2021-2022学年下学期深圳初中北师大版数学九年级期中典型试卷3（含解析）

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2021-2022学年下学期深圳初中数学九年级期中典型试卷3
一．选择题（共10小题）
1．（2020 梧州）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（2015 安顺）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021 盐城模拟）如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021 龙岗区校级一模）下列计算正确的是（　　）
A．x2y﹣2x2y＝﹣x2y B．x2+x3＝x5
C．2（x+2y）＝2x+2y D．7xy﹣xy＝7
5．（2021 东莞市校级模拟）下列计算中正确的是（　　）
A．a2+a3＝2a5 B．（a3）2＝6a6
C．（a+2）2＝a2+4 D．（﹣a2）3＝﹣a6
6．（2021春 龙华区月考）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示，则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（　　）
读书时间（小时） 7 8 9 10 11
学生人数 6 6 8 12 8
A．9.5，10 B．9.5，12 C．9，10 D．9，12
7．（2021 南山区校级模拟）下列命题是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．相等的角是对顶角
D．角是轴对称图形
8．（2020 顺平县一模）如图，在6×6的正方形网格中，⊙O经过格点A，B，C，点P是上任意一点，连接AP，BP，则tan∠APB的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2020 济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
10．（2021 罗湖区校级二模）将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线，与过点A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（　　）
A．8 B．3 C．2 D．
二．填空题（共5小题）
11．（2021 嘉鱼县模拟）分解因式：x2y﹣y3＝　 　．
12．（2021 铁岭模拟）有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为 　 　．
13．（2021 龙岗区校级一模）关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值为　 　．
14．（2020 饶平县校级模拟）如图，四边形OABC是平行四边形，其面积为8，点A在反比例函数y＝的图象上，过点A作AD∥x轴交BC于点D，过点D的反比例函数图象关系式为y＝，则k的值是　 　．
15．（2021春 龙华区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣6），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝的图象上，且y轴平分∠ACB，则k＝　 　．
三．解答题（共7小题）
16．（2021春 龙华区月考）计算：．
17．（2021 随州模拟）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝+1．
18．（2021 南山区校级模拟）“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答
（1）本次参加抽样调查的居民有　 　人；
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D饺的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他吃到C饺的概率．
19．（2019 坪山区模拟）如图，在 ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求DP的长．
20．（2020 德阳）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
21．（2021春 深圳月考）问题：如图1，⊙O中，AB是直径，AC＝BC，点D是劣弧BC上任一点（不与点B、C重合），求证：为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明△ACE≌△BCD．按思路完成下列证明过程．
证明：在AD上截取点E，使AE＝BD，连接CE．
运用：如图2，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB、O1B．
（1）OB的长为 　 　．
（2）如图3，过A、B两点作⊙O2与y轴的负半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，连接AM、MN，当⊙O2的大小变化时，问BM﹣BN的值是否变化，为什么？如果不变，请求出BM﹣BN的值．
22．（2021 梓潼县模拟）如图1，已知抛物线y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）写出A、B、C三点的坐标．
（2）若点P为△OBC内一点，求OP+BP+CP的最小值．
（3）如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D（4，0），直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当△CEF为等腰三角形时，请直接写出CE的长．
2021-2022学年下学期深圳初中数学九年级期中典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020 梧州）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【考点】绝对值．
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．
【解答】解：|﹣2|＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．
2．（2015 安顺）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误；
B、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确；
C、三棱锥的俯视图是三角形，故此选项错误；
D、圆锥的俯视图是带圆心的圆，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．（2021 盐城模拟）如图所示的几何体是由7个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】从左看几何体，有三列，第一、二列2层，第三列1层．
【解答】解：该几何体的左视图为：．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．也考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
4．（2021 龙岗区校级一模）下列计算正确的是（　　）
A．x2y﹣2x2y＝﹣x2y B．x2+x3＝x5
C．2（x+2y）＝2x+2y D．7xy﹣xy＝7
【考点】整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的式子，从而可以解答本题．
【解答】解：A、x2y﹣2x2y＝﹣x2y，故本选项符合题意；
B、x2与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C、2（x+2y）＝2x+4y，故本选项不合题意；
D、7xy﹣xy＝6xy，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
5．（2021 东莞市校级模拟）下列计算中正确的是（　　）
A．a2+a3＝2a5 B．（a3）2＝6a6
C．（a+2）2＝a2+4 D．（﹣a2）3＝﹣a6
【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，完全平方公式分别计算可逐项判定求解．
【解答】解：a2和a3不是同类项，不能合并计算，故A选项错误；
（a3）2＝a6，故B选项错误；
（a+2）2＝a2+4a+4，故C选项错误；
（﹣a2）3＝﹣a6，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，掌握相关的性质是解题的关键．
6．（2021春 龙华区月考）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示，则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（　　）
读书时间（小时） 7 8 9 10 11
学生人数 6 6 8 12 8
A．9.5，10 B．9.5，12 C．9，10 D．9，12
【考点】众数；中位数．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【分析】根据表格中的数据，可以得到学生总数，再根据表格中的数据，即可写出中位数和众数．
【解答】解：由表格可得，
学生一共有：6+6+8+12+8＝40（人），
故这组数据的中位数是（9+10）÷2＝9.5，众数是10，
故选：A．
【点评】本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用众数和中位数的知识解答．
7．（2021 南山区校级模拟）下列命题是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．相等的角是对顶角
D．角是轴对称图形
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据平行线的判定、对顶角、线段垂直平分线的性质和轴对称图形判定解答即可．
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，符合题意；
D、角是轴对称图形，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．（2020 顺平县一模）如图，在6×6的正方形网格中，⊙O经过格点A，B，C，点P是上任意一点，连接AP，BP，则tan∠APB的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆周角定理；解直角三角形．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等构造相等的圆周角和直角三角形，利用正弦的定义求解即可．
【解答】解：如图，连接AD、BD，
由圆周角定理得：∠APB＝∠ADB，
∴tan∠APB＝tan∠ADB＝＝，
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理与特殊角的三角函数值问题．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等的应用．
9．（2020 济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
【考点】作图—基本作图；轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；三角形；几何直观．
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC＝ BC AD＝10，
∴AD＝＝5，
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质．
10．（2021 罗湖区校级二模）将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线，与过点A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（　　）
A．8 B．3 C．2 D．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】根据点A、B的坐标可求出OA、OB的长，以及OA、OB与x轴的夹角，进而可得到旋转前各个点的对应点的坐标，以及原直线的关系式，进而求出旋转前C、′D′的坐标，画出相应图形，结合反比例函数的图象，可求出面积．
【解答】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∵点A（﹣3，3），B（，），
∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，
∴OA＝＝6，OB＝＝3，
∵tan∠AOM＝＝，
∴∠AOM＝60°，
同理，∠BON＝30°，
因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0），
设直线A′B′的关系式为y＝kx+b，故有，
，解得，k＝﹣2，b＝6，
∴直线A′B′的关系式为y＝﹣2x+6，
由题意得，
，解得，，
因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示，
过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q，
则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，
∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2+4）×（2﹣1）＝3，
故选：B．
【点评】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，旋转的性质，求出直线AB在旋转前对应的函数关系式是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2021 嘉鱼县模拟）分解因式：x2y﹣y3＝　y（x+y）（x﹣y）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：x2y﹣y3
＝y（x2﹣y2）
＝y（x+y）（x﹣y）．
故答案为：y（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．
12．（2021 铁岭模拟）有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为 　　．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用．
【分析】设其中一双鞋分别为a，a′；画出树状图，可知共有12种情况，能配成一双的有8种情况，根据概率公式计算即可；
【解答】解：设其中一双鞋分别为a，a′；
画树状图得：
∵共有12种情况，能配成一双的有8种情况，
∴取出两只刚好配一双鞋的概率是：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（2021 龙岗区校级一模）关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值为　﹣3　．
【考点】分式方程的增根．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】由分式方程有增根，得到最简公分母为0，确定出m的值即可．
【解答】解：分式方程去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．（2020 饶平县校级模拟）如图，四边形OABC是平行四边形，其面积为8，点A在反比例函数y＝的图象上，过点A作AD∥x轴交BC于点D，过点D的反比例函数图象关系式为y＝，则k的值是　﹣5　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】连接OD，根据反比例函数系数k的几何意义得到S△AOE＝×3＝，S△DOE＝|k|，从而得到S△AOD＝S平行四边形ABCO＝＝4，即可得到＝4，解得k＝﹣5．
【解答】解：连接OD，
由题意可知，S△AOE＝×3＝，S△DOE＝|k|，
∴S△AOD＝，
∵S△AOD＝S平行四边形ABCO＝＝4，
∴＝4，
解得|k|＝5，
∵在第二象限，
∴k＝﹣5．
故答案为﹣5．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，平行四边形的性质，明确△AOD的面积是平行四边形ABCO面积的一半是解题的关键．
15．（2021春 龙华区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣6），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝的图象上，且y轴平分∠ACB，则k＝　　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】要求k的值，通常可求A的坐标，可作x轴的垂线，构造相似三角形，利用CD＝3AD和C（0，﹣6）可以求出A的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值．
【解答】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，
∵C（0，﹣6），
∴OC＝6，
∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO，
∴△ADE∽△CDO，
∴，
∴AE＝2；
又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，
∴BO＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，
∴△ABE∽△DCO，
∴，
设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n，
∴，
∴n＝，
∴OE＝4n＝，
∴A（，2），
∴k＝×2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求A的坐标，依据A在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出k的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．
三．解答题（共7小题）
16．（2021春 龙华区月考）计算：．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用绝对值的性质和特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣﹣2×+1+2
＝2﹣﹣+1+2
＝3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．（2021 随州模拟）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝+1．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2021 南山区校级模拟）“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答
（1）本次参加抽样调查的居民有　600　人；
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D饺的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他吃到C饺的概率．
【考点】列表法与树状图法；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】（1）根据B类有60人，所占的百分比是10%即可求解；
（2）利用总人数减去其他类型的人数即可求得C类型的人数，然后根据百分比的意义求出A组和C组所占的百分比，将两幅不完整的图补充完整即可；
（3）由居民区总人数乘以爱吃D饺的人所占的百分比即可；
（4）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民人数是60÷10%＝600（人）；
故答案为：600；
（2）A组所对应的百分比是×100%＝30%，
C组的人数是600﹣180﹣60﹣240＝120（人），所占的百分比是×100%＝20%，
将两幅不完整的图补充完整如下：
（3）若居民区有8000人，则估计爱吃D饺的人数为8000×40%＝3200（人）；
（4）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，小王吃到C饺的结果有6个，
∴小王吃到C饺的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（2019 坪山区模拟）如图，在 ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求DP的长．
【考点】作图—基本作图；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】作图题．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】（1）证明：由作图知BA＝BE，∠ABF＝∠EBF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝AB＝2，
∴PH＝，DH＝5，
∴DP＝＝＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．
20．（2020 德阳）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程的应用；分式方程的应用．
【专题】方程与不等式；一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，构建方程求解即可．
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．由题意，45x+30y＝2400①，且2000x+1500y≤110000②把问题转化为不等式解决即可．
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，利用函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，
由题意，＝，
解得x＝2000，
经检验，x＝2000是分式方程的解．
答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．
由题意，45x+30y＝2400①，且2000x+1500y≤110000②，
由①得到y＝80﹣1.5x③，
把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000，
解得，x≥40，
∵y＞0，
∴80﹣1.5x＞0，
x＜53.3，
∴40≤x＜53.3，
∵x，y是正整数，
∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2．
∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，
∵﹣250＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）．
答：最低费用为107000元．
【点评】本题考查一次函数的应用，二元一次方程的应用，分式方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21．（2021春 深圳月考）问题：如图1，⊙O中，AB是直径，AC＝BC，点D是劣弧BC上任一点（不与点B、C重合），求证：为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明△ACE≌△BCD．按思路完成下列证明过程．
证明：在AD上截取点E，使AE＝BD，连接CE．
运用：如图2，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB、O1B．
（1）OB的长为 　1　．
（2）如图3，过A、B两点作⊙O2与y轴的负半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，连接AM、MN，当⊙O2的大小变化时，问BM﹣BN的值是否变化，为什么？如果不变，请求出BM﹣BN的值．
【考点】圆的综合题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；几何直观；推理能力；模型思想．
【分析】证明：在AD上截取AE＝BD，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠CAD＝∠CBD，然后证明△ACE≌△BCD，然后根据角的等量代换得出∠ECD＝90°，进而得出△ECD为等腰直角三角形，用ED表示CD，因为ED＝AD﹣BD最后即可得出结论；
（1）连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，根据垂径定理和勾股定理求出O1B的长度，根据切线的性质得出O1A⊥x轴，得到OH＝5，进而即可得出结果；
（2）在图2中先根据平行和O1A＝O1B得出∠ABO1＝∠ABO，然后在MB上取一点G，使MG＝BN构造全等，证明△AMG≌△ANB，得到AG＝AB，然后根据等腰三角形三线合一得出BG＝2，再根据等量代换即可得到结论．
【解答】解：证明：在AD上截AE＝BD，
∵，
∴∠CAD＝∠CBD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECD＝90°，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴CD＝，
∵ED＝AD﹣BD，
∴，即为定值；
（1）如图2，连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，
∴CH＝BH＝4，O1H＝3，O1A⊥x轴，
∴，
∴O1A＝O1B＝5，
∴HO＝5，
∴OB＝HO﹣HB＝5﹣4＝1，
故答案为：1；
（2）BM﹣BN的值不变，
如图2，
由（1）得，O1A⊥OA，
∵OB⊥AO，
∴O1A∥OB，
∴∠O1BA＝∠OBA，
∵O1A＝O1B，
∴∠O1BA＝∠O1AB，
∴∠ABO1＝∠ABO，
如图3，在MB上取一点G，使MG＝BN，连接AN，AG，
∵∠ABO1＝∠ABO，∠ABO1＝∠AMN，
∴∠ABO＝∠AMN，
∵∠ABO＝∠ANM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∵，
∴∠AMG＝∠ANB，
在△AMG和△ANB中，
，
∴△AMG≌△ANB（SAS），
∴AG＝AB，
∵AO⊥BG，
∴BG＝2BO＝2，
∴BM﹣BN＝BM﹣MG＝BG＝2，即BM﹣BN的值不变．
【点评】本题考查圆的综合题，同弧所对的圆周角相等，两条半径所形成的三角形是等腰三角形，等腰三角形三线合一，垂径定理是解本题的必备知识，利用“截长补短”法证明全等是解本题的关键．
22．（2021 梓潼县模拟）如图1，已知抛物线y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）写出A、B、C三点的坐标．
（2）若点P为△OBC内一点，求OP+BP+CP的最小值．
（3）如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D（4，0），直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当△CEF为等腰三角形时，请直接写出CE的长．
【考点】二次函数综合题．
【专题】分类讨论；二次函数的应用；推理能力．
【分析】（1）令y＝0，可求出点A，点B的坐标，令x＝0，可得出点C的坐标；
（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BP'C'，连接PP'，CC'，当O，P，P'，C′四点共线，OP+BP+CP的值最小，再在直角三角形中，求出此时的最小值；
（3）需要分类讨论，当CE＝CF，CE＝EF，CF＝EF时，分别求解．
【解答】解：（1）∵y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4）．
（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BP'C'，连接PP'，CC'，
∴BP＝BP'，BC＝BC，∠PBP'＝60°，∠CBC′＝60°，PC＝P'C′，
∴△BPP'和△BCC′为等边三角形，
∴BC′＝BC，PP′＝BP，
当O，P，P'，C′四点共线，OP+BP+CP的值最小，
∴tan∠OBC＝＝＝，
∴∠OBC＝30°，
∴BC＝2OC＝8，
∴BC′＝BC＝8，
∵∠OBC′＝∠OBC+∠CBC′＝30°+60°＝90°，
∴OC′＝＝，
∴OP+BP+CP＝OP+PP'+C'P'＝OC′＝4．
（3）需要分类讨论：
①如图，当CE＝CF，且点F在点C左侧时，过点F作FG⊥CE于点G，则△CFG∽△CAO，
∵OA＝3，OC＝4，
∴AC＝5，
∴FG：GC：FC＝OA：OC：AC＝3：4：5，
设FG＝3m，则CG＝4m，FC＝5m，
∴CE＝FC＝5m，
∴GE＝m，OE＝4﹣5m，
∵△FGE∽△DOE，
∴，
∴，
∴m＝，
∴CE＝5m＝；
当点F在点C右侧时，如图所示，过点F作FG⊥y轴于点G，
则△FCG∽△ACO，
∴FG：GC：FC＝OA：OC：AC＝3：4：5，
设FG＝3m，则CG＝4m，FC＝5m，
∴CE＝FC＝5m，
∴GE＝9m，OE＝5m﹣4，
∵△FGE∽△DOE，
∴，
∴，解得m＝，
∴CE＝5m＝16；
②如图，当CE＝EF时，过点A作AG∥EF交y轴于点G，由EF＝CE，可得，AG＝CG，
设OG＝m，则AG＝CG＝4﹣m，
∵OA2+OG2＝AG2，
∴32+m2＝（4﹣m）2，解得，m＝．
由A（﹣3，0）和G（0，），可得直线AG的解析式为：y＝x+，
设直线DF为：y＝x+b，将D（4，0）代入得：b＝﹣，
∴E（0，﹣），
∴CE＝4+＝．
③如图，当CF＝EF时，过点C作CG∥DE交x轴于点G，则∠GCO＝∠ACO，
∴OG＝OA＝3，
∴G（3，0），
由G（3，0），C（0，4）可得直线CG的解析式为：y＝﹣x+4，
设直线DE为：y＝﹣x+n，将D（4，0）代入得：n＝，
∴E（0，），
∴CE＝﹣4＝．
故CE的长为：或或或16．
【点评】本题主要考查等腰三角形存在性问题，分类讨论，并结合背景图形进行求解是解题关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
4．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
5．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
6．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
7．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
8．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
9．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
10．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
11．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
12．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
13．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
14．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
15．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
16．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
17．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
18．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
19．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
20．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
21．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
22．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
23．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
24．圆的综合题
圆的综合题．
25．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
26．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
27．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
28．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
29．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
30．简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：
圆柱的三视图：
31．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
32．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
33．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
34．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
35．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
36．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
37．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
38．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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