2021-2022学年下学期上海初中北师大版数学九年级期中典型试卷3（含解析）

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2021-2022学年下学期上海初中数学九年级期中典型试卷3
一．选择题（共6小题）
1．（2021春 黄浦区校级月考）下列实数中，无理数是（　　）
A． B． C．2﹣1 D．（）0
2．（2015春 浦东新区期中）下列关于x的方程中，一定有实数解的是（　　）
A． B． C．x2+mx﹣1＝0 D．
3．（2021 普陀区二模）方程＝x的根是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝2
4．（2021 普陀区二模）已知两组数据：x1、x2、x3、x4、x5和x1+2、x2+2、x3+2、x4+2、x5+2，下列有关这两组数据的说法中，正确的是（　　）
A．平均数相等 B．中位数相等 C．众数相等 D．方差相等
5．（2021 嘉定区二模）下列四个命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形
D．对称轴互相垂直的四边形是矩形
6．（2021 嘉定区二模）如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，那么这两个圆的位置关系不可能是（　　）
A．两圆内切 B．两圆内含 C．两圆外离 D．两圆相交
二．填空题（共12小题）
7．（2021 永嘉县校级模拟）因式分解：a2﹣4a＝　 　．
8．（2021 浦东新区模拟）计算：a3 a﹣1＝　 　．
9．（2015 上海）如果分式有意义，那么x的取值范围是　 　．
10．（2015 上海）如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是　 　．
11．（2017 静安区二模）如果函数y＝的图象在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大，那么m的取值范围是　 　．
12．（2020 安丘市一模）在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是　 　株．
植树株数（株） 5 6 7
小组个数 3 4 3
13．（2021 普陀区二模）为了唤起公众的节水意识，从1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”．某居委会表彰了社区内100户节约用水的家庭，5月份这100户家庭节约用水的情况如表所示，那么5月份这100户家庭节水量的平均数是　 　吨．
每户节水量（单位：吨） 5 6 7.2
节水户户数 62 28 10
14．（2021 杭州三模）小明已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm、4cm、7cm、8cm的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率等于　 　．
15．（2021 嘉定区二模）已知AD是△ABC的中线，设向量＝，向量＝，那么向量＝　 　（用向量、的线性组合表示）．
16．（2021 嘉定区二模）如果一个正三角形的半径长为2，那么这个三角形的边长为　 　．
17．（2021 浦东新区模拟）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝　 　．
18．（2021 浦东新区模拟）已知，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，点D、E分别在边AC、BC上，且CD：CE＝3：4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是　 　．
三．解答题（共7小题）
19．（2014 上海）计算：﹣﹣+||．
20．（2015 上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
21．（2021春 黄浦区校级月考）已知：如图，⊙O的半径为5，P为⊙O外一点，PB、PD与⊙O分别交于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．
（1）求证：CB＝AD；
（2）当PA＝1，∠BPO＝45°时，求弦AB的长．
22．（2015 闵行区二模）货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系：
行驶时间x（时） 0 1 2 3 4
余油量y（升） 150 120 90 60 30
（1）如果y关于x的函数是一次函数，求这个函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B处卸货后能顺利返回会D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升）
23．（2021 普陀区二模）已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，．
求证：（1）四边形ABCD为矩形；
（2）BE DQ＝FQ PE．
24．（2021 普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．
（1）求b、c的值和直线BC的表达式；
（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；
（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．
25．（2021 嘉定区二模）已知：⊙O的半径长是5，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．分别过点A、B向直线CD作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图1，当点A、B位于直线CD同侧，求证：CF＝DE；
（2）如图2，当点A、B位于直线CD两侧，∠BAE＝30°，且AE＝2BF，求弦CD的长；
（3）设弦CD的长为l，线段AE的长为m，线段BF的长为n，探究l与m、n之间的数量关系，并用含m、n的代数式表示l．
2021-2022学年下学期上海初中数学九年级期中典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2021春 黄浦区校级月考）下列实数中，无理数是（　　）
A． B． C．2﹣1 D．（）0
【考点】分数指数幂；零指数幂；负整数指数幂；算术平方根；无理数．
【专题】创新题型；推理能力．
【分析】无限不循环小数为无理数，根据无理数概念作答．
【解答】解：A，为分数是有理数不符合题意．
B，是无理数符合题意．
C，2﹣1为分数是有理数不符合题意．
D，1为整数是有理数不符合题意．
故选：B．
【点评】考查有理数及无理数概念，解题关键是利用排除法求解．
2．（2015春 浦东新区期中）下列关于x的方程中，一定有实数解的是（　　）
A． B． C．x2+mx﹣1＝0 D．
【考点】无理方程；分式方程的解；根的判别式．
【专题】探究型．
【分析】先解答选项中的各个方程，即可判断那个选项中的方程一定有实数解，从而可以解答本题．
【解答】解：∵，∴无解，故选项A错误；
∵，得x﹣1＝x2，∴x2﹣x+1＝0，则Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，故此方程无解，故选项B错误；
∵x2+mx﹣1＝0，∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4＞0，∴x2+mx﹣1＝0一定有两个不相等的实数根，故选项C正确；
∵，解得，x＝1，而x＝1时，x﹣1＝0，故此分式方程无解，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查无理方程、根的判别式、分式方程的解，解题的关键是明确无理方程根号里面的数或式子大于等于0，根的判别式△≥0时，方程有实数根，分式方程的解要使得原分式方程有意义．
3．（2021 普陀区二模）方程＝x的根是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝2
【考点】无理方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】将方程两边分别平方，去掉根号，化成一元二次方程，解一元二次方程，检验，舍去增根，得出原方程的根．
【解答】解：将方程两边平方得：
x+2＝x2．
解这个一元二次方程得：
x1＝2，x2＝﹣1．
检验：把x1＝2，x2＝﹣1分别代入原方程，
x＝2是原方程的根，x＝﹣1是原方程的增根．
∴原方程的根为：x＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了无理方程的解法，将方程两边平方，化无理方程为一元二次方程是解题的关键．
4．（2021 普陀区二模）已知两组数据：x1、x2、x3、x4、x5和x1+2、x2+2、x3+2、x4+2、x5+2，下列有关这两组数据的说法中，正确的是（　　）
A．平均数相等 B．中位数相等 C．众数相等 D．方差相等
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：因为新数据是在原数据的基础上每个加2，
∴这两组数据的波动幅度不变，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5．（2021 嘉定区二模）下列四个命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形
D．对称轴互相垂直的四边形是矩形
【考点】矩形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；应用意识．
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理即可判断．
【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形判定定理，是真命题，故A符合题意；
对角线互相垂直的四边形是菱形是假命题，故B不符合题意；
以一条对角线为对称轴的四边形可能是“筝”形，以一条对角线为对称轴的四边形是菱形是假命题，故C不符合题意；
对称轴互相垂直的四边形是矩形是假命题，故D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
6．（2021 嘉定区二模）如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，那么这两个圆的位置关系不可能是（　　）
A．两圆内切 B．两圆内含 C．两圆外离 D．两圆相交
【考点】圆与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观．
【分析】画出图形即可判断．
【解答】解：两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，则另一圆的圆心在前一圆上，如图：
两圆位置可能是：内切、内含及相交，但不能是外离，
故选：C．
【点评】本题考查两圆的位置关系，画出图形是关键．
二．填空题（共12小题）
7．（2021 永嘉县校级模拟）因式分解：a2﹣4a＝　a（a﹣4）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】常规题型．
【分析】直接找出公因式提取公因式分解因式即可．
【解答】解：原式＝a（a﹣4）．
故答案为：a（a﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
8．（2021 浦东新区模拟）计算：a3 a﹣1＝　a2　．
【考点】负整数指数幂．
【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】解：原式＝a3+（﹣1）
＝a2．
故答案为：a2．
【点评】本题考查了负整数指数幂，利用同底数幂的乘法计算是解题关键．
9．（2015 上海）如果分式有意义，那么x的取值范围是　x≠﹣3　．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，列出算式，计算得到答案．
【解答】解：由题意得，x+3≠0，
即x≠﹣3，
故答案为：x≠﹣3．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
10．（2015 上海）如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是　m＜﹣4　．
【考点】根的判别式．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，得出Δ＝16﹣4（﹣m）＜0，从而求出m的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，
∴Δ＝16﹣4（﹣m）＜0，
∴m＜﹣4，
故答案为m＜﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
11．（2017 静安区二模）如果函数y＝的图象在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大，那么m的取值范围是　m＜　．
【考点】反比例函数的性质．
【分析】先根据反比例函数的性质得出1﹣2k＜0，再解不等式求出k的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大，
∴3m﹣1＜0，
∴m＜．
故答案为m＜．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
12．（2020 安丘市一模）在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是　6　株．
植树株数（株） 5 6 7
小组个数 3 4 3
【考点】加权平均数．
【专题】计算题；统计的应用．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：这10个小组植树株数的平均数是＝6（株），
故答案为：6．
【点评】本题考查的是平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的定义．
13．（2021 普陀区二模）为了唤起公众的节水意识，从1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”．某居委会表彰了社区内100户节约用水的家庭，5月份这100户家庭节约用水的情况如表所示，那么5月份这100户家庭节水量的平均数是　5.5　吨．
每户节水量（单位：吨） 5 6 7.2
节水户户数 62 28 10
【考点】加权平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：5月份这100户家庭节水量的平均数是＝5.5（吨），
故答案为：5.5．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
14．（2021 杭州三模）小明已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm、4cm、7cm、8cm的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率等于　　．
【考点】概率公式；三角形三边关系．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【分析】根据三角形的三边关系结合概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签，
∴设第3根竹签长为xcm，则第三根可以构成三角形的范围是：3＜x＜7，
故只有4cm，符合题意，
则小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式以及三角形三边关系，正确得出符合题意的竹签长是解题关键．
15．（2021 嘉定区二模）已知AD是△ABC的中线，设向量＝，向量＝，那么向量＝　2﹣　（用向量、的线性组合表示）．
【考点】*平面向量．
【专题】特定专题；推理能力．
【分析】利用三角形法则求出，可得结论．
【解答】解：如图，
∵＝+，
∴＝﹣+，
∵AD是中线，
∴BC＝2BD，
∴＝2﹣2，
∴＝+＝+2﹣2＝2﹣，
故答案为：2﹣，
【点评】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．
16．（2021 嘉定区二模）如果一个正三角形的半径长为2，那么这个三角形的边长为　2　．
【考点】正多边形和圆；等边三角形的性质．
【专题】数形结合；三角形；运算能力；应用意识．
【分析】画出图形，构造直角三角形可以求解．
【解答】解：如图：
正三角形ABC，半径OA＝OB＝OC＝2，延长AO交BC于H，
∵∠BOC＝360°÷3＝120°，O为正三角形中心，
∴∠BHO＝90°，∠BOH＝60°，BC＝2BH，
∴BH＝OB sin60°＝，
∴BC＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查正三角形半径与边长的关系，解题的关键是画出图形，构造直角三角形．
17．（2021 浦东新区模拟）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝　：1　．
【考点】直角梯形；梯形．
【分析】如图连接EC，设AB＝a，BC＝b则CD＝2b．只要证明∠D＝60°，根据sin60°＝，即可解决问题．
【解答】解：如图连接EC，设AB＝a，BC＝b则CD＝2b．
由题意四边形ABCE是矩形，
∴CE＝AB＝a，∠A＝∠AEC＝∠CED＝90°，
∵∠BCF＝∠DCF＝∠D，
又∵∠BCF+∠DCF+∠D＝180°，
∴∠D＝60°，
∴sinD＝＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴AB：BC＝：1
故答案为：1．
【点评】本题考查直角梯形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，利用角相等这个信息解决问题，发现特殊角是解题的突破口，属于中考常考题型．
18．（2021 浦东新区模拟）已知，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，点D、E分别在边AC、BC上，且CD：CE＝3：4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是　6　．
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；图形的相似．
【分析】设CD＝3x，则CE＝4x，BE＝12﹣4x，依据∠EBF＝∠EFB，可得EF＝BE＝12﹣4x，由旋转可得DF＝CD＝3x，再根据Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，即可得到（3x）2+（4x）2＝（3x+12﹣4x）2，进而得出CD＝6．
【解答】解：如图所示，设CD＝3x，则CE＝4x，BE＝12﹣4x，
∵＝，∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴△ACB∽△DCE，
∴∠DEC＝∠ABC，
∴AB∥DE，
∴∠ABF＝∠BFE，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠EBF＝∠EFB，
∴EF＝BE＝12﹣4x，
由旋转可得DF＝CD＝3x，
∵Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，
∴（3x）2+（4x）2＝（3x+12﹣4x）2，
解得x1＝2，x2＝﹣3（舍去），
∴CD＝2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
三．解答题（共7小题）
19．（2014 上海）计算：﹣﹣+||．
【考点】实数的运算；分数指数幂．
【专题】计算题．
【分析】本题涉及绝对值、二次根式化简两个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝2﹣﹣2+2﹣
＝．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
20．（2015 上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
在数轴上表示不等式组的解集为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．
21．（2021春 黄浦区校级月考）已知：如图，⊙O的半径为5，P为⊙O外一点，PB、PD与⊙O分别交于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．
（1）求证：CB＝AD；
（2）当PA＝1，∠BPO＝45°时，求弦AB的长．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质．
【分析】（1）作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB、OD，如图，根据角平分线的性质得OE＝OF，根据垂径定理得AE＝BE，CF＝DF，则可利用“HL”证明Rt△OBE≌Rt△ODF，得到BE＝DF，则AB＝CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，推出+＝+，即＝，可得AD＝BC；
（2）在Rt△POE中，由于∠BPO＝45°，则可判断△POE为等腰直角三角形，所以OE＝PE＝1+AE，则OE＝1+BE，然后在Rt△BOE中根据勾股定理得（1+BE）2+BE2＝52，解方程求出BE即可得到AB．
【解答】（1）证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB，OD，BC，AD，如图，
∵PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE＝OF，AE＝BE，CF＝DF，
在Rt△OBE和Rt△ODF中，
，
∴Rt△OBE≌Rt△ODF（HL），
∴BE＝DF，
∴AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AD＝BC．
（2）解：在Rt△POE中，∵∠BPO＝45°，
∴△POE为等腰直角三角形，
∴OE＝PE＝PA+AE＝1+AE，
而AE＝BE，
∴OE＝1+BE，
在Rt△BOE中，∵OE2+BE2＝OB2，
∴（1+BE）2+BE2＝52，解得BE＝﹣4（舍去）或BE＝3，
∴AB＝2BE＝6．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了角平分线的性质和勾股定理．
22．（2015 闵行区二模）货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系：
行驶时间x（时） 0 1 2 3 4
余油量y（升） 150 120 90 60 30
（1）如果y关于x的函数是一次函数，求这个函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B处卸货后能顺利返回会D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升）
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）设x与y之间的函数关系式为y＝kx+b，将点（0，150）和（1，120）代入求k和b值；
（2）利用路程关系建立在D处加油的一元一次不等式，求在D处至少加油量．
【解答】解：（1）把5组数据在直角坐标系中描出来，这5个点在一条直线上，所以y与x满足一次函数关系，
设y＝kx+b，（k≠0）
则，
解得：，
∴y＝﹣30x+150．
（2）设在D处至少加W升油，根据题意得：
150﹣4×30﹣×30+W≥×30×2+10 （3分）
即：150﹣120﹣6+W≥118
解得W≥94，
答：D处至少加94升油，才能使货车到达灾区B地卸物后能顺利返回D处加油．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是用待定系数法求函数解析式，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
23．（2021 普陀区二模）已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，．
求证：（1）四边形ABCD为矩形；
（2）BE DQ＝FQ PE．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）通过证明△ABF∽△EPF，可得结论；
（2）通过证明△DPQ∽△FCQ，可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ADFE是菱形，
∴AF⊥DE，
∴∠EPF＝90°，
∵，∠PFE＝∠AFB，
∴△ABF∽△EPF，
∴∠ABE＝∠EPF＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝EF，
∴EC+CF＝BE+CE，
∴BE＝CF，
∵∠DPF＝∠QCF＝90°，∠CQF＝∠PQD，
∴△DPQ∽△FCQ，
∴，
∴，
∴BE DQ＝FQ PE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，矩形的性质和判定，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
24．（2021 普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．
（1）求b、c的值和直线BC的表达式；
（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；
（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．
【考点】二次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；二次函数的应用；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）通过证明△ACE∽△BCA，可得，即可求解；
（3）由相似三角形的性质可得＝，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣6，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴点C（0，﹣6），
设直线BC解析式为y＝mx+n，
则，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x﹣6；
（2）如图1，过点E作EH⊥OC于H，
∵点C（0，﹣6），点B（6，0），点A（﹣2，0），
∴OB＝OC＝6，OA＝2，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6，AC＝＝＝2，
∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴CE＝，
∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，
∴EH＝HC＝，
∴OH＝，
∴点E（，﹣）；
（3）∵点D的横坐标为d，
∴点D（d，d2﹣2d﹣6），（0＜d＜6），
如图2，过点D作DF∥AB交BC于点F，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵＝，
∴＝．
∵点F在直线BC上，
∴点F（d2﹣2d，d2﹣2d﹣6），
∴DF＝3d﹣d2，
∴＝＝．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质等知识，根据题意画出符合条件的图形是解题的关键．
25．（2021 嘉定区二模）已知：⊙O的半径长是5，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．分别过点A、B向直线CD作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图1，当点A、B位于直线CD同侧，求证：CF＝DE；
（2）如图2，当点A、B位于直线CD两侧，∠BAE＝30°，且AE＝2BF，求弦CD的长；
（3）设弦CD的长为l，线段AE的长为m，线段BF的长为n，探究l与m、n之间的数量关系，并用含m、n的代数式表示l．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）如图1中，连接OD，过点O作OH⊥EF于H．证明HF＝HE，HD＝HC，即可解决问题．
（2）连接OD，过点O作OH⊥CD于H，设AB交CD于J．利用相似三角形的性质求出BJ，OJ，OH，再利用勾股定理，可得结论．
（3）分两种情形：如图1，当点A、B位于直线CD同侧时，如图2中，如图2，当点A、B位于直线CD两侧时，利用勾股定理分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，连接OD，过点O作OH⊥EF于H．
∵BF⊥EF，AE⊥EF，OH⊥EF，
∴BF∥OH∥AE，
∵OA＝OB，
∴HF＝HE，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，
∴CF＝DE．
（2）连接OD，过点O作OH⊥CD于H，设AB交CD于J．
∵BF⊥CD，AE⊥CD，
∴∠BFJ＝∠AEJ＝90°，
∵∠BJF＝∠AJE，
∴△BFJ∽△AEJ，
∴＝＝，
∴BJ＝AB＝，
∴OJ＝OB﹣BJ＝5﹣＝，
∵OH∥AE，
∴∠JOH＝∠BAE＝30°，
∴OH＝OJ cos30°＝×＝，
∵OH⊥CD，
∴DH＝CH＝＝＝，
∴CD＝2DH＝．
（3）如图1，当点A、B位于直线CD同侧时，∵OH＝（BF+AE）＝（m+n），
在Rt△ODH中，OD2＝OH2+DH2，
∴52＝（m+n）2+l2，
∴（m+n）2+l2＝100，
∴l＝
如图2中，当点A、B位于直线CD两侧时，OH＝|m﹣n|，
在Rt△ODH中，OD2＝OH2+DH2，
∴52＝（m﹣n）2+l2，
∴（m﹣n）2+l2＝100，
∴l＝
综上所述，l＝或l＝．
【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，平行线等分线段定理，勾股定理，梯形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考压轴题．
考点卡片
1．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．分数指数幂
分数指数幂．
5．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
6．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
7．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
8．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
9．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
10．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
11．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
12．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
13．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
14．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
15．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
16．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
17．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
18．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
21．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
22．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
23．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
24．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
25．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
26．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
27．直角梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．
角：有两个内角是直角．
过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．
28．*平面向量
平面向量．
29．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
30．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
31．圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．
（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：
①两圆外离 d＞R+r；
②两圆外切 d＝R+r；
③两圆相交 R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切 d＝R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含 d＜R﹣r（R＞r）．
32．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
33．圆的综合题
圆的综合题．
34．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
35．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
36．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
37．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
38．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
39．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
40．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
41．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
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