2013届高三数学二轮复习专题（5）数学方法之特殊解法

【专题五】数学方法之特殊解法
【考情分析】
近年高考题尽量减少繁烦的运算，着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力，以及观察、分析、比较、简捷的运算方法和推理技巧，突出了对学生数学素质的考查。试题运算量不大，以认识型和思维型的题目为主，许多题目既可用通性、通法直接求解,也可用 “特殊”方法求解。其中，配方法、待定系数法、换元法、参数法是几种常用的数学解题方法。这些方法是数学思想的具体体现，是解决问题的手段，它们不仅有明确的内涵，而且具有可操作性，有实施的步骤和作法，事半功倍是它们共同的效果。
纵观近几年高考命题的趋势，在题目上还是很注意特殊解法应用，应为他起到避繁就简、避免分类讨论、避免转化等作用。
预测2013年的高考命题趋势为：
（1）部分涉及函数性质、三角函数变形及求值、方程不等式的参数最值、解析几何求值等知识点的题目会用到这几种特殊解法；
（2）这些解题方法都对应更一般的解法，它们的规律不太容易把握，但它们在实际的考试中会节省大量的时间，为后面的题目奠定基础；
【知识归纳】
1．换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα ，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。
2．待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
3．参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
4．配方（凑）法
（1）配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题。
（2）配凑法：从整体考察，通过恰当的配凑，使问题明了化、简单化从而达到比较容易解决问题的方法。常见的配凑方法有：裂项法，错位相减法，常量代换法等。
【考点例析】
1．配方（凑）法典例解析
例1．（1）（2012高考重庆）设是方程的两个根，则的值为（ ）
（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3
【答案】A；
【解析】因为是方程的两个根，所以，，所以，选A.
（2）已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）
(A) (B) (C)5 (D)6
分析：设长方体三条棱长分别为x、y、z，则依条件得：
2(xy+yz+zx)=11，4(x+y+z)=24。
而欲求的对角线长为，因此需将对称式写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式，完成这种组合的常用手段是配方法，故=62－11=25。∴ ，应选C。
点评：本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2．（1）设F1和F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则ΔF1PF2的面积是（ ）
(A)1 (B) (C)2 (D)
分析：欲求 (1)，而由已知能得到什么呢？
由∠F1PF2=90°，得 (2)，
又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4 (3)，那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方，即可找到三个式子之间的关系.即，
故
∴ ，∴ 选(A)。
点评：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化。
（2）设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k的取值范围。
解析：方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2，
()+()＝＝＝＝≤7，解得k≤－或k≥。
又 ∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根， ∴△＝k－8≥0即k≥2或k≤－2
综合起来，k的取值范围是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤。
点评：关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。
2．待定系数法典例解析
例3．（2012高考浙江）(本小题满分15分)如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．
【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。
【答案】(Ⅰ)由题：； (1)
左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． (2)
由(1) (2)可解得：．∴所求椭圆C的方程为：．
(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．
∵A，B在椭圆上，
∴．
设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，
代入椭圆：．
显然．∴﹣＜m＜且m≠0．
由上又有：＝m，＝．
∴|AB|＝||＝＝．
∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：．
∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，
当|m＋2|＝，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)时，(SABP)max＝．
此时直线l的方程y＝﹣．
例4．（2012高考新课标）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）

【答案】C；
【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由,则,把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以，所以实轴长，选C.
3．换元法典例解析
例5．（1）（2012年高考重庆）设函数集合 则为 （　　）
A． B．(0,1) C．(-1,1) D．
【答案】：D；
【解析】由得则或即或
所以或;由得即所以故
【考点定位】本题考查了利用整体代换，直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定.
（2）设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。
解析：设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝，
∴f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋（a>0），t∈[-,]，
t＝-时，取最小值：－2a－2a－，
当2a≥时，t＝，取最大值：－2a＋2a－；
当0<2a≤时，t＝2a，取最大值： 。
∴f(x)的最小值为－2a－2a－，最大值为。
点评：此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-,]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例6．点P(x，y)在椭圆上移动时，求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值。
解析：∵点P(x,y)在椭圆上移动，
∴可设，
于是
=
=
令，
∵，∴|t|≤。
于是u=，(|t|≤)
当t=,即时，u有最大值。
∴θ=2kπ+(k∈Z)时，。
4．参数法典例解析
例7．（2012年高考山东）如图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为____.
答案: 解析:根据题意可知圆滚动了2单位个弧长,点P旋转了弧度,此时点的坐标为：
.
另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程：
为,且,
则点P的坐标为,即.
点评：设问形式的存在性问题很常规，但是题目内容却多年不见，考查了点参数问题，根本不需要设直线方程，更没有直线与圆锥曲线的联立，这是大部分学生所不适应的。本题设交点坐标为参数,“设而不求”，以这些参数为桥梁建立t的表达式求解。
例8．实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。
分析：由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求。
解析：由a＋b＋c＝1，设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，其中t＋t＋t＝0，
∴a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥，
所以a＋b＋c的最小值是。
点评：由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥。两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。
【方法技巧】
1．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；
a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；
x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。
2．如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
（1）利用对应系数相等列方程；（2）由恒等的概念用数值代入法列方程；（3）利用定义本身的属性列方程；（4）利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
【专题训练】
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x＋1)＝log (4－x) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________。
4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程＝3的解是_______________。
6.不等式log (2－1) ·log (2－2)〈2的解集是_______________。
7设2＝3＝5>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。
8若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________。
9 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。
10三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
11设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)
12椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是_____。
A. 3 B. C. D. 2
13(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2
14不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____。
A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
15(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____。
A. －297 B.－252 C. 297 D. 207
16函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。
17与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。
18与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。
【参考答案】
1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；
2小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log [-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,log4]；
3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；
4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；
6小题：设log (2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－27小题：设2＝3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；
8已知曲线为椭圆，a＝1，c＝，所以e＝－；
9小题：设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；
10小题：设三条侧棱x、y、z，则xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。
11小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；
12小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，选C。
13小题：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；
14小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；
15小题：分析x的系数由C与(－1)C两项组成，相加后得x的系数，选D；
16小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案；
17小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；
18小题：设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。