开州初中教育集团初2022届九年级下期中测试
数 学 试 卷
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
命题人：
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括辅助线）请一律用黑色签字笔完成．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
选择题: 本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上。
1．在，，，这四个数中，属于负整数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，该下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．估计的运算结果应在下列哪两个数之间（ ）
A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9
5．下列命题，为真命题的是 （ ）
A．三个角是直角的四边形是矩形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三条边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
我国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘.问有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
7. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形.其中BC∶B1C1=1∶2，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（ ）
A．1∶4 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶3
8. 如图，在中，AB为直径，CD为弦，若∠ACD = 20°.则∠BAD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC’，连接CC’，DC’，若∠CC’D = 90°，BC’ = ，则线段C’D的长度为（ ）
A． B． C． D．
10. A、B两地相距20 km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达，甲、乙两人离开A地的距离S（km）与时间t（h）的关系如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．乙比甲先到1小时
B．甲的速度为4 km/h
C．乙提速后速度为9 km/h
D．乙出发两小时后追上甲
11. 如果关于的不等式组有且只有4个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的个数为（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
12. 定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作.例如：因为，所以；因为，所以.下列说法：①；②；③若，则a = 2；④；正确的序号有（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④
二、填空题：本大题4个小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡相应的位置上．
13.计算： __________.
14. 四个完全相同的球上分别标有数字，，，，从这四个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则点能被5整除的概率为______．
15. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，点D在边BC上，以OA为半径的经过点D，连接AD，且AD平分∠BAC .若∠BAC = 60°，的半径为2，,则阴影部分的面积为 ．
在新冠肺炎疫情发生后，某企业引进12条A、B、C型生产线生产防护服，A、B、C型生产线每条生产线每分钟的产量之比为4∶2∶1，为了扩大生产，该企业准备增加7条生产线，其中B型生产线增加1条，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每分钟的产量将增加4件.统计发现，增加生产线后，该企业每分钟的总产量恰比增加生产线前多142件，且A型生产线每分钟的产量与三种类型生产线每分钟的总产量之比为2∶5 .请问，增加生产线后，该企业A、C型生产线每分钟的产量之比为 .
三、解答题：本大题2个小题，每小题8分，共16分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．
17．计算（1）； （2）．
如图，四边形ABCD是菱形.
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作出AB的垂直平分线EF，分别交AB，AC于点E和点F；
（2）在（1）问图中，当CF=BC时，请求出∠ADC的度数.
解：∵EF垂直平分AB
∴AF= ①
∴设∠CAB=∠ABF= x
∴∠CFB=∠CAB+∠ABF= 2x
∵CF=CB
∴ ② =∠CFB= 2x
∴∠ABC=∠ABF+∠FBC= 3x
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，∠ADC=∠ABC
∴∠ACB=∠CAB= x
在△ABC中，∠CAB+∠ABC+∠BCA=180°，即： x+3x+x=180°
∴ x= ③
∴∠ADC=3x= ④
四、解答题：本大题7个小题，每小题10分，共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．
为培养学生良好的运动习惯和运动能力，某校本学期开展了：“趣味运动会”和“长跑”等体育活动.为了了解七年级学生的长跑水平，该校对全体七年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（满分100分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x<60，B.60≤x<70，C.70≤x<80，D.80≤x<90，E.90≤x<100），绘制了不完整的统计图表.
收集、整理数据：
20名男生的长跑成绩分别为76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88
20名女生中，长跑成绩在C组和D组的分别为73，74，74，74，74，76，83，88，89
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
请根据以上信息，回答下列问题：
a= ， b= ，并补全频数分布直方图；
根据以上数据，你认为七年级学生是男生的长跑成绩好还是女生的长跑成绩好？请判断并说明理由（一条理由即可）；
如果该校七年级有男生900名，女生600名，请估计七年级长跑成绩不低于80分的学生人数.
一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，两点.
分别求出一次函数和反比例函数的解析式，并在给出的平面直角坐标系中，直接画出一次函数和反比例函数的图像；
连接AO并延长交双曲线于点C，连接BC，求△ABC的面积；
直接写出当时，x的取值范围.
如图，建筑物AB后有一座小山，∠DCF=30°，测得小山坡脚C点与建筑物水平距离BC = 25米， 若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离CE = 20米，某人从建筑物顶端A点测得E点处的俯角为48°.
求凉亭到水平地面的距离；
求建筑物AB的高.（结果精确到0.1m）
(参考数据: ≈1.73，sin48°≈0.74, cos48°≈0.67, tan48°≈1.11,sin42°≈0.67,cos42°≈0.74, tan42°≈0.90).
22．冰墩墩和雪容融是北京奥运会和冬残奥会吉祥物，冰墩墩是一只熊猫，它的外表给人一种朴实的感觉，雪容融是一个灯笼，它的外表总能给人温暖.钥匙扣，手办两种冰墩墩和雪容融立体挂件在奥林匹克官方旗舰店销售异常火爆.
（1）开售第一天，旗舰店共花费84000元从授权生产厂家购进两种挂件各1000件，其中1件雪容融挂件成本比1件冰墩墩挂件成本少6元，则1件雪容融挂件成本和1件冰墩墩挂件成本分别是多少元？
（2）开售第一天，冰墩墩和雪容融挂件很快售罄，售价分别为65元和55元.第二天，旗舰店又以第一天的成本价从授权生产厂家购进一批两种挂件，其中冰墩墩挂件售价提高了0.05a元，销量比第一天减少了2a件，而雪容融挂件售价不变，销量比第一天增加了0.125a件，最终旗舰店第二天销售两种挂件获利36000元，求a的值.
23. 若一个四位正整数m满足前两个数字组成的两位数是后两个数字组成的两位数的2倍，则把这个四位数m称为“Double数”.
如：2010的前两个数字组成的两位数是：20，后两个数字组成的两位数是：10，
∵20=2×10 ∴2010是“Double数”；
9246的前两个数字组成的两位数是：92，后两个数字组成的两位数是：46，
∵92=2×46 ∴9246是“Double数”；
7525的前两个数字组成的两位数是：75，后两个数字组成的两位数是：25，
∵75≠2×25 ∴7525是“Double数”；
判断7035，3814是否是“Double数”，并说明理由；
记一个“Double数”m各个数位数字之和为，.当能被8整除时， 求出所有符合条件的“Double数”m.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，直线与抛物线交于C、D两点，与坐标轴交于E、F两点. 点P是抛物线在第四象限内图像上的一个动点.过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当取得最大值时，求点P的坐标和的最大值；
（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点.当（2）中最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标.
25．在△ABC中，AB = AC，∠ABC = 30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE.
（1）如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE⊥AC.若PC = 4，求PE的长；
（2）如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE = 2AF ；
（3）如图3，在（2）的条件下，AB=8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，且BG=AB，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离.(
解
：∵
EF
垂直平分
AB
∴
AF
=
①
∴设∠
CAB
=∠
ABF
=
x
∴∠
CFB
=∠
CAB
+∠
ABF
= 2
x
∵
CF
=
CB
∴
②
=∠
CFB
= 2
x
∴∠
ABC
=∠
ABF
+∠
FBC
= 3
x
∵四边形
ABCD
是菱形
∴
AB
=
BC
，∠
ADC
=∠
ABC
∴∠
ACB
=∠
CAB
=
x
在△
ABC
中，∠
CAB
+∠
ABC
+∠
BCA
=180°，即：
x
+3
x
+
x
=180°
∴
x
=
③
∴∠
ADC
=3
x
=
④
) (
开州初中教育集团初2022届九年级下期中测试
数 学 答 题 卡
) (
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
) (
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
)
(
2
0.
) (
18.
)
(
)
(
班级：
姓名：
考号：
)
(
缺考标记，考生禁填！由监考老师填涂。
)
(
此处粘条形码
)
注意：客观试题用2B铅笔作答，主观性试题、辅助线用黑色0.5签字笔作答。
(
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
)
(
一、选择题（
每小题4分，共48分）
1
.
2
.
3
.
4
.
5
.
6
.
7
.
8
.
9
.
10
.
11
.
12
.
)
(
A
B
CD
) (
A
B
CD
) (
A
B
CD
)
(
A
B
CD
) (
A
B
CD
) (
A
B
CD
) (
A
B
CD
) (
A
B
CD
) (
A
B
CD
) (
A
B
CD
)
(
A
B
CD
)
(
A
B
CD
)
(
2
1
.
) (
19.
（1）
a
=
，
b
=
，
)
(
二、填空
题 （每小题4分，共
16
分）
13.
14.
1
5
.
1
6
.
)
(
17.
（1）
（2）
)
(
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
)
(
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
) (
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
)
(
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
) (
.
) (
请在各题目的答题区域内作答
,
超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
25.
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
) (
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
)
(
2
3
．
) (
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
) (
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
) (
2
4
．
) (
2
2
．
)开州初中教育集团初 2022 届九年级下期中测试 6. 我国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今
有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每
数 学 试 卷 3人共乘一车，最终剩余 2辆车；若每 2人共乘一车，最终剩余 9个人无车可乘.问有多少人，多少辆
车？设共有 x人，y辆车，可列方程组为（ ）
（全卷共四个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟）
3 y 2 x 3 y 2 x 3 y 2 x 3 y 2 x
命题人：开州中学 张 悦 A． B． C． D． x 2y 9 x 2y 9 x 2y 9 x 2y 9
注意事项：
7. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形.其中 BC∶B1C1=1∶2，则△ABC与△
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； A1B1C1的周长之比是（ ）
3．作图（包括辅助线）请一律用黑色签字笔完成．
A．1∶4 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶3
b 2
参考公式：抛物线 y ax2 bx c a 0 的顶点坐标为 ,
4ac b x b，对称轴为 ．
2a 4a
2a
一、选择题: 本大题共 12 小题，每小题 4分，共 48分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上。
1 0 1 511．在 ， ， ， 这四个数中，属于负整数的是（ ）
3
A． 1 B．0 C．1 D． 51
3
2．如图，该下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
8. 如图，在 O中，AB为直径，CD为弦，若∠ACD = 20°.则∠BAD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
A． B． C． D．
9．如图，在正方形 ABCD中，将边 BC绕点 B逆时针旋转至 BC’，连接 CC’，DC’，若∠CC’D = 90°，
BC’= 2 5，则线段 C’D的长度为（ ）
3．下列计算正确的是（ ）
2 2 15A．5b 4b 1 B．3a 4ab 12a 2b C 2 3． a b a4b9 D． a 2b 2 a 2 4b2 A． 5 B． 2 C． 4 D． 3
4．估计 2 2 6的运算结果应在下列哪两个数之间（ ） 10. A、B两地相距 20 km，甲乙两人沿同一条路线从 A地到 B地，
甲先出发，匀速行驶，甲出发 1小时后乙再出发，乙以 2 km/h的
A．5和 6 B．6和 7 C．7和 8 D．8和 9 速度匀速行驶 1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前
5．下列命题，为真命题的是 （ ） 到达，甲、乙两人离开 A地的距离 S（km）与时间 t（h）的关系
如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．三个角是直角的四边形是矩形
A．乙比甲先到 1小时
B．对角线相等的四边形是矩形
B．甲的速度为 4 km/h
C．三条边相等的四边形是菱形 C．乙提速后速度为 9 km/h
D．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．乙出发两小时后追上甲
x 1 1 x
种类型生产线每分钟的总产量之比为 2∶5 .请问，增加生产线后，该企业 A、C型生产线每分钟的11. 如果关于 x的不等式组 2 3 有且只有 4个整数解，且使关于 y的分式方程
5x 2 x a 产量之比为 .
y a 2a
2 a . 三、解答题：本大题 2 个小题，每小题 8分，共 16 分，解答时应写出必要的文字说明、的解为非负数，则所有满足条件的整数 的个数为（ ）个
y 1 1 y 演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．
A．1 B．2 C．3 D．4 17 1 x 2y x 2y x x y 2 3 a
2 4a 4
．计算（ ） ； （ ） a 1
．
a 1 a 1
12. 定义：如果 ax N a 0,且a 1 ，那么 x叫做以 a为底N的对数，记作 x log 2a N .例如：因为 7 =49，
所以 log7 49=2 ；因为 5
3=125，所以 log5125=3 .下列说法：① log6 6=36 ；② log3 81=4 ；③若
log4 a 14 =2，则 a = 2；④ log2 64=log2 32 log2 2；正确的序号有（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④
二、填空题：本大题 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填写在答题卡相应的位置
上． 18．如图，四边形 ABCD是菱形.
1
0
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作出 AB的垂直平分线 EF，分别交 AB，AC于点 E和13.计算： 2 5 = __________.
2 点 F；
14. 四个完全相同的球上分别标有数字 1， 4，0，5，从这四个球中任意取出一个球记为 a，放．回． （2）在（1）问图中，当 CF=BC时，请求出∠ADC的度数.
后，再取出一个记为 b，则点 a b能被 5整除的概率为______． 解：∵EF垂直平分 AB
15. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，点 D在边 BC上，以 OA为半径的 O经过点 D，连接 AD，且 ∴AF= ①
AD平分∠BAC .若∠BAC = 60°， O的半径为 2，,则阴影部分的面积为 ． ∴设∠CAB=∠ABF= x
∴∠CFB=∠CAB+∠ABF= 2x
∵CF=CB
∴ ② =∠CFB= 2x
∴∠ABC=∠ABF+∠FBC= 3x
∵四边形 ABCD是菱形
∴AB=BC，∠ADC=∠ABC
∴∠ACB=∠CAB= x
在△ABC中，∠CAB+∠ABC+∠BCA=180°，即： x+3x+x=180°
16．在新冠肺炎疫情发生后，某企业引进 12条 A、B、C型生产线生产防护服，A、B、C型生产线每
∴ x= ③
条生产线每分钟的产量之比为 4∶2∶1，为了扩大生产，该企业准备增加 7条生产线，其中 B型生
∴∠ADC=3x= ④
产线增加 1条，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每分钟的产量将增加 4件.统计发现，增
加生产线后，该企业每分钟的总产量恰比增加生产线前多 142件，且 A型生产线每分钟的产量与三
四、解答题：本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、 k20．一次函数 y1 k1x b k 21 0 的图像与反比例函数 y2 k2 0 的图像相交于点 A 2, 1 ，
演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上． x
B 1,n 两点.
19．为培养学生良好的运动习惯和运动能力，某校本学期开展了：“趣味运动会”和“长跑”等体育 （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式，并在给出的
活动.为了了解七年级学生的长跑水平，该校对全体七年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随 平面直角坐标系中，直接画出一次函数和反比例函数的图像；
机抽取 20名男生和 20名女生的测试成绩（满分 100分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50 （2）连接 AO并延长交双曲线于点 C，连接 BC，求△ABC
≤x<60，B.60≤x<70，C.70≤x<80，D.80≤x<90，E.90≤x<100），绘制了不完整的统计图表. 的面积；
收集、整理数据： （3）直接写出当 y1 y2时，x的取值范围.
20名男生的长跑成绩分别为 76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，
89，78，88，98，88
20名女生中，长跑成绩在 C组和 D组的分别为 73，74，74，74，74，76，83，88，89
21. 如图，建筑物 AB后有一座小山，∠DCF=30°，测得小山坡
脚 C点与建筑物水平距离 BC = 25米， 若山坡上 E点处有一凉
亭，且凉亭与坡脚距离 CE = 20米，某人从建筑物顶端 A点测得
E点处的俯角为 48°.
（1）求凉亭到水平地面的距离；
（2）求建筑物 AB的高.（结果精确到 0.1m）
(参考数据: 3 ≈1.73，sin48°≈0.74, cos48°≈0.67, tan48°≈1.11,sin42°≈0.67,cos42°≈0.74, tan42°≈0.90).
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
22．冰墩墩和雪容融是北京奥运会和冬残奥会吉祥物，冰墩墩是一只熊猫，它的外表给人一种朴实的
请根据以上信息，回答下列问题： 感觉，雪容融是一个灯笼，它的外表总能给人温暖.钥匙扣，手办两种冰墩墩和雪容融立体挂件在
（1）a= ， b= ，并补全频数分布直方图； 奥林匹克官方旗舰店销售异常火爆.
（2）根据以上数据，你认为七年级学生是男生的长跑成绩好还是女生的长跑成绩好？请判断并说 （1）开售第一天，旗舰店共花费 84000元从授权生产厂家购进两种挂件各 1000件，其中 1件雪容
明理由（一条理由即可）；
（3）如果该校七年级有男生 900 600 80 . 融挂件成本比 1件冰墩墩挂件成本少 6元，则 1件雪容融挂件成本和 1件冰墩墩挂件成本分别是名，女生 名，请估计七年级长跑成绩不低于 分的学生人数
多少元？
（2）开售第一天，冰墩墩和雪容融挂件很快售罄，售价分别为 65元和 55元.第二天，旗舰店又以
第一天的成本价从授权生产厂家购进一批两种挂件，其中冰墩墩挂件售价提高了 0.05a元，销量
比第一天减少了 2a件，而雪容融挂件售价不变，销量比第一天增加了 0.125a件，最终旗舰店第
二天销售两种挂件获利 36000元，求 a的值.
23. 若一个四位正整数 m满足前两个数字组成的两位数是后两个数字组成的两位数的 2倍，则把这个
四位数 m称为“Double数”.
如：2010的前两个数字组成的两位数是：20，后两个数字组成的两位数是：10，
∵20=2×10 ∴2010是“Double数”；
9246的前两个数字组成的两位数是：92，后两个数字组成的两位数是：46，
∵92=2×46 ∴9246是“Double数”；
7525的前两个数字组成的两位数是：75，后两个数字组成的两位数是：25，
∵75≠2×25 ∴7525是“Double数”；
（1）判断 7035，3814是否是“Double数”，并说明理由； 25．在△ABC中，AB = AC，∠ABC = 30°，△BDE是等边三角形，连接 CD、AE.
m D m
（2）记一个“Double数”m各个数位数字之和为D m ，G m = .当G m 能被 8整除时， （1）如图 1，当 A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点 P，且 AE⊥AC.若 PC = 4，求 PE
9
的长；
求出所有符合条件的“Double数”m.
（2）如图 2，当 B、E、C三点在同一直线上时，F是 CD中点，连接 AF、EF，求证：AE = 2AF ；
（3）如图 3，在（2）的条件下，AB=8，E在直线 BC上运动，将△AEF沿 EF翻折得到△MEF，
1
连接 DM，G是 AB上一点，且 BG= AB，O是直线 BC上的另一个动点，连接 OG，将△BOG
4
沿 OG翻折得到△HOG，连接 HM，当 HM最小时，直接写出此时点 D到直线 EM的距离.
5 1
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 bx c经过点 A 1,0 ，B ,0 ，直线 y x 与
2 2
抛物线交于 C、D两点，与坐标轴交于 E、F两点. 点 P是抛物线在第四象限内图像上的一个动点.过
点 P作 PG⊥CD，垂足为 G，PQ∥y轴，交 x轴于点 Q.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 2PG PQ取得最大值时，求点 P的坐标和 2PG PQ的最大值；
13
（3）将抛物线向右平移 个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点 N是平面内一点.
4
当（2）中 2PG PQ最大时，直接写出所有使得以点 A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点 N的
坐标.开中教育集团 2021-2022 学年度下学期期中测试九年级数学试题 四.解答题
参 考 答 案 19.解: (1)a ___79.5___， b ___89___； ...........................................…2分
一.选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B B A C C D B D C D
二.填空题
3
13. 5 1 14. 15. 2 3
2
16. 14∶15
8 3
.........................................................…4分
三.解答题 (2)男生长跑成绩好。理由如下：（回答一条即可）
17. 1 = x2 4y2 x2 xy ①男生长跑成绩平均数 85高于女生长跑成绩平均数 81.8（ ）解：原式
②男生长跑成绩中位数 88.5高于女生长跑成绩中位数 79.5
= 4y2 xy ….....………….……..........................................…4分
③男生长跑成绩众数 89高于女生长跑成绩众数 74 .......................…7分
3 a2 1 a 1
2 = (3)900 14（ ）解：原式 2 600 50%=930a 1 （人） a 2 20
答：估计七年级长跑成绩不低于 80分的有 930人 ........................…10分
a 2 a 2 a 1
=
a 1 a 2 2 k20. 解: (1)把 A 2， 1 y 2代入 2 得 k 2
a 2 x
= ….....………….……..........................................…8分
a 2 2
∴反比例函数的解析式为 y2 ...........................................…2分x
18.（1）解：如图所示 ….....………4分
（2） 当 x=1时， y 2；∴ B 1， 2
① BF
把 A 2， 1 ， B 1， 2 代入 y1 k1x b得
② ∠CBF
2k1 b 1 k1 1③ 36° 解得k b 2 b 3
④ 108° ….....………8分 1
∴一次函数的解析式为 y1 x 3 ...........................................…4分
22. 解: （1）设 1件冰墩墩挂件成本为 x元，则 1件雪容融成本为 x 6 元.
由题意得，1000 x x 6 84000 ..........................3分
解得 x 45
x 6 39
答：1件冰墩墩挂件成本为 45元，则 1件雪容融成本为 39元.
.................................................…5分
图像如图所示 ...........................................…6分
（2）由题意得， 65 0.05a 45 1000 2a 55 39 1000 0.125a 36000 .........…7分
S 4 3 1 3 3 1 1 1 1(2) 4 2 3 ...........................................…8分
2 2 2 整理，得 a2 120a 0 .................................................................................... .........…8分
（3） x 2或0 x 1 .................................................…10分 解得 a1 120，a2 0（舍去）
21.解（1）如图，过点 E作 EM⊥BF于点 M.
a 120 .................................................................................... .........…10分
∵∠DCF=30°，CE=20米
24. 解：(1)7035是“Double数”；3814不是“Double数”.理由如下：
∴EM=CE·sin30°=10米.
7035的前两个数字组成的两位数是：70，后两个数字组成的两位数是：35，
答：凉亭到水平地面的距离为 10米 ............................................…5分
∵70=2×35 ∴7035是“Double数”；
3814的前两个数字组成的两位数是：38，后两个数字组成的两位数是：14，
∵38≠2×14 ∴3814不是“Double数”
.................................................…4分
（2）设 m的十位数字为 a，个位数字为 b
当1 a 4,0 b 4时，m= 2a 2b ab，则D m 3a 3b
（2）如图，过点 E作 EN⊥AB于点 N，则 BN=EM=10米，NE=BM，∠BNE=90° 2010a 201b 3a 3b∴ G m 223a 22b
9
在 Rt△CME中，CM=CE·cos30°=10 3米
∵G m 能被 8整除
∴NE=BM=BC+CM= 25 10 3 米 G m =28a 3b a 2b∴ 是整数
在 Rt△ANE中，AN=NE·tan48°≈47.0米 8 8
∴AB=AN+BN=57.0米 ∵1 a 4,0 b 4
答：建筑物 AB的高约为 57.0米 .................................................…10分 ∴1 a 2b 12
a 2 a 4
∴a 2b=8 ，解得 或b 3
，此时
b 2 m=4623或8442
......................7分
∴ PH 2PG
3 5 1
当1 a 4,5 b 9时，m= 2a 1 2b 10 ab ，则D m 3a 3b 9 设 P(m,m2 m )，则H (m,m )
2 2 2
G m 223a 22b 1 2PG PQ=PH PQ 2m 2+4m 11= 2 m 1 2 15∴ ∴
2 2
∵G m 能被 8整除 当m 1时， 2PG PQ 15 有最大值，最大值为 ，此时点 P的坐标为 1， 3
2
G m ......................7分=28a 3b a 2b 1∴ 是整数
8 8 3 25 （ ）满足条件的点 N的坐标为 4, 或 2,2 或 2, 2 ......................10分
6
∵1 a 4,5 b 9
解析： y ' x 49 4 2 ，设M 4，n10 a 2b 1 21 ， A 1，0 ，P 1， 3 ∴ 16
a 3 a 1 2
a 2b 1=16 ∴MA =n
2 25 MP2= n 3 2， 9， AP2=13
∴ ，解得 或 ，此时
b 7
b 8 m=7437或3618
7 25
综上，满足所有条件的“Double数”m为 4623或 8442或 7437或 3618. MA2=MP2当 时，解得 n ，由中点坐标公式得 N1 4, 6 6
......................10 分
2
当MA =AP2 时，无解
24.解: (1) ∵抛物线 y x2 bx c经过点 A 1，0 和点 B 5 ，02 MP2=AP2 当 时，解得 n 1或 5，由中点坐标公式得 N2 2,2 或N3 2, 2
1 b c 0
3
b
2
∴ 25 5 解得
b c 0 5 4 2 c 2
2 3 5
∴抛物线的解析式为 y x x ......................3分
2 2
（2）延长 PQ直线 CD于点 H.
1
∵ 直线 y x 坐标轴交于 E、F两点
2
E 1 0 F 0 1 ∴ ， ， ，
2 2
∴△EOF是等腰直角三角形
∵PG⊥CD，PQ∥y轴
∴△PGH是等腰直角三角形
26.（1）
∵AB=AC,∠ABC=30 4 129° (3) ......................10分
∴∠ACP=30° 43
∵AE⊥AC （2）图
∴∠PAC=90°
1
∴AP= PC=2
2
∵∠APC=∠ABC+∠BAE=60°
∴∠ABC=∠BAE=30°
∴BP=AP=2
∵∠ABE=60°
∴∠PBE=30°，∠PEB=90°
1
∴PE= BP=1 ......................4分
2
（2）证明：延长 CA至点 P，使 AP=CA，连接 PD、PB
∵AP=AC，DF=CF
∴AF是△PCD的中位线
∴PD=2AF
∵∠BAC=120°
∴∠PAB=60°
∵AB=AC=AP
∴△PAB是等边三角形
∵∠PBD+∠ABD=60°，∠ABE+∠ABD=60°
∴∠PBD=∠ABE
在△PBD和△ABE中
PB AB （3）思路： M轨迹为 AC中垂线，线圆最值问题，如图所示为 HM最小值
∠PBD ∠ABE 在△DEM中，计算 DM及 DM边上的高，过点 M往 BC作垂线，由勾股定理算 EM
BD BE 等积法计算点 D到直线 EM的距离
∴△PBD≌△ABE
∴AE=PD=2AF ......................8分 开州中学 张悦制开中教育集团2021-2022学年度下学期期中测试九年级数学试题
参 考 答 案
一.选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B B A C C D B D C D
二.填空题
13. 14. 15. 16. 14∶15
三.解答题
17.（1）解：原式=
= ….....………….……..........................................…4分
（2）解：原式=
=
= ….....………….……..........................................…8分
18.（1）解：如图所示 ….....………4分
（2）
① BF
② ∠CBF
③ 36°
④ 108° ….....………8分
四.解答题
19.解: (1)___79.5___，___89___； ...........................................…2分
.........................................................…4分
(2)男生长跑成绩好。理由如下：（回答一条即可）
①男生长跑成绩平均数85高于女生长跑成绩平均数81.8
②男生长跑成绩中位数88.5高于女生长跑成绩中位数79.5
③男生长跑成绩众数89高于女生长跑成绩众数74 .......................…7分
(3)（人）
答：估计七年级长跑成绩不低于80分的有930人 ........................…10分
解: (1)把代入得
∴反比例函数的解析式为...........................................…2分
当x=1时，；∴
把，代入得
解得
∴一次函数的解析式为...........................................…4分
图像如图所示...........................................…6分
(2)...........................................…8分
（3） .................................................…10分
21.解（1）如图，过点E作EM⊥BF于点M.
∵∠DCF=30°，CE=20米
∴EM=CE·sin30°=10米.
答：凉亭到水平地面的距离为10米 ............................................…5分
（2）如图，过点E作EN⊥AB于点N，则BN=EM=10米，NE=BM，∠BNE=90°
在Rt△CME中，CM=CE·cos30°=米
∴NE=BM=BC+CM=米
在Rt△ANE中，AN=NE·tan48°≈47.0米
∴AB=AN+BN=57.0米
答：建筑物AB的高约为57.0米 .................................................…10分
22. 解: （1）设1件冰墩墩挂件成本为x元，则1件雪容融成本为元.
由题意得， ..........................3分
解得
答：1件冰墩墩挂件成本为45元，则1件雪容融成本为39元.
.................................................…5分
（2）由题意得，.........…7分
整理，得 .................................................................................... .........…8分
解得，（舍去）
.................................................................................... .........…10分
24. 解：(1)7035是“Double数”；3814不是“Double数”.理由如下：
7035的前两个数字组成的两位数是：70，后两个数字组成的两位数是：35，
∵70=2×35 ∴7035是“Double数”；
3814的前两个数字组成的两位数是：38，后两个数字组成的两位数是：14，
∵38≠2×14 ∴3814不是“Double数”
.................................................…4分
（2）设m的十位数字为a，个位数字为b
当时，，则
∴
∵能被8整除
∴是整数
∵
∴
∴ ，解得或，此时 ......................7分
当时，，则
∴
∵能被8整除
∴是整数
∵
∴
∴ ，解得或，此时
综上，满足所有条件的“Double数”为4623或8442或7437或3618.
......................10分
24.解: (1) ∵抛物线经过点和点
∴ 解得
∴抛物线的解析式为 ......................3分
（2）延长PQ直线CD于点H.
∵ 直线坐标轴交于E、F两点
∴，
∴△EOF是等腰直角三角形
∵PG⊥CD，PQ∥y轴
∴△PGH是等腰直角三角形
∴
设，则
∴
当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为
......................7分
（3）满足条件的点N的坐标为或或 ......................10分
解析：，设，，
∴，，
当时，解得，由中点坐标公式得
当时，无解
当时，解得，由中点坐标公式得或
26.（1）
∵AB=AC,∠ABC=30°
∴∠ACP=30°
∵AE⊥AC
∴∠PAC=90°
∴AP=PC=2
∵∠APC=∠ABC+∠BAE=60°
∴∠ABC=∠BAE=30°
∴BP=AP=2
∵∠ABE=60°
∴∠PBE=30°，∠PEB=90°
∴PE=BP=1 ......................4分
（2）证明：延长CA至点P，使AP=CA，连接PD、PB
∵AP=AC，DF=CF
∴AF是△PCD的中位线
∴PD=2AF
∵∠BAC=120°
∴∠PAB=60°
∵AB=AC=AP
∴△PAB是等边三角形
∵∠PBD+∠ABD=60°，∠ABE+∠ABD=60°
∴∠PBD=∠ABE
在△PBD和△ABE中
∴△PBD≌△ABE
∴AE=PD=2AF ......................8分
(3) ......................10分
（2）图
（3）思路： M轨迹为AC中垂线，线圆最值问题，如图所示为HM最小值
在△DEM中，计算DM及DM边上的高，过点M往BC作垂线，由勾股定理算EM
等积法计算点D到直线EM的距离
开州中学 张悦制开州初中教育集团初 2022届九年级下期中测试
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数 学 答 题 卡 18. 20.
解：∵EF垂直平分 AB
班级： 姓名： 考号： ∴AF= ①
∴设∠CAB=∠ABF= x
缺考标记，考生禁填！由 ∴∠CFB=∠CAB+∠ABF= 2x
∵CF=CB
此处粘条形码 监考老师填涂。 ∴ ② =∠CFB= 2x
∴∠ABC=∠ABF+∠FBC= 3x
注意：客观试题用 2B铅笔作答，主观性试题、辅助线用黑色 0.5签字笔作答。 ∵四边形 ABCD是菱形
∴AB=BC，∠ADC=∠ABC
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ∴∠ACB=∠CAB= x
在△ABC中，∠CAB+∠ABC+∠BCA=180°，即： x+3x+x=180°
一、选择题（每小题 4分，共 48分）
1. A B C D 5. A B C D 9. A B C D ∴ x= ③
2. A B C D 6 . A B C D 10. A B C D ∴∠ADC=3x= ④
3. A B C D 7. A B C D 11. A B C D
4. A B C D 8. A B C D 12. A B C D
19. 21.
（1）a= ， b= ，
二、填空题 （每小题 4分，共 16分）
13. 14.
15. 16.
17.
1 x 2y x 2y x x y 2 3
2
（ ） （ ） a 1
a 4a 4
a 1 a 1
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25. .
22． 24．
23．
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
