2013届高三数学二轮复习专题复习（3）转化与化归思想

【专题三】转化与化归思想
【考情分析】
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助。《考试说明》强调，对于数学思想和方法的考查要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度．考查时，要从学科整体意识和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．
数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置，在选择题、填空题、解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法，其难度在0.4～0.6之间。它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。
预测2013年高考对本讲的考查为：
（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。
（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。
（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。
（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。
【知识归纳】
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。
1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
2．常见的转化方法
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式。常见的转化方法有：
（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；
（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；
（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；
（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；
（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；
（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；
（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；
（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；
（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；
（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决。
3．化归与转化应遵循的基本原则：
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
4．转化与化归的指导思想
(1)把什么问题进行转化，即化归对象；
(2)化归到何处去，即化归目标；
(3)如何进行化归，即化归方法；化归与转化思想是一切数学思想方法的核心。
【考点例析】
题型1：集合问题
例1．（2012高考真题重庆理10）设平面点集，则所表示的平面图形的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：D；由可知或者，在同一坐标系中做出平面区域如图：
由图象可知的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为，选D.
（2）已知函数,在区间上至少存在一个实数使,求实数的取值范围.
分析:运用补集概念求解。
解答：设所求的范围为A,则注意到函数的图象开口向上 ；
点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。
题型2：函数问题
例2．（2012高考江苏5）函数的定义域为 ▲ ．
解析：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得：
。
点评：函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式；还有函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
题型3：不等式问题
例3．（1）（2012高考真题重庆理2）不等式的解集为（ ）
A. B. C. D. 对
解析：A；原不等式等价于或，即或，所以不等式的解为，选A.
（2）（2011江苏14）设集合, , 若 则实数m的取值范围是___________；
（2）解析：当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间；
，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 。
.又因为。
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的。
（3）（2012高考真题四川理9）某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
解析：C；设生产桶甲产品，桶乙产品，总利润为Z，则约束条件为，目标函数为：
可行域为，当目标函数直线经过点M时有最大值，联立方程组得，代入目标函数得，故选C.
评析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题。
题型4：三角问题
4．（1）（2012高考真题上海理16）在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
解析：C；根据正弦定理可知由,可知，在三角形中，所以为钝角，三角形为钝角三角形，选C。
点评：本小题主要考查解三角形知识，并突出了边角互化这一转化思想的应用。
（2）（2012高考真题江西理4）若tan+ =4,则sin2=（ ）
A． B. C. D.
解析：D由得， ，即，所以，选D.
点评：本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。体现在三角函数中是切化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。
题型5：数列问题
例5．（2010辽宁理数，16）已知数列满足则的最小值为__________.
【答案】
【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。
【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n
所以
设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时有最小值。
又因为，，所以，的最小值为.
点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。
如等差数列的通项公式，前n项的和公式。当时，可以看作自变量n的一次和二次函数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。
题型6：立体几何问题
例6．（1）如果，三棱锥P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P—ABC的体积。
分析：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S△ABC以及高h都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．
解析：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以
VP－ABC=VP－ECD+VA－ECD=S△ECD?AE+S△ECD?PE=S△ECD ?PA
=?BC·ED·PA=。
点评：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。
（2）如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考）
分析：由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SC⊥DM。
证明：由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，
∴ AB⊥SC。
∵ AB⊥SC、AB⊥CD
∴ AB⊥平面SDNC
∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角
由已知得∠MDC＝∠NSC
又∵ ∠DCM＝∠SCN
∴ △DCM≌△SCM
∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠
即 SC⊥DM
所以SC⊥截面MAB。
点评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。
题型7：解析几何问题
例7．（1）设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。
分析：设k＝x＋y，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。
解析：由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。
设k＝x＋y，则y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0 ，
即k＝－x＋3x，其对称轴为x＝3。
由0≤x≤2得k∈[0,4]。
所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
另解：数形结合法（转化为解析几何问题）：
由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x＋y的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x＋y＝k，代入椭圆中消y得x－6x＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
再解：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：
由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，设，则
x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα
＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]
所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
点评：题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。
（2）（2012高考真题辽宁理3）已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是（ ）
(A) a∥b (B) a⊥b (C) |a|=|b| (D)a+b=ab
解析：B；法一、由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0, 所以a⊥b，故选B
法二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b，故选B
点评：本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。解析一是利用向量的运算来解，解析二是利用了向量运算的几何意义来解。这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多，如归纳、猜想、证明的方法，过定点问题，定值问题也可以用这样的思路。
题型8：具体、抽象问题
例8．（2004浙江卷（理）第12题）：若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解，则g［f（x）］不可能是（　　）
（A）x2＋x－ 　（B） x2＋x＋ 　（C）x2－ 　 （D）x2＋
分析：本题直接解不容易，不妨令f（x）＝x，则f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g（x），x－f［g（x）］＝0有实数解即x－g（x）＝0有实数解。这样很明显得出结论，B使x－g（x）＝0没有实数解，选B
这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m，对数函数型f（xy）＝f（x）＋f（y），幂函数型f（xy）＝f（x）f（y）。
点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。
题型9：正难则反转化问题
例9．（2011山东理20）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意。
由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.
（Ⅱ）因为=, 所以
=-=-=
-,所以=-=-。
点评：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。
题型10：实际应用问题
例10．把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。
分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。
解析：如图，设矩形的一边长为x,则半圆的周长为
矩形的另一边长为=
设零件的面积为S，则
S==
∵a＜0 ∴当时，S有最大值，这时AB=。
∴当矩形的两邻边AB与BC之比为1︰2时，Smax=。
点评：实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。
【方法技巧】
1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。
2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。
3．注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性
化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法，而设计目标是问题的关键。设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法以及在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）。化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。因此，在解题过程中，必须始终紧紧盯住化归的目标，即应该始终考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的。在这个大前提下实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。
4．注意化归的等价性，确保逻辑上的正确
化归包括等价化归和非等价化归，等价化归后的新问题与原问题实质是一样的，不等价化归则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。高中数学中的化归大多要求等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误。例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义，在经过数学变换后，应将所得的结果按实际意义检验；解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持。
数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外。学生在解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透，要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。正如笛卡尔所说的：走过两遍的路就是方法。
【专题训练】
一、填空题
1．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________.
2．函数f(x)＝＋的值域为________．
3．在等比数列{an}中，a1＝a，前n项和为Sn，若数列{an＋1}成等差数列，则Sn＝________.
4．在各棱长都等于1的正四面体OABC中，若点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则||的最小值等于________．
5．已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R都成立，则参数a的取值范围为____________．
6．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c，使f(c)>0，则实数p的取值范围为____________．
7．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10＝________.
8．已知函数f(x)＝(4a－3)x＋b－2a，x∈[0,1]，若f(x)≤2恒成立，则a＋b的最大值为________．
9．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是____________．
10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值为________．
11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为，则＋的最大值为________．
12．若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都有f(x＋3)≤f(x)＋3和f(x＋2)≥f(x)＋2，且f(1)＝1，则f(2 012)＝________.
二、解答题
13．设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，求x的取值范围．
14.已知非空集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，若A∩R－≠，求实数m的取值范围(R－表示负实数集)．
15．已知奇函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤时，是否存在这样的实数m，使f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>f(0)对所有的θ∈均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
1．5　2.[1，]　3.na　4.
5．3≤a≤4 6. 7．－30　8.
9．(0，) 10. 11．4 12．2 012
13．解　∵f(x)在R上是增函数，
∴由f(1－ax－x2)≤f(2－a)
可得1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]．
∴a(x－1)＋x2＋1≥0，对a∈[－1,1]恒成立．
令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1.
则当且仅当g(－1)＝x2－x＋2≥0，g(1)＝x2＋x≥0，
解之，得x≥0或x≤－1.
故实数x的取值范围为x≤－1或x≥0.
14．解　设全集U＝{m|Δ＝16m2－8m－24≥0}＝.
方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根均非负的充要条件是
可得m≥.
∴A∩R－＝时，实数m的取值范围为.
∴A∩R－≠时，实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
15．解　因为f(x)在R上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数，故f(x)在R上为增函数，且f(0)＝0.
由题设条件可得，
f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>0.
又由f(x)为奇函数，可得f(cos 2θ－3)>f(2mcos θ－4m)．
∵f(x)在R上为增函数，
∴cos 2θ－3>2mcos θ－4m，
即cos2θ－mcos θ＋2m－2>0.
令cos θ＝t，∵0≤θ≤，∴0≤t≤1.
于是问题转化为对一切0≤t≤1，
不等式t2－mt＋2m－2>0恒成立．
∴t2－2>m(t－2)，即m>恒成立．
又∵＝(t－2)＋＋4≤4－2，
∴m>4－2，
∴存在实数m满足题设的条件，且m>4－2.

【专题三】转化与化归思想
【考情分析】
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助。《考试说明》强调，对于数学思想和方法的考查要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度．考查时，要从学科整体意识和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．
数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置，在选择题、填空题、解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法，其难度在0.4～0.6之间。它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。
预测2013年高考对本讲的考查为：
（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。
（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。
（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。
（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。
【知识归纳】
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。
1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
2．常见的转化方法
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式。常见的转化方法有：
（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；
（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；
（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；
（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；
（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；
（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；
（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；
（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；
（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；
（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决。
3．化归与转化应遵循的基本原则：
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
4．转化与化归的指导思想
(1)把什么问题进行转化，即化归对象；
(2)化归到何处去，即化归目标；
(3)如何进行化归，即化归方法；化归与转化思想是一切数学思想方法的核心。
【考点例析】
题型1：集合问题
例1．（2012高考真题重庆理10）设平面点集，则所表示的平面图形的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：D；由可知或者，在同一坐标系中做出平面区域如图：
由图象可知的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为，选D.
（2）已知函数,在区间上至少存在一个实数使,求实数的取值范围.
分析:运用补集概念求解。
解答：设所求的范围为A,则注意到函数的图象开口向上 ；
点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。
题型2：函数问题
例2．（2012高考江苏5）函数的定义域为 ▲ ．
解析：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得：
。
点评：函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式；还有函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
题型3：不等式问题
例3．（1）（2012高考真题重庆理2）不等式的解集为（ ）
A. B. C. D. 对
解析：A；原不等式等价于或，即或，所以不等式的解为，选A.
（2）（2011江苏14）设集合, , 若 则实数m的取值范围是___________；
（2）解析：当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间；
，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 。
.又因为。
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的。
（3）（2012高考真题四川理9）某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
解析：C；设生产桶甲产品，桶乙产品，总利润为Z，则约束条件为，目标函数为：
可行域为，当目标函数直线经过点M时有最大值，联立方程组得，代入目标函数得，故选C.
评析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题。
题型4：三角问题
4．（1）（2012高考真题上海理16）在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
解析：C；根据正弦定理可知由,可知，在三角形中，所以为钝角，三角形为钝角三角形，选C。
点评：本小题主要考查解三角形知识，并突出了边角互化这一转化思想的应用。
（2）（2012高考真题江西理4）若tan+ =4,则sin2=（ ）
A． B. C. D.
解析：D由得， ，即，所以，选D.
点评：本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。体现在三角函数中是切化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。
题型5：数列问题
例5．（2010辽宁理数，16）已知数列满足则的最小值为__________.
【答案】
【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。
【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n
所以
设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时有最小值。
又因为，，所以，的最小值为.
点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。
如等差数列的通项公式，前n项的和公式。当时，可以看作自变量n的一次和二次函数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。
题型6：立体几何问题
例6．（1）如果，三棱锥P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P—ABC的体积。
分析：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S△ABC以及高h都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．
解析：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以
VP－ABC=VP－ECD+VA－ECD=S△ECD?AE+S△ECD?PE=S△ECD ?PA
=?BC·ED·PA=。
点评：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。
（2）如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考）
分析：由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SC⊥DM。
证明：由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，
∴ AB⊥SC。
∵ AB⊥SC、AB⊥CD
∴ AB⊥平面SDNC
∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角
由已知得∠MDC＝∠NSC
又∵ ∠DCM＝∠SCN
∴ △DCM≌△SCM
∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠
即 SC⊥DM
所以SC⊥截面MAB。
点评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。
题型7：解析几何问题
例7．（1）设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。
分析：设k＝x＋y，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。
解析：由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。
设k＝x＋y，则y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0 ，
即k＝－x＋3x，其对称轴为x＝3。
由0≤x≤2得k∈[0,4]。
所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
另解：数形结合法（转化为解析几何问题）：
由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x＋y的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x＋y＝k，代入椭圆中消y得x－6x＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
再解：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：
由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，设，则
x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα
＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]
所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
点评：题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。
（2）（2012高考真题辽宁理3）已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是（ ）
(A) a∥b (B) a⊥b (C) |a|=|b| (D)a+b=ab
解析：B；法一、由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0, 所以a⊥b，故选B
法二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b，故选B
点评：本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。解析一是利用向量的运算来解，解析二是利用了向量运算的几何意义来解。这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多，如归纳、猜想、证明的方法，过定点问题，定值问题也可以用这样的思路。
题型8：具体、抽象问题
例8．（2004浙江卷（理）第12题）：若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解，则g［f（x）］不可能是（　　）
（A）x2＋x－ 　（B） x2＋x＋ 　（C）x2－ 　 （D）x2＋
分析：本题直接解不容易，不妨令f（x）＝x，则f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g（x），x－f［g（x）］＝0有实数解即x－g（x）＝0有实数解。这样很明显得出结论，B使x－g（x）＝0没有实数解，选B
这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m，对数函数型f（xy）＝f（x）＋f（y），幂函数型f（xy）＝f（x）f（y）。
点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。
题型9：正难则反转化问题
例9．（2011山东理20）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意。
由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.
（Ⅱ）因为=, 所以
=-=-=
-,所以=-=-。
点评：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。
题型10：实际应用问题
例10．把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。
分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。
解析：如图，设矩形的一边长为x,则半圆的周长为
矩形的另一边长为=
设零件的面积为S，则
S==
∵a＜0 ∴当时，S有最大值，这时AB=。
∴当矩形的两邻边AB与BC之比为1︰2时，Smax=。
点评：实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。
【方法技巧】
1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。
2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。
3．注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性
化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法，而设计目标是问题的关键。设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法以及在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）。化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。因此，在解题过程中，必须始终紧紧盯住化归的目标，即应该始终考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的。在这个大前提下实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。
4．注意化归的等价性，确保逻辑上的正确
化归包括等价化归和非等价化归，等价化归后的新问题与原问题实质是一样的，不等价化归则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。高中数学中的化归大多要求等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误。例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义，在经过数学变换后，应将所得的结果按实际意义检验；解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持。
数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外。学生在解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透，要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。正如笛卡尔所说的：走过两遍的路就是方法。
【专题训练】
一、填空题
1．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________.
2．函数f(x)＝＋的值域为________．
3．在等比数列{an}中，a1＝a，前n项和为Sn，若数列{an＋1}成等差数列，则Sn＝________.
4．在各棱长都等于1的正四面体OABC中，若点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则||的最小值等于________．
5．已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R都成立，则参数a的取值范围为____________．
6．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c，使f(c)>0，则实数p的取值范围为____________．
7．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10＝________.
8．已知函数f(x)＝(4a－3)x＋b－2a，x∈[0,1]，若f(x)≤2恒成立，则a＋b的最大值为________．
9．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是____________．
10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值为________．
11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为，则＋的最大值为________．
12．若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都有f(x＋3)≤f(x)＋3和f(x＋2)≥f(x)＋2，且f(1)＝1，则f(2 012)＝________.
二、解答题
13．设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，求x的取值范围．
14.已知非空集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，若A∩R－≠，求实数m的取值范围(R－表示负实数集)．
15．已知奇函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤时，是否存在这样的实数m，使f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>f(0)对所有的θ∈均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
1．5　2.[1，]　3.na　4.
5．3≤a≤4 6. 7．－30　8.
9．(0，) 10.  11．4 12．2 012
13．解　∵f(x)在R上是增函数，
∴由f(1－ax－x2)≤f(2－a)
可得1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]．
∴a(x－1)＋x2＋1≥0，对a∈[－1,1]恒成立．
令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1.
则当且仅当g(－1)＝x2－x＋2≥0，g(1)＝x2＋x≥0，
解之，得x≥0或x≤－1.
故实数x的取值范围为x≤－1或x≥0.
14．解　设全集U＝{m|Δ＝16m2－8m－24≥0}＝.
方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根均非负的充要条件是
可得m≥.
∴A∩R－＝时，实数m的取值范围为.
∴A∩R－≠时，实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
15．解　因为f(x)在R上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数，故f(x)在R上为增函数，且f(0)＝0.
由题设条件可得，
f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)>0.
又由f(x)为奇函数，可得f(cos 2θ－3)>f(2mcos θ－4m)．
∵f(x)在R上为增函数，
∴cos 2θ－3>2mcos θ－4m，
即cos2θ－mcos θ＋2m－2>0.
令cos θ＝t，∵0≤θ≤，∴0≤t≤1.
于是问题转化为对一切0≤t≤1，
不等式t2－mt＋2m－2>0恒成立．
∴t2－2>m(t－2)，即m>恒成立．
又∵＝(t－2)＋＋4≤4－2，
∴m>4－2，
∴存在实数m满足题设的条件，且m>4－2.