2021-2022学年下学期深圳初中北师大版数学九年级期中典型试卷2（含解析）

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2021-2022学年下学期深圳初中数学九年级期中典型试卷2
一．选择题（共10小题）
1．（2021 二七区校级模拟）与互为倒数的数为（　　）
A．﹣ B． C．5 D．﹣5
2．（2021 罗湖区校级二模）有一组数据：2，﹣2，2，4，6，7这组数据的中位数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2018 天水）未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（　　）
A．0.845×104亿元 B．8.45×103亿元
C．8.45×104亿元 D．84.5×102亿元
4．（2021 罗湖区一模）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021 唐河县一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021 岱岳区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2021 连州市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD＝3，AC＝12，则△ACD的面积是（　　）
A．36 B．18 C．15 D．9
8．（2021春 龙华区月考）下列命题中真命题的是（　　）
A．绝对值等于它本身的数是0和1
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对于任意的实数b，方程x2﹣bx﹣3＝0有两个不等的实数根
9．（2021 南山区校级模拟）对于实数a、b，定义运算“★”如下：a★b＝a2﹣ab，如3★2＝32﹣3×2，则方程（x+1）★3＝2的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
10．（2021 湖里区校级二模）如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共5小题）
11．（2020 无锡模拟）因式分解：4m2﹣16＝　 　．
12．（2021 罗湖区校级二模）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞0，则x的取值范围为　 　．
13．（2021春 深圳月考）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x}＝1，则x＝　 　．
14．（2021 梓潼县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD于E，将△PEC沿PE翻折到平面内，使点C恰好落在AD边上的点F，则BP长为 　 　．
15．（2020 饶平县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AC＝5，AE平分∠DAC交CD于E，CF平分∠ACD交AE于点F，且EF：AF＝1：2，则CF＝　 　．
三．解答题（共7小题）
16．（2014 北京）计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣|
17．（2021春 奉化区校级期末）先化简再求值：，在x＝±2、0、±1中选择一个你喜欢的数，求原式的值．
18．（2021春 费县期末）我市某初中为落实“阳光体育”工程，计划在七年级开设乒乓球、排球、篮球、足球四个体育活动项目供学生选择，为了解七年级学生对这个四个体育活动项目的选择情况，学校数学兴趣小组从七年级各班学生中随机抽取了部分学生（规定每人必须且只能选择其中的一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）学校在七年级各班共随机抽取了　 　名学生；
（2）在扇形统计图中，“篮球”项目对应的扇形圆心角的度数是　 　；
（3）请把条形统计图补充完整；
（4）若该校七年级共有900名学生，请根据统计结果估计全校七年级选择“足球”项目的学生有多少人？
19．（2021 南山区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G连接DG．
（1）求证：四边形DEFG为菱形；
（2）若CD＝8，CF＝4，求的值．
20．（2021 黄石模拟）习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在春节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖．该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；5辆大货车与7辆小货车一次可以满载运输1450件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过46000元．请你指出共有几种运输方案，并计算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
21．（2021 罗湖区校级二模）如图1，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为弧CF的中点连接BE、FC相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接AB、CE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BF，若AF＝FM，试说明的值是否为定值？如果是，求出此值，如果不是说明理由？
（3）如图3，若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的长．
22．（2020 鞍山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的时，请直接写出线段AM的长．
2021-2022学年下学期深圳初中数学九年级期中典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021 二七区校级模拟）与互为倒数的数为（　　）
A．﹣ B． C．5 D．﹣5
【考点】倒数．
【专题】实数；符号意识．
【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：与为倒数的数为：5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（2021 罗湖区校级二模）有一组数据：2，﹣2，2，4，6，7这组数据的中位数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
【解答】解：将这组数据排序得：﹣2，2，2，4，6，7，处在第3、4位两个数的平均数为（4+2）÷2＝3，
故选：B．
【点评】考查中位数的意义和求法，找一组数据的中位数需要将这组数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数或两个数的平均数即为中位数．
3．（2018 天水）未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（　　）
A．0.845×104亿元 B．8.45×103亿元
C．8.45×104亿元 D．84.5×102亿元
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将8450亿元用科学记数法表示为8.45×103亿元．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2021 罗湖区一模）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
5．（2021 唐河县一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（x﹣2）≥x﹣4，得：x≥1，
解不等式3x﹣2x＞﹣2，得：x＞﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（2021 岱岳区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴x＝﹣＜0，得出b＞0，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：因为二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴x＝﹣＜0，得出b＞0，
所以一次函数y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y＝经过二、四象限，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出a＞0、b＞0、c＜0是解题的关键．
7．（2021 连州市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD＝3，AC＝12，则△ACD的面积是（　　）
A．36 B．18 C．15 D．9
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB＝DQ＝3，再根据三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B＝90°，BD＝3，
∴DB＝DQ＝3，
∵AC＝12，
∴S△ACD＝ AC DQ＝×12×3＝18，
故选：B．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
8．（2021春 龙华区月考）下列命题中真命题的是（　　）
A．绝对值等于它本身的数是0和1
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对于任意的实数b，方程x2﹣bx﹣3＝0有两个不等的实数根
【考点】命题与定理．
【专题】特定专题；应用意识．
【分析】根据绝对值的性质，平行线的判定和性质，菱形的判定，一元二次方程的根的判定等知识，一一判断即可．
【解答】解：A、绝对值等于它本身的数是0和1，是假命题，本选项不符合题意．
B、两条直线被第三条直线所截，内错角相等，是假命题，本选项不符合题意．
C、对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意．
D、对于任意的实数b，方程x2﹣bx﹣3＝0有两个不等的实数根，是真命题，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，绝对值的性质，平行线的判定和性质，菱形的判定，一元二次方程的根的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（2021 南山区校级模拟）对于实数a、b，定义运算“★”如下：a★b＝a2﹣ab，如3★2＝32﹣3×2，则方程（x+1）★3＝2的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【考点】根的判别式；实数的运算；一元一次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据运算“★”的定义将方程（x+1）★3＝2转化为一般式，由根的判别式Δ＝17＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵（x+1）★3＝2，
∴（x+1）2﹣3（x+1）＝2，即x2﹣x﹣4＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴方程（x+1）★3＝2有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
10．（2021 湖里区校级二模）如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】①③利用正方形的性质、翻折不变性即可解决问题；
②构造全等三角形即可解决问题；
④构造全等三角形即可解决问题；
⑤只要证明∠MPB＝45°，再利用∠APE的大小情况便可解决问题．
【解答】解：如图1，
根据翻折不变性可知：PE＝BE，故①正确；
∴∠EBP＝∠EPB．
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC＝∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC．
∴∠APB＝∠BPH．故③正确；
如图2，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．
∵∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°，
∴四边形BCFK是矩形，
∴KF＝BC＝AB，
∵EF⊥PB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠ABP+∠BEO＝90°，∠BEO+∠EFK＝90°，
∴∠ABP＝∠EFK，
∵∠A＝∠EKF＝90°，
∴△ABP≌△KFE（ASA），
∴EF＝BP，故②正确，
如图3，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB＝∠BPH，
∴BA＝BQ，
∵BP＝BP．
∴Rt△ABP≌Rt△QBP（HL），
∴AP＝QP，
又∵AB＝BC，
∴BC＝BQ．
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL）
∴CH＝QH，
∴QP+QH＝AP+CH，即PH＝AP+CH，故④正确；
设EF与BP的交点为点N，如图4，
∵Rt△ABP≌Rt△QBP，△BCH≌△BQH，
∴∠ABP＝∠QBP，∠CBH＝∠QBH，
∴∠QBP+∠QBH＝∠ABP+∠CBH＝，
即∠PBM＝45°，
由折叠知，∠BPM＝∠PBM＝45°，∠EBM＝∠EPM，∠PNF＝∠BNF＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠MHF＝∠EBM＝∠EPM＝45°+∠EPN，
∵在四边形DPNF中，∠D＝∠PNF＝90°，
∴∠MFH+∠DPN＝180°，
∵∠DPN+∠APN＝180°，
∴∠APN＝∠MFH，
当AP≠AE时，∠APE≠45°，则∠APN≠∠EPM，
此时，∠MFH≠∠MHF，则此时MH≠MF，故⑤错误；
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共5小题）
11．（2020 无锡模拟）因式分解：4m2﹣16＝　4（m+2）（m﹣2）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：4m2﹣16，
＝4（m2﹣4），
＝4（m+2）（m﹣2）．
故答案为：4（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（2021 罗湖区校级二模）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞0，则x的取值范围为　x＞　．
【考点】解一元一次不等式；有理数的混合运算．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据新定义列出关于x的不等式，再进一步求解即可．
【解答】解：根据题意得4x﹣3（3﹣x）＞0，
去括号，得：4x﹣9+3x＞0，
移项、合并，得：7x＞9，
系数化为1，得：x＞，
故答案为：x＞．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
13．（2021春 深圳月考）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x}＝1，则x＝　2　．
【考点】二次函数的性质；实数大小比较；解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；推理能力．
【分析】由于min{（x﹣1）2，x}＝1，分情况讨论，即可得出x的值．
【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x}＝1，
①当（x﹣1）2＝x时，不可能得出最小值为1；
②当（x﹣1）2＞x时，x＝1，
则（x﹣1）2＝0，
∴x＝1不合题意舍去；
③当（x﹣1）2＜x时，则（x﹣1）2＝1，
∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1；
∴当x﹣1＝1时，x＝2，
当x﹣1＝﹣1时，x＝0（不合题意舍去），
故答案为：2．
【点评】本题主要考查一元一次方程，实数的比较大小，正确理解题意是解题的关键．
14．（2021 梓潼县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD于E，将△PEC沿PE翻折到平面内，使点C恰好落在AD边上的点F，则BP长为 　或1　．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】作PH⊥AD于H，如图，设BP＝x，则CP＝2﹣x，利用等角的余角相等得到∠1＝∠3，则根据相似三角形的判定得到Rt△ABP∽Rt△PCE，利用相似比、折叠的性质得表示相应的线段，然后证明Rt△PHF∽Rt△FDE，利用相似比得到FD，在Rt△DFE中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：作PH⊥AD于H，如图，设BP＝x，则CP＝2﹣x．
∵PE⊥PA，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴．即．
∴CE＝x（2﹣x）．
∵△PEC沿PE翻折到△PEF位置，使点F落到AD上，
∴EF＝CE＝x（2﹣x），PF＝PC＝2﹣x，∠PGE＝∠C＝90°，
∴DE＝DC﹣CE＝1﹣x（2﹣x）＝（x﹣1）2．
∴∠5+∠6＝90°．
∵∠4+∠6＝90°，
∴∠5＝∠4．
∴Rt△PHF∽Rt△FDE，
∴，即．
∴FD＝x，
在Rt△DFE中，
∵DE2+DF2＝FE2，
∴[（x﹣1）2]2+x2＝[x（2﹣x）]2，
解得x1＝，x2＝1，
∴BP的长为或1．
解法二：过点A作AM⊥BF于M．
∵△PEF由△PEC翻折得到，
∴△PEF≌△PEC，
∴PF＝PC，∠FPE＝∠EPC，
又∵∠BPA+∠EPC＝90°，∠APM+∠EPF＝90°，
∴∠APB＝∠APM，
又∵∠B＝∠AMP＝90°，AP＝AP，
∴△ABP≌△AMP（AAS），
∴AB＝AM＝1，BP＝PM，
令BP＝x，则PC＝PF＝2﹣x，BP＝PM＝x，
∴MF＝2﹣x﹣x＝2﹣2x，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PAD，
又∵∠APB＝∠APF，
∴△APF为等腰三角形，
∴AF＝PF＝2﹣x，
在△AMF中，AF2＝AM2+MF2，
∴（2﹣x）2＝12+（2﹣2x）2，
∴x＝1或．
故答案为：或1．
【点评】本题考查了折叠的性质、相似三角形的性质和判定，证得Rt△ABP∽Rt△PCE、Rt△PHG∽Rt△GDE是解题的关键．
15．（2020 饶平县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AC＝5，AE平分∠DAC交CD于E，CF平分∠ACD交AE于点F，且EF：AF＝1：2，则CF＝　　．
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】根据矩形的性质、勾股定理和相似三角形的性质，可以得到FM和CM的长，然后根据勾股定理，即可得到CF的长．
【解答】解：作FG⊥AC于点G，作FM⊥CD于点M，作FN⊥AD于点N，
∵CF平分∠ACD交AE于点F，且EF：AF＝1：2，
∴CE：CA＝1：2，
∵AC＝5，
∴CE＝，
∵AE平分∠DAC，CF平分∠ACD，
∴FG＝FM＝FN，
∵FM⊥CD，AD⊥CD，EF：AF＝1：2，
∴△EMF∽△EDA，
∴＝，
设FM＝x，
则AD＝3x，
同理可得，△ANF∽△AED，
则DE＝x，
∴CD＝x，
∵∠D＝90°，AD＝3x，AC＝5，
∴（x）2+（3x）2＝52，
解得x1＝1，x2＝（舍去），
∴FM＝1，CM＝×1﹣1＝3，
又∵∠CMF＝90°，
∴CF＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共7小题）
16．（2014 北京）计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣|
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝1﹣5﹣+
＝﹣4．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
17．（2021春 奉化区校级期末）先化简再求值：，在x＝±2、0、±1中选择一个你喜欢的数，求原式的值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】将题中的分式先进行化简，再将所选值代入即可求解．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝3x+2
∵x≠±2、0，
∴当x＝1时，原式＝3+2＝5；
或当x＝﹣1时，原式＝﹣3+2＝﹣1．
【点评】本题考查分式的化简的有关内容，解题的关键是利用运算法则正确进行化简，要注意除法没有分配律．
18．（2021春 费县期末）我市某初中为落实“阳光体育”工程，计划在七年级开设乒乓球、排球、篮球、足球四个体育活动项目供学生选择，为了解七年级学生对这个四个体育活动项目的选择情况，学校数学兴趣小组从七年级各班学生中随机抽取了部分学生（规定每人必须且只能选择其中的一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）学校在七年级各班共随机抽取了　50　名学生；
（2）在扇形统计图中，“篮球”项目对应的扇形圆心角的度数是　72°　；
（3）请把条形统计图补充完整；
（4）若该校七年级共有900名学生，请根据统计结果估计全校七年级选择“足球”项目的学生有多少人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】统计的应用；运算能力．
【分析】（1）根据选择乒乓球的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
（2）用360°乘以“篮球”项目所占的百分比即可；
（3）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择排球的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（4）用总人数乘以选择“足球”项目的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）学校在七年级各班共随机抽取的学生数是：14÷28%＝50（名）．
故答案为：50；
（2）“篮球”项目对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝72°．
故答案为：72°；
（3）排球的人数有：50﹣14﹣10﹣8＝18（人），补全统计图如下：
（4）900×＝144（人），
答：全校七年级选择“足球”项目的学生有144人．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（2021 南山区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G连接DG．
（1）求证：四边形DEFG为菱形；
（2）若CD＝8，CF＝4，求的值．
【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】几何图形．
【分析】（1）根据折叠的性质，易知DG＝FG，ED＝EF，∠1＝∠2，由FG∥CD，可得∠1＝∠3，易证FG＝FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；
（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．
【解答】（1）证明：由折叠的性质可知：DG＝FG，ED＝EF，∠1＝∠2，
∵FG∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴FG＝FE，
∴DG＝GF＝EF＝DE，
∴四边形DEFG为菱形；
（2）设DE＝x，根据折叠的性质，EF＝DE＝x，EC＝8﹣x，
在Rt△EFC中，FC2+EC2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，CE＝8﹣x＝3，
∴．
【点评】本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键．
20．（2021 黄石模拟）习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在春节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖．该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；5辆大货车与7辆小货车一次可以满载运输1450件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过46000元．请你指出共有几种运输方案，并计算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设1辆大货车一次满载运输x件物资，1辆小货车一次满载运输y件物资，根据“2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；5辆大货车与7辆小货车一次可以满载运输1450件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆大货车，则租用（10﹣m）辆小货车，根据“运输物资不少于1300件，且总费用不超过46000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出租车方案的个数，设总费用为w元，利用租车总费用＝每辆车的租金×租车辆数，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设1辆大货车一次满载运输x件物资，1辆小货车一次满载运输y件物资，
依题意得：，
解得：．
答：1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资．
（2）设租用m辆大货车，则租用（10﹣m）辆小货车，
依题意得：，
解得：6≤m≤8，
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，8，
∴共有3种运算方案．
设总费用为w元，则w＝5000m+3000（10﹣m）＝2000m+30000，
∵2000＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝2000×6+30000＝42000．
答：共有3种运输方案，当租用6辆大货车，4辆小货车时，费用最少，最少费用为42000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21．（2021 罗湖区校级二模）如图1，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为弧CF的中点连接BE、FC相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接AB、CE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BF，若AF＝FM，试说明的值是否为定值？如果是，求出此值，如果不是说明理由？
（3）如图3，若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力；应用意识．
【分析】（1）由∠ECF＝∠EBC，∠ABM＝∠AMB＝∠EMC，且∠ECF+∠EMC＝90°，即可证明AB⊥BC，从而证明AB是⊙O的切线；
（2）由AF＝FM证明△ABM是等边三角形，可得∠ABF＝∠FBE＝∠EBC＝∠FCB＝30°，在Rt△BCE和Rt△BFC中得出BE＝BC，BF＝BC，从而可得＝；
（3）由tan∠ACB＝tan∠ABF＝，设AF＝5k，用k的代数式表示BF、FM，在Rt△BFM中用勾股定理列方程求出k，再求CF和CM，最后用△FBM∽△ECM对应边成比例即可得答案．
【解答】（1）证明：∵点E为弧CF的中点，
∴弧CE＝弧EF，
∴∠ECF＝∠EBC，
∵AB＝AM，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠EMC，
∵BC为直径，
∴∠E＝90°，
∴∠ECF+∠EMC＝90°，
∴∠EBC+∠ABM＝90°，
∴AB⊥BC，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：的值是定值，＝，理由如下：
连接BF，
∵BC为直径，
∴∠BFC＝90°，即BF⊥AC，
∵AF＝FM，
∴AB＝BM，
∵AB＝AM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠ABF＝∠FBE＝30°，
∵点E为弧CF的中点，
∴∠EBC＝∠FBE＝30°，
Rt△BCE中，BE＝BC cos30°＝BC，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠FCB＝∠ABF＝30°，
Rt△BFC中，BF＝BC sin30°＝BC，
∴＝＝；
（3）如图：
∵AB为⊙O的切线，
∴∠ACB＝∠ABF
∵tan∠ACB＝，
∴tan∠ABF＝，
设AF＝5k，则BF＝12k，AB＝＝13k，
∵AB＝AM，
∴AM＝13k，FM＝8k，
∵BM＝10，
在Rt△BFM中，（12k）2+（8k）2＝102，
∴k＝，
∴BF＝，FM＝，
在Rt△BFC中，tan∠ACB＝＝，
∴CF＝，
∴CM＝CF﹣FM＝4，
∵∠FMB＝∠EMC，∠FBM＝∠ECM，
∴△FBM∽△ECM，
∴＝，即＝，
∴EC＝12．
【点评】本题考查圆的切线、圆中的有关计算等综合知识，涉及等边三角形、相似三角形及特殊直角三角形等，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质及应用．
22．（2020 鞍山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的时，请直接写出线段AM的长．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；二次函数的应用；模型思想．
【分析】（1）根据点A和点C的坐标，利用待定系数法求解；
（2）在x轴正半轴上取点E，使OB＝OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，构造出∠PBC＝∠BDE，分点P在第三象限时，点P在x轴上方时，点P在第四象限时，共三种情况分别求解；
（3）设EF与AD交于点N，分点F在直线AC上方和点F在直线AC下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN＝AN，FN＝NE，从而证明四边形FMEA为平行四边形，继而求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），
则，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）存在，理由是：
在x轴正半轴上取点E，使OB＝OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，
在y＝﹣x2+x+2中，
令y＝0，解得：x＝2或﹣1，
∴点B坐标为（﹣1，0），
∴点E坐标为（1，0），
可知：点B和点E关于y轴对称，
∴∠BDO＝∠EDO，即∠BDE＝2∠BDO，
∵D（0，2），
∴DE＝＝＝BD，
在△BDE中，×BE×OD＝×BD×EF，
即2×2＝×EF，解得：EF＝，
∴DF＝，
∴tan∠BDE＝，
若∠PBC＝2∠BDO，
则∠PBC＝∠BDE，
∵BD＝DE＝，BE＝2，
则BD2+DE2＞BE2，
∴∠BDE为锐角，
当点P在第三象限时，
∠PBC为钝角，不符合；
当点P在x轴上方时，
∵∠PBC＝∠BDE，设点P坐标为（c，﹣c2+c+2），
过点P作x轴的垂线，垂足为G，
则BG＝c+1，PG＝﹣c2+c+2，
∴tan∠PBC＝＝，
解得：c＝，
∴﹣c2+c+2＝，
∴点P的坐标为（，）；
当点P在第四象限时，
同理可得：PG＝c2﹣c﹣2，BG＝c+1，
tan∠PBC＝，
解得：c＝，
∴，
∴点P的坐标为（，），
综上：点P的坐标为（，）或（，）；
（3）设EF与AD交于点N，
∵A（﹣2，﹣4），D（0，2），设直线AD表达式为y＝mx+n，
则，解得：，
∴直线AD表达式为y＝3x+2，
设点M的坐标为（s，3s+2），
∵A（﹣2，﹣4），C（2，0），设直线AC表达式为y＝m1x+n1，
则，解得：，
∴直线AC表达式为y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴点E坐标为（0，﹣2），
可得：点E是线段AC中点，
∴△AME和△CME的面积相等，
由于折叠，
∴△CME≌△FME，即S△CME＝S△FME，
由题意可得：
当点F在直线AC上方时，
∴S△MNE＝S△AMC＝S△AME＝S△FME，
即S△MNE＝S△ANE＝S△MNF，
∴MN＝AN，FN＝NE，
∴四边形FMEA为平行四边形，
∴CM＝FM＝AE＝AC＝，
∵M（s，3s+2），
∴，
解得：s＝或0（舍），
∴M（，），
∴AM＝，
当点F在直线AC下方时，如图，
同理可得：四边形AFEM为平行四边形，
∴AM＝EF，
由于折叠可得：CE＝EF，
∴AM＝EF＝CE＝，
综上：AM的长度为或．
【点评】本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图象和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．
考点卡片
1．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a ＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
2．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
3．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
4．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
6．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
7．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
8．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
9．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
10．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
11．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
12．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
13．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
14．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
15．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
16．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
17．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
18．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
19．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
20．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
21．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
22．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
23．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
24．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
25．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
26．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
27．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
28．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
29．圆的综合题
圆的综合题．
30．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
31．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
32．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
33．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
34．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
35．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
36．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
37．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
38．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
39．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
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