所以
又整理得且符合（*）式，
此时
综上所述，结论成立。
（II）解法一：
（1）当直线的斜率不存在时，由（I）知因此
（2）当直线的斜率存在时，由（I）知
所以

所以，当且仅当时，等号成立.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二：
因为

所以
即当且仅当时等号成立。
因此 |OM|·|PQ|的最大值为
（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得
证明：假设存在，
由（I）得
因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G。
点评：处理直线与圆锥曲线的位置关系时，待定直线方程需要考虑斜率不存在这种情况，分类讨论。
例6．已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0）。求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。
?解析：如图，设直线MN切圆O于N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=λ|MQ|}(其中λ>0) ，
∵圆半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2－1，
设点M的坐标为（x，y），则，
整理得：，
经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程。
当λ=1时，方程化为 ，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点；
当λ≠1时，方程化为，它表示圆，该圆圆心的坐标为 ，半径为。
点评：本题在求出轨迹方程之后，在判定为何曲线时，因参数引起了分类讨论：一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数，从而需对参数分情况讨论，求得问题的结果。
题型4：不等式中分类讨论问题
例7．解不等式>0 (a为常数，a≠－)
分析：含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－解析：2a＋1>0时，a>－； －4a<6a时，a>0 。
所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x>0，解得：x≠0；
当－0，解得: x<6a或x>－4a；
当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－－4a；当a>－时，6a点评：本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。
例8．
解析：
，
，
，；
，
；
；
；
综上所述，得原不等式的解集为：
；；
；；
。
点评：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。
题型5：数列中分类讨论问题
例9．（2012高考真题湖北理18）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.
解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，
由题意得 解得或
所以由等差数列通项公式可得
，或.
故，或。
（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；
当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.
故
记数列的前项和为.
当时，；当时，；
当时，

. 当时，满足此式.
综上，
点评：数列中的含参问题是一个需要牢记的分类推理过程，书写格式相对严格、规范。
例10．（2010四川理数）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2
（Ⅰ）求a3，a5；（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn。
解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6，再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20。
(2)当n∈N *时，由已知(以n＋2代替m)可得：a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8。
于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8，
即 bn＋1－bn＝8。
所以{bn}是公差为8的等差数列
(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列
则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2
另由已知(令m＝1)可得：an＝-(n－1)2.
那么an＋1－an＝－2n＋1
＝－2n＋1＝2n
于是cn＝2nqn－1.
当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)
当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.
两边同乘以q，可得
qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.
上述两式相减得:
(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn＝2·－2nqn＝2·，
所以Sn＝2·
综上所述，Sn＝。
点评：等比数列的求和公式只适合于，特别公比中含参数时，需要分类讨论。
题型6：三角函数与三角形中分类讨论问题
例11．
解析： ，
，
；
；
这与三角形的内角和为180°相矛盾。
，

，
因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。
例12．（2012高考真题新课标理9）已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ）

解析：A；函数的导数为，
要使函数在上单调递减，则有恒成立；
则，即，
所以，
当时，，又，所以有，
解得，即，选A.
点评：含参数的三角函数问题，也需要对参数进行分类讨论。
题型7：实际问题中分类讨论问题
例13．某城市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和每户每定额排污费c元；若用水量超过am3时，除了付给同上的基本费和排污费外，超过部分每方米付b元的超额费．已知每户每月的排污费不超过4元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：
月份
用水量（m3）
水费（元）
1
8
9
2
15
19
3
13
15
解析：设每月用水量为xm3，支付费用为y元，?则
由题意知0＜c≤4，8+c≤12，故第2、3月份用水量15 am3,13 am3大于最低用水限量am3，将 分别代入 中，
得? ①
再分析1月份用水量是否超过最低限量am3 。
不妨设8＞a，将中，
得9=8+2（8–a）+c，得2a=c+15 ②，显然①、②矛盾，
∴1月份用水量不超过最低限量。
?又∵y=8+c ，∴9=8+c,c=1，∴a=10,b=2,c=1。
点评：本题为实际应用问题，在解题过程中，隐含着分类讨论：a>8,a=8,a<8，根据条件，逐一讨论，使问题得以解决．
【方法技巧】
分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它可以将整体化为局部，将复杂问题化为单一问题，以便于“各个击破”。但由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述较为烦琐，且极易在完备上造成失误，因此它并非一定是解决问题的上策或良策，我们提倡在熟悉和掌握分类思想的同时，要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论。下面结合一些实例，谈谈简化分类讨论的常用策略。消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解。
1．对于分类讨论题不要急于直接进行分类讨论，首先应认真审查题目的特点，考虑是否可以你用合适的公式、法则，能否进行某中变形，可否改变常规的思维方式和解题策略，即能否消除或掩盖“讨论基因”，若能，则可以避免进行繁杂的分类讨论；若不能，可否先作某些等价变换，使讨论推迟得来，这种延迟讨论有时也是一种简化和一种进步。当然，有些问题，你通过了一番试验，仍无法作到完全回避讨论或延迟讨论，这可能是“不可避免的直接讨论型”问题，这是我们就应遵循分类讨论的原则去攻克它。
2．实际应用题（排列组合）中分类讨论往往带有隐蔽性，理解题意，抓住限制条件，准确把握分类对象和标准是解决问题的关键。如果发现多种分类途径，则应加强比较，从中选择最为合理的分类途径。
3．分类的原则是不重复不遗漏，即将讨论的对象分为若干类时，其并集为全集，两两的交集为空集。
4．分类对象，即使问题变换不定的变动因素；分类的标准，即使变换不定的问题转化为相对稳定问题的分类界值，分类对象和分类标准的确定，应通过识别问题情景来完成。
5．应该注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题作深入的研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单。
【专题训练】
一、填空题
1．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，那么a的取值范围是____________．
2．过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB＝4，则这样的直线有________条．
3．设集合A＝{x|x2＋x－12＝0}，集合B＝{x|kx＋1＝0}，如果A∪B＝A，则由实数k组成的集合中所有元素的和与积分别为____________．
4．在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝8，则S△ABC＝__________.
5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x－y＝0,2x＋y＝0，则双曲线的离心率是________．
6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．
7．设常数a>0，椭圆x2－a2＋a2y2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a＝________.
8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝，S3＝，则a1的值为__________．
9．若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是__________．
10．函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．
11．若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围为________________．
12．若x∈(1,2)时，不等式(x－1)2二、解答题
13．如果函数y＝a2x＋2ax－1 (a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
14.已知函数f(x)＝2asin2x－2 asin xcos x＋a＋b(a≠0)的定义域是，值域是
[－5,1]，求常数a，b的值．
15．已知函数f(x)＝－2x2－x，求m、n的值，使f(x)在区间[m，n]上值域为[2m,2n] (m【参考答案】
1．(－2,2]　2. 3　3.－，0 4．32或16
5.或 6．4或 7.或2 8.或6
9. 10．[0,4] 11．a>0且b≤0 12．(1,2]
13．解　设t＝ax，则y＝t2＋2t－1.
(1)当a>1时，因为x∈[－1,1]，
所以t∈，
而y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，
故在t∈上，y单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，故a＝3.
(2)当0所以t∈，
而y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，
故在t∈上，y单调递增，
所以ymax＝2－2＝14，故a＝.综上知a＝3或a＝.
14．解　f(x)＝2a·(1－cos 2x)－ asin 2x＋a＋b
＝－2a＋2a＋b＝－2asin＋2a＋b，
又∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π，∴－≤sin≤1.
因此，由f(x)的值域为[－5,1]
可得或
解得或.
15．解　f(x)＝－22＋.
(1)若m解得或与m(2)若－≤m即
两式作差得m＋n＝，将其代入①式，得2m2－m＋1＝0，Δ＝－7<0，
∴方程无实根．
(3)若m<－又∵f＝f＝－，故
①当－≤m<－时，也有2m＝－.
∴m＝－，与m<－矛盾．
②当m<－时，有f(m)＝2m.
解得m＝－或m＝0(舍去)．综上可知，m＝－，n＝.