2021-2022学年下学期上海初中北师大版数学九年级期中典型试卷1（含解析）

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2021-2022学年下学期上海初中数学九年级期中典型试卷1
一．选择题（共6小题）
1．（2021 浦东新区模拟）下列根式中，与是同类二次根式的为（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 浦东新区模拟）下列运算正确的是（　　）
A．m m＝2m B．（m2）3＝m6 C．（mn）3＝mn3 D．m6÷m2＝m3
3．（2015 上海）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（　　）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
4．（2015 上海）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2021春 黄浦区校级月考）在 ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　）
A．AO＝CO B．AO＝BO C．AO⊥BO D．AB⊥BC
6．（2013 松江区模拟）下列命题：
①三角形一边的两个端点到这条边上高所在直线的距离相等；
②三角形一边的两个端点到这条边上中线所在直线的距离相等；
③三角形一边的两个端点到这条边所对的角的角平分线所在直线的距离相等．
其中，真命题的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共12小题）
7．（2017 深圳）因式分解：a3﹣4a＝　 　．
8．（2021 普陀区二模）已知f（x）＝，则＝　 　．
9．（2021 嘉定区二模）如果点P（3，b）在函数y＝的图象上，那么b的值为　 　．
10．（2021 嘉定区二模）如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为　 　．
11．（2021 浦东新区模拟）从1、2、3、4、5、6、7、8这八个数中，任意抽取一个数，那么抽得的数是素数的概率是　 　．
12．（2021 浦东新区模拟）某品牌旗舰店将某商品按进价提高40%后标价，在一次促销活动中，按标价的8折销售，售价为2240元，那么这种商品的进价为　 　元．
13．（2015 上海）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是　 　．
14．（2021春 东莞市校级月考）已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是　 　岁．
年龄（岁） 11 12 13 14 15
人数 5 5 16 15 12
15．（2018 徐汇区二模）在△ABC中，点D在边BC上，且BD：DC＝1：2，如果设＝，＝，那么等于　 　（结果用、的线性组合表示）．
16．（2021春 黄浦区校级月考）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题，如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有9条，那么该多边形的内角和是　 　度．
17．（2021 普陀区二模）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于　 　．
18．（2021 永嘉县校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC＝　 　．
三．解答题（共7小题）
19．（2021 嘉定区二模）先化简，再求值：+﹣，其中，x＝．
20．（2021 嘉定区二模）解方程组：．
21．（2021 浦东新区模拟）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为37°，∠AOB为45°，OB长为35厘米，求AB的长（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
22．（2021 浦东新区模拟）在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？
23．（2015 上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BD CE＝CD DE．
24．（2015 上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB＝2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）用含m的代数式表示线段CO的长；
（3）当tan∠ODC＝时，求∠PAD的正弦值．
25．（2021春 黄浦区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在半径OB上（点C与点O、B不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点M、N，P为弧AN上一点，射线AP交射线MN于点D．
（1）若P、N是弧AB的三等分点，求DN的长；
（2）如果OC＝3，联结AN、PN，当点P是弧AN的中点时，求△ANP的面积与△AND的面积比；
（3）当ON∥AD时，设点C关于直线ON的对称点为Q，若△APQ为等腰三角形，求OC的长．
2021-2022学年下学期上海初中数学九年级期中典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2021 浦东新区模拟）下列根式中，与是同类二次根式的为（　　）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【专题】常规题型．
【分析】根据同类二次根式的概念即可求答案．
【解答】解：（A）原式＝，故与不是同类二次根式；
（B）原式＝，故与是同类二次根式；
（C）原式＝，故与不是同类二次根式；
（D）原式＝，故与不是同类二次根式；
故选：B．
【点评】本题考同类二次根式的概念，解题的关键是正确理解同类二次根式的概念，本题属于基础题型．
2．（2021 浦东新区模拟）下列运算正确的是（　　）
A．m m＝2m B．（m2）3＝m6 C．（mn）3＝mn3 D．m6÷m2＝m3
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】常规题型．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、m m＝m2，故此选项错误；
B、（m2）3＝m6，正确；
C、（mn）3＝m3n3，故此选项错误；
D、m6÷m2＝m4，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3．（2015 上海）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（　　）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
【考点】正比例函数的定义．
【分析】根据正比例函数的定义来判断即可得出答案．
【解答】解：A、y是x的二次函数，故A选项错误；
B、y是x的反比例函数，故B选项错误；
C、y是x的正比例函数，故C选项正确；
D、y是x的一次函数，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
4．（2015 上海）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．
【解答】解：这个多边形的边数是360÷72＝5，
故选：B．
【点评】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．
5．（2021春 黄浦区校级月考）在 ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　）
A．AO＝CO B．AO＝BO C．AO⊥BO D．AB⊥BC
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出即可．
【解答】解：添加AO⊥BO，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，AO⊥BO，
∴ ABCD为菱形，
只有选项C正确；选项A、B、D都错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
6．（2013 松江区模拟）下列命题：
①三角形一边的两个端点到这条边上高所在直线的距离相等；
②三角形一边的两个端点到这条边上中线所在直线的距离相等；
③三角形一边的两个端点到这条边所对的角的角平分线所在直线的距离相等．
其中，真命题的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】命题与定理．
【分析】根据角平分线的性质以及中线的定义，结合全等三角形的判定分别判断得出答案即可．
【解答】解：①三角形一边的两个端点到这条边上高所在直线的距离相等，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，故此选项错误；
②三角形一边的两个端点到这条边上中线所在直线的距离相等，利用三角形全等的判定可得出，此命题正确，故此选项正确；
③三角形一边的两个端点到这条边所对的角的角平分线所在直线的距离相等，三角形是一般三角形时，此命题错误，
故正确的有1个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
二．填空题（共12小题）
7．（2017 深圳）因式分解：a3﹣4a＝　a（a+2）（a﹣2）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
8．（2021 普陀区二模）已知f（x）＝，则＝　+1　．
【考点】函数值．
【分析】将x＝代入f（x）＝，再化简即可得．
【解答】解：当x＝时，＝＝＝+1，
故答案为：+1．
【点评】本题考查求函数值的能力，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值．
9．（2021 嘉定区二模）如果点P（3，b）在函数y＝的图象上，那么b的值为　　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【分析】将P（3，b）代入y＝，解方程即得答案．
【解答】解：将P（3，b）代入y＝得：b＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查函数图象上的点，掌握函数图象上的点坐标适合函数解析式是解题的关键．
10．（2021 嘉定区二模）如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为　9　．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．
【解答】解：∵方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4m＝0，
解得m＝9，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实根，当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
11．（2021 浦东新区模拟）从1、2、3、4、5、6、7、8这八个数中，任意抽取一个数，那么抽得的数是素数的概率是　　．
【考点】概率公式．
【分析】根据素数定义，让素数的个数除以数的总数即为所求的概率．
【解答】解：∵1，2，3，4，5，6，7，8这8个数有4个素数，
∴2，3，5，7；故取到素数的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝；找到素数的个数为易错点．
12．（2021 浦东新区模拟）某品牌旗舰店将某商品按进价提高40%后标价，在一次促销活动中，按标价的8折销售，售价为2240元，那么这种商品的进价为　2000　元．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可．
【解答】解：设这种商品的进价是x元，根据题意可以列出方程：
由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240．
解得：x＝2000，
故答案为：2000．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答．
13．（2015 上海）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是　　．
【考点】概率公式．
【分析】由某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵学生会将从这50位同学中随机抽取7位，
∴小杰被抽到参加首次活动的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（2021春 东莞市校级月考）已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是　14　岁．
年龄（岁） 11 12 13 14 15
人数 5 5 16 15 12
【考点】中位数．
【专题】统计与概率；数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：该校学生“科技创新社团”的人数为5+5+16+15+12＝53（人），
将这53人的年龄从小到大排列后，处在中间位置的一个数为14岁，因此中位数是14岁，
故答案为：14．
【点评】本题考查中位数，理解中位数的意义，掌握中位数的求法是正确解答的前提．
15．（2018 徐汇区二模）在△ABC中，点D在边BC上，且BD：DC＝1：2，如果设＝，＝，那么等于　　（结果用、的线性组合表示）．
【考点】*平面向量．
【专题】特定专题．
【分析】根据三角形法则求出即可解决问题；
【解答】解：如图，∵＝，＝，
∴＝+＝﹣，
∵BD＝BC，
∴＝．
故答案为．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．
16．（2021春 黄浦区校级月考）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题，如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有9条，那么该多边形的内角和是　1800　度．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；多边形的对角线．
【专题】三角形；多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】由多边形的一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条可求出边数，然后求内角和．
【解答】解：∵多边形的一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条，
∴n﹣3＝9，
∴n＝12，
∴该多边形的边数是12，
∴内角和＝（12﹣2）×180°＝1800°，
故答案是：1800．
【点评】本题运用了多边形的内角和定理，关键是要知道多边形的一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条．
17．（2021 普陀区二模）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于　3　．
【考点】圆与圆的位置关系；等腰三角形的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】根据两圆内切的性质求出AB，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵⊙A的半径为2，⊙B的半径为6，⊙A与⊙B内切，
∴AB＝6﹣2＝4，
过点A作AD⊥BC于D，
则BD＝BC＝3，
由勾股定理得，AD＝＝＝，
∴△ABC的面积＝×6×＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是圆与圆的位置关系、等腰三角形的性质，掌握两圆内切 d＝R﹣r是解题的关键．
18．（2021 永嘉县校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC＝　　．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，易证△ABE≌△A′CE，得出AB＝A′C＝4；利用勾股定理求出AE的长，进而得出sin∠A′．利用互余角的三角函数的关系，得出cos∠2，在Rt△FHN和Rt△A′FN中利用cos∠2的值列出方程，即可求得结论．
【解答】解：延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，
∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，AB∥CD，
∴∠1＝∠A′，
在△ABE和△A′CE中，
，
∴△ABE≌△A′CE（AAS），
∴AB＝A′C＝4，
∵E为边BC的中点，
∴BE＝EC＝BC＝2，
∴AE＝，
∴sin∠1＝，
∴sin∠A′＝，
∵AE⊥MN，
∴∠A′FN＝90°，
∴∠A′+∠2＝90°，
∴cos∠2＝sin∠A′＝，
∵FN＝FC，FH⊥CN，
∴NH＝CH＝CN，
设NH＝x，则NC＝2x，
∴A′N＝A′C+NC＝4+2x，
在Rt△FHN中，cos∠2＝＝，
∴FN＝x，
在Rt△A′FN中，cos∠2＝，
∴，
∴x＝，
∴FC＝FN＝x＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用已知条件通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
19．（2021 嘉定区二模）先化简，再求值：+﹣，其中，x＝．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的加减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：+﹣
＝+
＝
＝
＝
＝﹣，
当x＝时，原式＝﹣＝﹣（﹣1）2＝﹣2+2﹣1＝﹣3+2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（2021 嘉定区二模）解方程组：．
【考点】高次方程．
【专题】转化思想；方程与不等式；运算能力；应用意识．
【分析】将每个方程因式分解，降次化为两个一次方程，解出重新组合的方程组即可得到答案．
【解答】解：x2﹣5xy﹣6y2＝0可化为（x﹣6y）（x+y）＝0，
∴x﹣6y＝0或x+y＝0，
x2﹣4xy+4y2＝1可化为（x﹣2y+1）（x﹣2y﹣1）＝0，
∴x﹣2y+1＝0或x﹣2y﹣1＝0，
原方程组相当于以下四个方程组：①，②，③，④，
解①②③④分别得：，，，，
∴原方程组的解为：或或或．
【点评】本题考查解二元二次方程组，将每个二次方程因式分解，降次化为两个一次方程是解题的关键．
21．（2021 浦东新区模拟）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为37°，∠AOB为45°，OB长为35厘米，求AB的长（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【考点】解直角三角形的应用；由三视图判断几何体．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】作AC⊥OB于点C，然后根据题意和锐角三角函数可以求得AC和BC的长，再根据勾股定理即可得到AB的长，本题得以解决．
【解答】解：作AC⊥OB于点C，如右图2所示，
则∠ACO＝∠ACB＝90°，
∵∠AOC＝45°，
∴∠AOC＝∠COA＝45°，
∴AC＝OC，
设AC＝x，则OC＝x，BC＝35﹣x，
∵∠ABC＝37°，tan37°≈0.75，
∴＝0.75，
解得，x＝15，
∴35﹣x＝20，
∴AB＝＝25（厘米），
即AB的长为25厘米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
22．（2021 浦东新区模拟）在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）先求出甲队的速度，然后设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z米，再根据6小时后两队的施工时间相等列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由图可知，函数图象过点（2，30），（6，50），
∴，
解得，
∴y＝5x+20；
（2）由图可知，甲队速度是：60÷6＝10（米/时），
设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z米，
依题意，得＝，
解得z＝110，
答：甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为110米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，难点在于（2）根据6小时后的施工时间相等列出方程．
23．（2015 上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BD CE＝CD DE．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到BO＝BD，由等量代换推出OE＝BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；
（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO＝∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
∵OE＝OB，
∴OE＝OD，
∴∠OBE＝∠OEB，∠OED＝∠ODE，
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE＝180°，
∴∠BEO+∠DEO＝∠BED＝90°，
∴DE⊥BE；
（2）∵OE⊥CD
∴∠CEO+∠DCE＝∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠CEO＝∠CDE，
∵OB＝OE，
∴∠DBE＝∠OEB，
∴∠DBE＝∠CDE，
∵∠BED＝∠DEC，
∴△BDE∽△DCE，
∴，
∴BD CE＝CD DE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．
24．（2015 上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB＝2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）用含m的代数式表示线段CO的长；
（3）当tan∠ODC＝时，求∠PAD的正弦值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据已知条件先求出OB的长，再根据勾股定理得出OA＝2，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入y＝ax2﹣4，求出a的值，从而求出解析式；
（2）根据点P的横坐标得出点P的坐标，过点P作PE⊥x轴于点E，得出OE＝m，PE＝m2﹣4，从而求出AE＝2+m，再根据＝，求出OC；
（3）根据tan∠ODC＝，得出＝，求出OD和OC，再根据△ODB∽△EDP，得出＝，求出OC，求出∠PAD＝45°，从而求出∠PAD的正弦值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4与y轴相交于点B，
∴点B的坐标是（0，﹣4），
∴OB＝4，
∵AB＝2，
∴OA＝＝2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣4得：0＝4a﹣4，
解得：a＝1，
则抛物线的解析式是：y＝x2﹣4；
（2）方法一：
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为（m，m2﹣4），
过点P作PE⊥x轴于点E，
∴OE＝m，PE＝m2﹣4，
∴AE＝2+m，
∵＝，
∴＝，
∴CO＝2m﹣4；
方法二：
∵点P在抛物线上，∴P（m，m2﹣4），
设PA的直线方程为：y＝kx+b，
∴ ，
∴lPA：y＝（m﹣2）x+2m﹣4，
∴CO＝2m﹣4；
（3）方法一：
∵tan∠ODC＝，
∴＝，
∴OD＝OC＝×（2m﹣4）＝，
∵△ODB∽△EDP，
∴＝，
∴＝，
∴m1＝﹣1（舍去），m2＝3，
∴OC＝2×3﹣4＝2，
∵OA＝2，
∴OA＝OC，
∴∠PAD＝45°，
∴sin∠PAD＝sin45°＝．
方法二：
∵P（m，m2﹣4），B（0，﹣4），
∴lPB：y＝mx﹣4，
∴D（，0），
tan∠ODC＝ ，OC＝2m﹣4，
∴OD＝，
∵线段AP与y轴的正半轴交于点C，
∴OC＝2m﹣4（m＞2），
∴，
经整理：m2﹣2m﹣3＝0，
∴m1＝﹣1（舍去），m2＝3，
∴P（3，5），
∴lPA：y＝x+2，
∴∠PAD＝45°，
∴sin∠PAD＝．
【点评】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形．
25．（2021春 黄浦区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在半径OB上（点C与点O、B不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点M、N，P为弧AN上一点，射线AP交射线MN于点D．
（1）若P、N是弧AB的三等分点，求DN的长；
（2）如果OC＝3，联结AN、PN，当点P是弧AN的中点时，求△ANP的面积与△AND的面积比；
（3）当ON∥AD时，设点C关于直线ON的对称点为Q，若△APQ为等腰三角形，求OC的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；推理能力；应用意识．
【分析】（1）先根据三等分半圆可知：∠AOP＝∠PON＝∠CON＝60°，得等边三角形AOP和含30度角的直角△OCN，可得CD和CN的长，根据线段的差可得DN的长；
（2）如图2，连接ON，OP，OP交AN于点F，先根据勾股定理计算CN，AN，OF，可得PF的长，证明△ACN∽△DEN，列比例式可得，＝，设DE＝x，EN＝x，证明△AFP∽△AED，列比例式可得x的值，根据三角形面积公式代入可得结论；
（3）分三种情况：①AP＝AQ，②AQ＝PQ，③AP＝PQ，分别计算可得OC的长．
【解答】解：（1）如图1，连接OP，ON，
∵P、N是弧AB的三等分点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOP＝∠PON＝∠CON＝60°，
∵OA＝OP，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠A＝∠AOP＝60°，
∵AB⊥MN，
∴∠OCN＝90°，
Rt△OCN中，∠CNO＝30°，ON＝AB＝4，
∴OC＝2，CN＝2，
Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝4+2＝6，
∴CD＝6，
∴DN＝CD﹣CN＝6﹣2＝4；
（2）如图2，连接ON，OP，OP交AN于点F，
∵P是的中点，
∴OP⊥AN，
Rt△OCN中，ON＝4，OC＝3，
∴CN＝＝，AN＝＝2，
∴AF＝，
由勾股定理得：OF＝＝，
∴PF＝4﹣，
过点D作DE⊥AN于点E，
∵∠ACN＝∠DEN＝90°，∠ANC＝∠DNE，
∴△ACN∽△DEN，
∴，即，
∴＝，
设DE＝x，EN＝x，
∵PF⊥AN，DE⊥AN，
∴PF∥DE，
∴△AFP∽△AED，
∴，即＝，
解得：x＝，
∴DE＝x＝7，
∴＝＝＝；
（3）分三种情况：
①当AP＝AQ时，如图3，连接OQ，CQ，BP，BP交MN于K，交ON于L，过点A作AE⊥PQ于E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵ON∥AD，
∴∠CON＝∠CAP，
∵∠APB＝∠OCN＝90°，
∴△OCN∽△APB，
∴∠CBP＝∠CNO，，即，
∴＝＝，
∴PB＝2CN，AP＝2OC，
设OC＝a，则AP＝2a，
∵∠CKB＝∠NKL，
∴∠BCK＝∠NLK＝90°，
∴BP⊥ON，
∴PL＝BL＝CN，
连接OP，
∵OP＝OB，
∴∠POL＝∠BOL，
∵点C关于直线ON的对称点为Q，
∴ON是CQ的垂直平分线，
∴OC＝OQ＝a，
∴∠COL＝∠QON，
∴O、Q、P三点共线，
∵AP＝AQ，AE⊥PQ，
∴EQ＝PE＝，
∵OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA＝∠CON，
∵cos∠OPA＝＝，即，
解得：a1＝﹣（舍），a2＝，
∴OC＝；
②当AQ＝PQ时，如图4，连接OQ并延长交AP于点E，连接OP，
∵AQ＝PQ，OA＝OP，
∴OE是AP的垂直平分线，
∴OE⊥AD，
∵AD∥ON，
∴OE⊥ON，
由（1）知：∠CON＝∠EON＝90°，
所以此种情况不符合题意；
③当AP＝PQ时，如图5，过点P作PF⊥AQ于F，连接OQ，
由①可知：O、Q、P三点共线，OQ＝OC＝a，AP＝PQ＝2a，
∵OP＝4，
∴a+2a＝4，
∴a＝，
∴OC＝，
综上，OC的长为或．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
考点卡片
1．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
2．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
3．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
4．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
5．同类二次根式
同类二次根式的定义：
　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
6．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
9．函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
10．正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
11．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
12．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
13．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
14．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
15．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
16．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
18．多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
19．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
20．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
21．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
22．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
23．*平面向量
平面向量．
24．圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．
（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：
①两圆外离 d＞R+r；
②两圆外切 d＝R+r；
③两圆相交 R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切 d＝R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含 d＜R﹣r（R＞r）．
25．圆的综合题
圆的综合题．
26．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
27．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
28．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
29．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
30．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
31．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
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