2013届高三数学二轮复习专题（4）函数与方程思想

【专题四】函数与方程思想
【考情分析】
观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。
在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；（4）构造方程求解。
预测2013年高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方面：①是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题；②是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题；③是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题．在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的考查．特别注意客观形题目，大题一般难度略大。
【知识归纳】
函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）思想的运用使我们解决问题的重要手段。
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题；
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；
3．函数的思想与方程的思想的关系
在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决．对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程可相互转化。
4．函数方程思想的几种重要形式
（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；
（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；
（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；
（4）函数f(x)＝（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；
（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；
（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
【考点例析】
题型1：函数思想在方程中应用
例1．（2012高考山东）设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B；
【解析】：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当时，要想满足条件，则有如图，做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为，由图象知即，同理当时，则有，故答案选B。
另法：，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B。
题型2：函数思想在不等式中的应用
例2．（2012高考浙江）设a大于0，b大于0.
A．若2a+2a=2b+3b，则a＞b B．若2a+2a=2b+3b，则a＞b
C．若2a-2a=2b-3b，则a＞b D．若2a-2a=ab-3b，则a＜b
【答案】A；
【解析】若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．故选A。
点评：当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决。当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决。
题型3：函数思想在实际问题中的应用
例3．（2011陕西理14) ．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．
【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题；
【解】（方法一）设树苗放在第个树坑旁边（如图），
1 2 … … 19 20
那么各个树坑到第i个树坑距离的和是：
。
所以当或时，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米。
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是：
，
所以路程总和最小为2000米.
点评：构造的二次函数形式在解题过程中起到了关键作用，函数是解决具体问题的有效工具。该题通过分析实际模型建立了函数解析式，研究函数的性质，解释问题。
题型4：函数思想在数列中的应用
例4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，>0，<0，
（1）求公差d的取值范围；
（2）指出、、…，中哪一个最大，并说明理由。
解析：（1）由得：，
∵＝>0，＝<0，
∴（2），
∵d<0，是关于n 的二次函数，对称轴方程为：x＝。
∵∴当n＝6时，最大。
点评：数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。
题型5：函数思想在立体几何中的应用
例5．（1）（2012高考江西）如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为（ ）
【答案】A；
【解析】：（定性法）当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越快；当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A。
【点评】对于函数图象的识别问题，若函数的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间。
（2）已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为1，表面积为，求长方体的体积的最值。
解析：设三条棱长分别为x，y，z，则长方体的体积V＝xyz。
由题设有：；
所以，
故体积V（x），
下面求x的取值范围。因为，
所以y、z是方程的两个实根。
由，
因为
所以当时，；当时，。
点评：解决本题的关键在于确定目标函数时，根据相关条件的特征，构造了二次方程，并由此得出定义域使问题得解。
题型6：利用方程思想处理解析几何问题
例6．（1）直线与圆相切，则a的值为（ ）
A．B． C．1D．
解析：由直线方程得，并代入圆方程，整理得。
又直线与圆相切，应有，解得。
故选D。
点评：即把直线方程代入圆或圆锥曲线的方程，消去y，得关于x的一元二次方程，其判别式为△，则有：（1）曲线C与直线相离；（2）曲线C与直线相切；（3）曲线C与直线相交。
（2）△ABC的三边a，b，c满足b＝8－c，，试确定△ABC的形状。
解析：因为b＋c＝8，，
所以b，c是方程的两实根，
即，所以a＝6。从而得b＝c＝4，因此△ABC是等腰三角形。
点评：构建一元二次方程的模型解决数学问题，是一种行之有效的手段，其独特功能在于充分运用构建的一元二次方程及根的判别式和求根公式变更命题，从而使问题获得圆满解决。
题型7：函数思想在三角中的应用
例7．（1）求的取值范围。
解析：设，
则，构造二次函数，
由图1可知：
图1
即。
（2）已知函数，当有实数解时，求a的取值范围。
解析：由得，分离a得：
；
问题转化为求a的值域。
因为，所以。
故当时，有实数解。
点评：该题通过三角换元构造了二次函数，最终求得最值。
题型8：方程思想在求函数最值中的应用
例8．（1）如果函数的最大值是4，最小值是－1，求实数a、b的值。
解析：由y的最大值是4，知存在实数x使＝4，即方程有实根，故有；
又由y的最大值是4，知对任意实数x恒有，即恒成立，故，从而有。
同样由y的最小值是－1，可得。
由，可解得。
（2）已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
解析：函数式变形为： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0，x∈R，
由已知得y－m≠0，∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0。
即：y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①，
不等式①的解集为(－1,7)，则。
解得：或 ∴ y＝……
（也可： 由解集(－1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,然后与不等式①比较系数而得。）
点评：本例解法中，对题设中给出的最值，一方面认为是方程的实数解，另一方面又认为是不等式的恒成立条件。由于对题设条件的理解深刻，所以构思新颖，证法严谨。
题型9：方程思想在数列知识中的应用
例9．若(z－x) －4(x－y)(y－z)＝0,求证：x、y、z成等差数列。
分析：题设正好是判别式b－4ac＝0的形式，因此构造一个一元二次方程求解。
证明：当x＝y时，可得x＝z，∴x、y、z成等差数列；
当x≠y时，设方程(x－y)t－(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，并易知t＝1是方程的根。
∴t·t＝＝1，即2y＝x＋z，
∴x、y、z成等差数列。
点评：题设条件具备或经变形整理后具备x＋x＝a、x·x＝b的形式，则利用根与系数的关系构造方程；具备b－4ac≥0或b－4ac≤0的形式，可利用根的判别式构造一元二次方程。
题型10：方程思想在三角知识中的应用
例10．△ABC中，求证：cosA·cosB·cosC≤
证明：设k＝cosA·cosB·cosC＝[cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC＝[－cosC＋cos(A－B)]cosC；
整理得：cosC－cos(A－B)·cosC＋2k＝0，即看作关于cosC的一元二次方程。
∴△＝cos (A－B)－8k≥0，即 8k≤cos (A－B)≤1；
∴ k≤即cosA·cosB·cosC≤。
点评：既是方程思想，也属判别式法。还可用放缩法：cosA·cosB·cosC＝… ＝－cosC＋cos(A－B)·cosC＝－[cosC－]＋cos (A－B)≤cos (A－B) ≤。
题型11：函数零点与方程的解
例11．（1）（2012年高考北京）函数的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B；
【解析】：函数的零点,即令,根据此题可得,在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选答案B.
点评：函数的零点、方程的根以及函数图像与x轴的交点之间存在相互转化关系。本题主要考察学生对方程的根与函数零点关系的理解，以及利用函数图象确定函数零点的个数的方法。
（2）已知函数，则方程在（，）内有没有实数解？说明理由？
解析：由基本初等函数的性质可知函数在其定义域内的图象连续，
且有，，
于是有·。
∴函数在区间（，）内至少有一个零点，
即方程在区间（，）（，1）内至少有一个实数解．
点评：本题主要考察学生对函数零点存在判定定理的理解与应用。
【方法技巧】
1．函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系；
2．在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想；
3．函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．
总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题。在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案。
【专题训练】
一、选择题（本题每小题5分，共60分）
1．设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足（ ）
A．B．C．D．
2．设P是的二面角内一点，垂足，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
3． 若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是（ ）
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
4．每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有（ ）
A．2种B．3种 C．4种 D．5种
5．设函数，区间M=[a，b](aA．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个
6．设是函数的反函数，若，则的值为 （ ）
A．1B．2C．3D．
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
8．若函数f(x)=(1－m)x2－2mx－5是偶函数，则f(x)（ ）
A．先增后减B．先减后增C．单调递增D．单调递减
9．定义在（－∞，+∞）上的奇函数f(x)和偶函数g(x)在区间（－∞,0上的图像关于x轴对称，且f(x)为增函数，则下列各选项中能使不等式f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)成立的是（ ）
A．a>b>0B．a0D．ab<0 （ ）
10．△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°,△ABC的面积为，那么b=（ ）
A．B．C．D．
11．两个正数a、b的等差中项是5，等比中项是4。若a＞b，则双曲线的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
12．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元（n∈N*），使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少）为止，一共使用了（ ）
A．800天 B．1000天 C．1200天 D．1400天
二、填空题（本题每小题4分，共16分）
13．若的展开式中常数项为－20，则自然数n＝ .
14．x0是x的方程ax=logax(015．已知函数互为反函数，又的图象关于直线对称，若___ __，_______ 。
16．已知矩形的边平面现有以下五个数据：
当在边上存在点，使时，则可以取_____________。（填上一个正确的数据序号即可）
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知集合A={x|x2－ax+a2－19=0}，集合B={x|log2(x2－5x+8)=1}，集合C={x|m=1,m≠0，|m|≠1}满足A∩B, A∩C=，求实数a的值.
18．（本小题满分12分）有一组数据的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11.
（1）求出第一个数关于的表达式及第个数关于的表达式;
（2）若都是正整数，试求第个数的最大值，并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据.
19．（本小题满分12分）某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件.第二年，商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即销售100元要征收p元），于是该商品的定价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件.
（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少？
（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
20．（本小题满分12分）求函数在[0，2]上的最大值和最小值.
21．（本小题满分12分）已知二次函数f(x)=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f(x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x有等根。
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m,n（m22．（本小题满分14分）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
（1）若首项，公差，求满足的正整数k；
（2）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立.
【参考答案】
一、选择题（每小题5分，共60分）
(1).D (2).C (3).B (4).A (5). A(6).B (7).C (8).B (9).A (10).B (11).C (12).A
二、填空题（每小题4分，共16分）
(13). 3； (14). 10或10 (15). ； (16). ①或②
三、解答题（共74分，按步骤得分）
17.解：由条件即可得B={2，3}，C={－4，2}，
由A∩B，A∩C=，可知3∈A，2A。
将x=3代入集合A的条件得：a2－3a－10=0 ∴a=－2或a=5
当a=－2时，A={x|x2+2x－15=0}={－5,3},符合已知条件。
当a=5时,A={x|x2－5x+6=0}={2，3}，不符合条件“A∩C”=，故舍去.
综上得：a=－2.
18.解：（1） 依条件得：由得：，又由得：
（2）由于是正整数，故 ，，故当=10时, ，，, 此时，,,,,,,,.
19. 解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8－p）万件，
年销售收入为（11.8－p）万元，?
则商场该年对该商品征收的总管理费为（11.8－p）p%（万元）.
故所求函数为:y=（118－10p）p.
11.8－p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜.
（2）由y≥14，得（118－10p）p≥14.?
化简得p2－12p+20≤0，即（p－2）（p－10）≤0，解得2≤p≤10.?
故当比率在［2%，10%］内时，商场收取的管理费将不少于14万元.
（3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，
厂家的销售收入为g（p）=（11.8－p）（2≤p≤10）.
∵g（p）=（11.8－p）=700（10+）为减函数，?
∴g（p）max=g（2）=700（万元）.?
故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元.
20. 解：
化简为 解得
当单调增加；当单调减少.
所以为函数的极大值.
又因为
所以 为函数在[0，2]上的最小值，为函数
在[0，2]上的最大值.
21.解：(1)∵方程ax2+bx－2x=0有等根，∴△=(b－2)2=0，得b=2。
由f(x－1)=f(3－x)知此函数图像的对称轴方程为x=－=1，得a=－1，
故f(x)=－x2+2x.
(2)∵f(x)=－(x－1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤.
而抛物线y=－x2+2x的对称轴为x=1，∴当n≤时，f(x)在[m,n]上为增函数。
若满足题设条件的m,n存在，则
即又m∴m=－2,n=0，这时，定义域为[－2，0]，值域为[－8，0].
由以上知满足条件的m,n存在,m=－2,n=0.
22. 解：（1）当时，
由，
即 又.
（2）设数列{an}的公差为d，则在中分别取k=1,2,得
由（1）得
当
若成立
若
故所得数列不符合题意.
当
若
若.
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{an} : an=0，即0，0，0，…；
②{an} : an=1，即1，1，1，…；
③{an} : an=2n－1，即1，3，5，…，
（1）
（2）