山东省枣庄市薛城区舜耕中学2021-2022学年九年级（下）第一次月考数学试卷（Word版 含解析）

山东省枣庄市薛城区舜耕中学2021-2022学年九年级（下）第一次月考数学试卷
一．选择题（本题共12小题，共36分）
如图，在菱形中，，对角线，则菱形的边的长为
A.
B.
C.
D.
如图，该几何体的俯视图是
A.
B.
C.
D.
若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A. B. 且
C. D. 且
如图，在矩形中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中空白部分的面积是
A.
B.
C.
D.
有张背面相同的卡片，正面分别印有平行四边形、矩形、菱形、正方形，现将张卡片正面朝下一字摆开，从中随机抽取两张，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的概率为
A. B. C. D.
如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是
A.
B.
C.
D.
如图，点为反比例函数图象上的一点，过点作轴于，点为轴上的一个动点，的面积为，则的值为
A. B. C. D.
如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为
A.
B.
C.
D.
如图，四边形内接于，，则的度数是
A.
B.
C.
D.
如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为，则的面积为
A.
B.
C.
D.
如图，的直径，弦垂直于点若，则的长为
A.
B.
C.
D.
如图是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：；；；为任意实数；，其中正确的命题有
个
B. 个
C. 个
D. 个
二．填空题（本题共6小题，共24 分）
在反比例函数的图象上有，，三个点，则，，的大小关系为______．
，是的两条平行弦，的直径为，，，则，间的距离为______．
在九章算术卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾短直角边长为步，股长直角边长为步，问该直角三角形能容纳的圆内切圆的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为______步．
如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为______．
如图，半圆中，直径，弦，长为，则由与，围成的阴影部分面积为______．
已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______．
三．解答题（本题共7小题，共60分）
为积极相应“五项管理”政策，加强学生体育锻炼，某校开设羽毛球、篮球、乒乓球兴趣小组，为了解七年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如下两幅统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
求参与调查的学生中，喜爱乒乓球运动的学生人数，并补全条形图．
若从喜爱羽毛球运动的名男生和名女生中随机抽取名学生，确定为该校羽毛球运动员的重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率．
某疫苗生产企业于年月份开始技术改造，其月生产数量万支与月份之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
该企业月份的生产数量为多少万支？
该企业有几个月的月生产数量不超过万支？
如图所示是按顾客要求安装在房间墙壁上的某壁挂式空调，图是安装该空调的侧面示意图，空调风叶是绕点由上往下旋转扫风的，安装时要求：当风叶恰好吹到床的外边沿，此时风叶与竖直线的夹角为，空调底部垂直于墙面，垂足为点，，床铺长，求安装的空调底部位置距离床的高度结果精确到，，
李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度，，点、、在同一直线上已知李航的身高是，请你帮李航求出楼高．
如图，在中，，平分交于点，点在上，是的外接圆，交于点．
求证：是的切线；
若的半径为，，求．
如图，在矩形中，为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，连接，且．
求证：是的切线；
若，长为，求的半径．
如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，且．
求抛物线的表达式；
若点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
解：四边形为菱形，
，
，
为等边三角形，
，
故选：．
由四边形为菱形，得到四条边相等，根据得到三角形为等边三角形，即可确定菱形的边的长．
此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】
解：从上面可看，是一行三个相邻的矩形，中间的矩形较大．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.【答案】
【解析】
解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故选：．
利用二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】
解：四边形是矩形，
，，
由题意知，
，
，
，
，
故选：．
根据求解即可．
本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出长和的度数是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】
解：画树状图为：用、、、分别表示平行四边形、矩形、菱形、正方形，
共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的结果数为，
所以抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的概率．
故选：．
画树状图用、、、分别表示平行四边形、矩形、菱形、正方形展示所有种等可能的结果，利用轴对称图形和中心对称图形的定义找出既是中心对称又是轴对称的图形的结果数，然后利用概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了轴对称图形与中心对称图形．
6.【答案】
【解析】
解：、由三角形的面积公式可知，，
，本选项结论正确，不符合题意；
B、，，
∽，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
C、同上可知：，本选项结论错误，符合题意；
D、，
，
，
，
，
，
∽，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
故选：．
根据三角形的面积公式计算，判断；证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，判断；同的方法判断；证明∽，列出比例式，判断．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】
解：连接，
轴，
轴，
，即：，
或，
在第二象限，
，
故选：．
连接，可得，根据反比例函数的几何意义，可求出的值．
考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提．
8.【答案】
【解析】
解：如图所示，连接小正方形的对角线，
设每个小正方形的边长为，则，，，
，
即，
是直角三角形，
．
故选：．
连接小正方形的对角线，证明是直角三角形，再利用与它的余角的正弦值相等解答即可．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活运用勾股定理和锐角三角函数是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】
解：，
，
．
故选：．
先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
10.【答案】
【解析】
解：连接，，过点作于，
，
是等边的外接圆，
，
，
，
的半径为，
，
，，
．
等边的面积为．
故选：．
首先连接，，过点作于，由是等边的外接圆，即可求得的度数，然后由三角函数的性质即可求得的长，又由垂径定理即可求得等边的边长，由三角形面积公式可得出答案．
本题考查了三角形的外接圆，等边三角形的性质，垂径定理，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
解：如图，连接，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
故选：．
连接，先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，从而得到的长．
本题考查了垂径定理和勾股定理，理解垂径定理是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴是，
，
抛物线交于轴的负半轴，
，
，说法错误；
，
说法错误；
抛物线与轴交于，对称轴是，
抛物线与轴的另一个交点是，
，说法正确；
抛物线的对称轴是，且开口向上，
函数最小值为，
，
，说法正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
，说法正确；
故选：．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点情况以及二次函数的性质判断即可．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系、命题的真假判断，掌握对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式是解题的关键．
13.【答案】
或，
【解析】
解：，
反比例函数在第一象限和第三象限的函数值随的增大而减小，
，
或，
故答案为：或
先由得到函数在第一象限和第三象限的函数值随的增大而减小，然后即可得到，，的大小关系．
本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是会判断的正负．
14.【答案】
或
【解析】
解：作于，延长交于，连接、，如图，
，，
，
，，
在中，，
在中，，
当点在与之间时，如图，；
当点不在与之间时，如图，；
综上所述，与之间的距离为或．
故答案为或．
作于，延长交于，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点在与之间时，；当点不在与之间时，．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
15.【答案】
【解析】
解：根据勾股定理得：斜边，
内切圆直径步，
故答案为：．
根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为为、，斜边为，其内切圆半径是解题的关键．
16.【答案】
【解析】
解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，此时最小，且等于的长．
连接，，
，
，
为弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先利用在直线上的同侧有两个点、，在直线上有到、的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点的位置，然后根据弧所对的圆心角的度数发现一个等腰直角三角形计算．
此题主要考查了轴对称最短路线问题，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等，确定点的位置是本题的关键．
17.【答案】
【解析】
解：连接，，
直径，
，
，
，
长为，
阴影部分的面积为，
故答案为：．
连接，，根据同底等高可知，把阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形的面积公式来求解．
本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积扇形的面积是解题的关键．
18.【答案】
，
【解析】
解：抛物线的对称轴为，抛物线和轴的一个交点坐标为，
则根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为，
则关于的一元二次方程的解为或，
故答案为：，．
抛物线的对称轴为，抛物线和轴的一个交点为，则根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为，即可求解．
本题考查抛物线与轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】
解：由题意可知调查的总人数是：人，
所以喜爱乒乓球运动的学生人数是：人，
补全条形图如图所示：
画树状图为：
共有种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为，
所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为．
【解析】
根据羽毛球的人数和所占的百分比去，求出调查的总人数，再用总人数乘以乒乓球所占的百分比，从而补全统计图；
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查了树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．同时也考查了条形统计图与扇形统计图的综合．
20.【答案】
解：当时，设与的函数关系式为，
点在该函数图象上，
，得，
，
当时，，
即该疫苗生产企业月份的生产数量为万支；
设技术改造完成后对应的函数解析式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
技术改造完成后对应的函数解析式为，
，
解得
为正整数，
，，，，，，
答：该疫苗生产企业有个月的月生产数量不超过万支．
【解析】
根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将代入求出相应的的值即可；
根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后与的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意为正整数．
本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
21.【答案】
解：，，
，
在中，，
，
，
安装的空调底部位置距离床的高度为．
【解析】
在中，首先求出，再利用，代入计算即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知条件得出是解题的关键，注意结果的精确要求．
22.【答案】
解：过点作，垂足为交于点，
四边形、是矩形，
，，，
，
依题意知，，
∽，
，
即：，
，
答：楼高为米．
【解析】
【试题解析】
本题考查了平行投影和相似三角形的应用，是中考常见题型，要熟练掌握．过点作，可得四边形、是矩形，即可证明∽，从而得出，进而求得的长．
23.【答案】
证明：连接，
，
，
平分
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
是的直径，
，
，
，
∽，
，
即，
，
，
．
【解析】
连接，利用角平分线的性质和等腰三角形的性质证明，即可解答；
先证明∽，求出的长，再利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，三角形外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握角平分线的性质和等腰三角形的性质证明平行线是解题的关键．
24.【答案】
证明：连接，
四边形是矩形，
，
，，
，，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：，，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
即的半径为．
【解析】
根据矩形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，，证出，则可得出结论；
证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了切线的判定，矩形的性质、直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系以及矩形、等腰三角形的性质是解题的关键．
25.【答案】
解：，
．
把，两点的坐标代入，得
．
解得．
二次函数表达式为：；
设所在的直线表达式为，
把点，的坐标代入，得．
解得．
所在的直线表达式为．
如图，过点作轴，交于点，连接，．
设点坐标为，则点坐标为．
．
．
，
当时，
．
把代入，得
．
此时，点坐标为
【解析】
首先由推知；然后将点、的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组即可求得答案；
首先求出解析式；过点作轴，交于点，连接，，设点坐标为，则点坐标为；最后根据，利用二次函数最值的求法得到答案．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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